一次考試中的三類試題的妙解與推廣

余鐵青

(廣東省中山市桂山中學(xué) 528463)

1 估算法在解題中的應(yīng)用實(shí)例與使用本質(zhì)剖析

A.c>aB.b>cC.a>bD.a>d

令f′(x)<0，解得0

由f′(x)>0，解得x>1.

則f(x)≥f(1)=0.

所以c>a>b>d.

故選ACD.

分析與另解該題的構(gòu)造函數(shù)法較難，但利用估算的思路來解決則簡(jiǎn)單得多.該題的主要痛點(diǎn)在于選項(xiàng)C的判斷，其它選項(xiàng)較易，此處不再敘述.解析里面的構(gòu)造函數(shù)是非常難以想到的，作為這套試卷的選擇題壓軸出現(xiàn)，不容易想到倒也正常，但是我們能不能再用其他的方法進(jìn)行計(jì)算判定大小呢？實(shí)際上是可以的，因?yàn)楫?dāng)我們拿到試題之后第一眼看過去就會(huì)想到直接比較，我們?cè)偎伎寄懿荒苷抑虚g值？事實(shí)證明該題也是可以的，但是這樣思考的依據(jù)又是什么呢？其本質(zhì)為估算！而這思想方法在比較大小的試題中也是即為重要的一種思想，下面具體說明.

客觀地的說，直接比較在考試中可能更加實(shí)用，而其中的估算思想是需要大家好好體會(huì)的，準(zhǔn)確地說，這種思想的應(yīng)用不僅僅是在此處，還有三角函數(shù)求值，導(dǎo)數(shù)圖象的草圖畫法等，請(qǐng)同學(xué)們借此題好好體會(huì).

2 主元法在解題中的應(yīng)用實(shí)例與使用本質(zhì)剖析

很多時(shí)候我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有些題解答起來十分麻煩，但是只要換一種思路，可能帶來得不僅僅是把題做對(duì)，更多的是思想上的提升，現(xiàn)在我們以變換主元的角度來解決一類問題.

我們也經(jīng)常聽到同學(xué)們私下討論，這道直線過定點(diǎn)問題，為什么直接令y=0，再去求x，從而確定該定點(diǎn)的具體坐標(biāo)；或者先令x=0，再去求y，進(jìn)而得到直線所過定點(diǎn).大家在想為什么要這樣做，如果定點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，我們?cè)撛趺刺幚?？某種程度上這里提到的先設(shè)再證是建立在大家很清晰這類試題的基礎(chǔ)上.因此如果“看不出來”就有點(diǎn)麻煩了，實(shí)際上我們可以從主元的角度徹底弄清楚這個(gè)問題.不管這個(gè)定點(diǎn)在不在坐標(biāo)抽上，我們都能很好地解決，下面以2020年全國Ⅰ卷理20題的解答為例來進(jìn)行說明.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn)．

解析(1)依據(jù)題意作出如圖1所示圖象.

圖1

A(-a,0),B(a,0),G(0,1).

所以a2=9.

(2)設(shè)P(6,y0)，則直線AP的方程為

聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程，得

所以直線CD的方程為

①

整理，得

整理，得

②

結(jié)合y0的任意性，易知

本質(zhì)剖析把①式中的y0看作主元，因?yàn)檎麄€(gè)直線的變化實(shí)質(zhì)就是y0導(dǎo)致的，這樣改寫降低了大家對(duì)配方的要求，實(shí)際上從①式形成②式很多人完成不了，然而利用這種主元的思想就能很好地從本質(zhì)上解決問題.其實(shí)，直線過定點(diǎn)問題某種程度上就是求出含單參直線方程，這樣即使不是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)也能很好地求出來，很多時(shí)候咱們?cè)诳磪⒖即鸢傅臅r(shí)候也就解決了為什么這樣配方的問題.

3 形如“(a+b+c)n”的二項(xiàng)式展開式求系數(shù)問題推廣

筆者最近在講授二項(xiàng)式定理習(xí)題課時(shí)，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)在求解形如“(a+b+c)n”的二項(xiàng)式展開式求系數(shù)問題難以入手.這類試題經(jīng)常涉及到因式分解的問題，但是實(shí)際解題時(shí)很難想到或是在考試時(shí)由于對(duì)配方化簡(jiǎn)不熟悉或者本身就不能分解導(dǎo)致緊張，造成失分.基于此，下面給出兩個(gè)例子，并且對(duì)此進(jìn)行適當(dāng)推廣，其具有一般適用性.

例3(2x2-x-1)5的展開式中x2的系數(shù)為( ).

A.400 B.120 C.80 D.0

于是令10-r-a=2，解得r+a=8.

結(jié)合0≤a≤r≤5，a,r∈Z，只有①r=5,a=3與②r=4,a=4符合題意.代入下式計(jì)算系數(shù),得

特別說明請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手驗(yàn)證，把形如“(a+b+c)n”哪兩個(gè)分在一組進(jìn)行計(jì)算實(shí)際上是不受影響的，如(2x2-x-1)5=[2x2+(-x-1)]5也可以看作(2x2-x-1)5=[(2x2-1)+(-x)]5.至于形如(a+b+c+…)n的展開項(xiàng)系數(shù)問題都依賴于計(jì)數(shù)原理進(jìn)行準(zhǔn)確分組，再進(jìn)行仔細(xì)運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是一回事！因?yàn)榘僮儾浑x其宗，只是載體在變更，數(shù)學(xué)考查的核心卻從未改變.