一類變號系數(shù)矩陣的代數(shù)方程組正解存在唯一性

侯青青，劉喜蘭

（寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西寶雞 721013）

1 引言

本文主要研究形如式（1）非線性代數(shù)方程組在系數(shù)矩陣變號的情況下解的存在唯一性及正解的存在性.

式（1）中λ∈R 上的參數(shù)，G=（gij）n×n是n×n 階系數(shù)矩陣，

f，h 是R→R 上的連續(xù)函數(shù).系數(shù)矩陣為正滿足.若gij＞0，則G＞0（或若gij≥0 則G≥0），?（i，j）∈[1，n]×[1，n]，且

代數(shù)方程以及方程組求解是較為復(fù)雜的問題，對于非線性代數(shù)方程組的求解，在復(fù)雜系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)、優(yōu)化和一些其他領(lǐng)域有很廣泛的研究和應(yīng)用[1，2].許多數(shù)學(xué)問題，如微分方程的數(shù)值解、離散邊值問題和復(fù)雜動力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)問題都與代數(shù)方程組正解的存在性密切相關(guān)[3，4]，事實上已經(jīng)有很多文獻研究了非線性代數(shù)方程組解與正解的存在性和唯一性.如，在系數(shù)矩陣為正的條件下，當(dāng)時，文獻[5，6]利用Guo-Krasnoselskii 不動點定理或構(gòu)造Rn上的一個特殊錐，討論了方程組（1）解的存在性與正解的存在唯一性.當(dāng)參數(shù)λ=1，H（x）≡0 時，文獻[7-9]利用單調(diào)迭代法和錐上的不動點定理，討論了方程組（1）解的存在性與正解的存在性.特別地，文獻[10]利用不動點定理討論了在H（x）≡0 時，方程組（1）正解的存在性.本文討論了在系數(shù)矩陣變號時，方程組（1）解的存在唯一性，及正解的存在性.

2 主要結(jié)論

首先給出證明定理的2 個引理.

引理1[11]（Brouwer 不動點定理）設(shè)X 是Rn的一個非空凸緊子集，T：X→X 是一個連續(xù)映射，則T 有一個不動點.

引理2[11]（Banach 不動點定理）設(shè)（X，ρ）是一個完備的距離空間，T 是（X，ρ）到其自身的一個壓縮映射，則T 在X 上存在唯一的不動點.

為了方便起見，以下列出6 個所需條件：

（H1）f,h:R→R 為有界連續(xù)函數(shù)，即存在正數(shù)a，b＞0 滿足

（H2）f,h 在R 上滿足Lipschitz 條件，即存在正常數(shù)L1和L2，使得

且0＜L2＜1；

則方程組（1）的解是算子T 在Rn中的不動點，由此得到定理1、定理2、定理3.

定理1假設(shè)條件（H1）成立，則對?λ∈R，方程組（1）有一個解xλ.

證明對?λ∈R，定義

則由以上不等式知T：X→X 是一個連續(xù)映射，根據(jù)引理1 知T 存在一個不動點，即方程組（1）有一個解.

定理2假設(shè)條件（H1）和（H2）成立，則當(dāng)|λ|＜λ*時，方程組（1）有唯一的解xλ.

證明令X=[-δ，δ]n?Rn，則X 是完備的度量空間.

因此，T：X→X 是壓縮映射，由引理2 知T 存在唯一不動點，即方程組（1）存在唯一解.

根據(jù)以上證明得到了方程組（1）解的存在唯一性，下面討論系數(shù)矩陣G 與函數(shù)H（x）在變號情況下，方程組（1）正解的存在性.

定理3假設(shè)條件（H1）和（H3）成立，則當(dāng)λ＜0時，方程組（1）有正解xλ.

證明因為條件（H1）成立，所以由定理1 知，方程組（1）的解存在.

又因為條件（H3）成立，所以存在N＞0，當(dāng)u∈[0，N]時，f（u）＞0，h（u）＞0，此時

即證得，當(dāng)λ＜0 時，方程組（1）有正解xλ.

類似定理3 可以得到定理4、定理5、定理6.

定理4假設(shè)條件（H1）和（H4）成立，則當(dāng)λ＞0時，方程組（1）有正解xλ.

證明因為條件（H1）成立，所以由定理1 知，方程組（1）的解存在.

又因為條件（H4）成立，此時

其中γ 與定理3 中保持一致.

所以存在λ＞0，當(dāng)‖xλ‖∞＜δ 時，

即得證，當(dāng)λ＞0 時，方程組（1）有正解xλ.

定理5假設(shè)條件（H1）和（H5）成立，則存在μ＞0，當(dāng)λ∈（μ，+∞）時，方程組（1）有正解xλ.

證明因為條件（H1）成立，所以由定理1 知，方程組（1）的解存在.

又因為條件（H5）成立，所以存在N＞0，當(dāng)u∈[0，N]時f（u）＞0，h（u）＜0，此時

其中γ 與定理3 中保持一致.

即證得，當(dāng)λ∈（μ，＋∞）時，方程組（1）有正解xλ.

定理6假設(shè)條件（H1）和（H6）成立，則存在η＜0，當(dāng)λ∈（－∞，η）時，方程組有正解xλ.

證明因為條件（H1）成立，所以由定理1 知，方程組（1）的解存在.

又因為條件（H6）成立，所以存在N＞0，當(dāng)u∈[0，N]時，f（u）＞0，h（u）＜0，其中γ 與定理3 中保持一致，此時取

即證得，當(dāng)λ∈（-∞，η）時，方程組（1）有正解xλ.