具多時(shí)滯及多重非線性Lurie間接控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性

王 寧,周宗福

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230601)

20世紀(jì)40年代，Lurie和Postnikov首次提出了控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題。[1]從此，人們對(duì)Lurie系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了很多研究并得到了大量成果。[2-8]在這些成果中，研究的系統(tǒng)主要有常微Lurie控制系統(tǒng)及時(shí)滯Lurie控制系統(tǒng)，其研究方法包括構(gòu)造Lyapunov函數(shù)、M-矩陣的性質(zhì)、線性矩陣不等式等。文[9]利用李雅普諾夫方法給出了多時(shí)滯Lurie控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。最近，文[10]對(duì)單個(gè)變時(shí)滯Lurie間接控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，獲得了簡(jiǎn)便實(shí)用的絕對(duì)穩(wěn)定判定結(jié)果。在此基礎(chǔ)之上，本文研究了具有多個(gè)變時(shí)滯的多重非線性Lurie間接控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題，給出絕對(duì)穩(wěn)定的充分條件，擴(kuò)展了已有的結(jié)果。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下具有多個(gè)時(shí)變時(shí)滯的多重非線性Lurie間接控制系統(tǒng)：

(1)

對(duì)于系統(tǒng)(1)，假定下列條件成立：

(I1)x(t)∈Rn；σl(t)∈R(l=1,2,…,m)；A(t)，Bi(t)(i=1,2,…,q)為n×n矩陣；bl(t)，cl(t)(l=1,2,…,m)為n維列向量；

(I3)A(t)，Bi(t)，bl(t)，cl(t)，ρl(t)在(0,+∞)上連續(xù)；fj:(-∞,+∞)→(-∞,+∞)；φ(t)為初始函數(shù)。

定義1設(shè)F[kl1,kl2]={fl|fl(0)=0;kl1σ2l(t)≤σl(t)fl(σl(t))≤kl2σ2l(t),σl(t)∈R-{0},kl2>kl1>0}，若對(duì)?fl∈F[kl1,kl2](l=1,2,…,m)，系統(tǒng)(1)的零解都是全局漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)(1)是絕對(duì)穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)果

基于Lyapunov方法，通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，并分析其全導(dǎo)數(shù)的負(fù)定性，本文給出了系統(tǒng)(1)絕對(duì)穩(wěn)定的判據(jù)。

定理1對(duì)于系統(tǒng)(1)，假設(shè)：

(H1)存在正定矩陣P，Gi(i=1,2,…,q)，Rr(r=1,2,…,m)，使得

其中δ(t)≥δ0>0；

(H2)?t∈[0,+∞)，有

其中ηi，ζj，γl為正常數(shù)，令γ=max{γ1,γ2,…,γm}；

證明作Lyapunov-Krasovskii泛函

V(t,φt)=

其中φt(θ)=(x(t+θ),σ1(t+α1(t)),…,σm(t+αm(t)))T，θ∈[-h,0]，t≥0。

?fl∈F[kl1,kl2]，易知

因此

進(jìn)而，有

令

則

u(‖φt(0)‖)≤V(t,φt)≤v1(‖φt(0)‖)+v2(‖φ‖L2)。

下求V(t,φt)沿系統(tǒng)(1)的導(dǎo)數(shù)：

利用(H1)、(H2)及范數(shù)性質(zhì)，上式變?yōu)椋?/p>

上式右端可寫成如下形式:

(2)

下證(2)式右端是負(fù)定的。易知D的特征多項(xiàng)式為

可見D的特征值為：

λ1=-1(q-1重)，λ2=-1+γ(m-1重)，λ3=-1-γ(m-1重)

易見，D的最大特征值為λ4.由(H3)知，λ4<0，從而D的每個(gè)特征值都小于0，故D為負(fù)定矩陣.

結(jié) 合(2)式，有

kl1σ2l(t-αl(t))≤σl(t-αl(t))fl(σl(t-αl(t)))

所以

kl1|σl(t-αl(t))|≤|fl(σl(t-αl(t)))| (l=1,2,…,m)

因此

則對(duì)所有的fl∈F[kl1,kl2],l=1,2,…,m,有

根據(jù)定義1和Lyapunov定理可知，系統(tǒng)(1)是絕對(duì)穩(wěn)定的。

注文[10]是對(duì)單個(gè)變時(shí)滯Lurie間接控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，而本文討論的是具有多個(gè)變時(shí)滯的多重非線性Lurie間接控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題，問(wèn)題更加一般化，所得結(jié)論適用性更廣。