一道聯(lián)賽橢圓試題的破解及拓展

?江蘇省西亭高級中學(xué) 金 鑫

1 引言

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中的基本知識之一，是高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中常見考點之一．此類問題很好交匯代數(shù)與幾何，“數(shù)”“形”融合，“動”“靜”兼?zhèn)?，是?shù)學(xué)多方面知識融合與交匯的一大重要場所，有效考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，體現(xiàn)選拔與區(qū)分功能的主陣地之一．

2問題呈現(xiàn)

圖1

此題為高中聯(lián)賽一試解答題中的最后一題，難度比較大．以橢圓為問題背景，利用平面幾何中對應(yīng)三角形的內(nèi)切圓來創(chuàng)設(shè)情境，結(jié)合基本不等式、三角函數(shù)等的應(yīng)用來達到應(yīng)用與破解的目的．

3 問題破解

方法1：官方參考答案——坐標法.

解析：易知F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)P(x0，y0)，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，由條件知x0，y0>0，y1<0，y2<0.

點評：根據(jù)條件設(shè)出對應(yīng)點的坐標，利用橢圓的定義確定兩對應(yīng)三角形的周長，利用三角形的面積公式確定對應(yīng)內(nèi)切圓的半徑，進而得到兩半徑差的關(guān)系式；結(jié)合直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用函數(shù)與方程思維，借助韋達定理加以轉(zhuǎn)化，確定相關(guān)點的坐標之間的關(guān)系式，進而轉(zhuǎn)化對應(yīng)的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用，從而得以確定對應(yīng)的最值問題．坐標法處理圓錐曲線問題，是破解此類問題是最常用的技巧方法之一．

方法2：單變量參數(shù)方程法.

方法3：多變量參數(shù)方程法.

解析：易知F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0).

即

由萬能公式得

點評：根據(jù)題目條件，橢圓上的三個點引入對應(yīng)的參數(shù)坐標，進而確定兩對應(yīng)三角形的內(nèi)切圓半徑之差r1-r2的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合三點共線構(gòu)建三角函數(shù)關(guān)系式，并利用三角恒等變形加以轉(zhuǎn)化與處理，最后再利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值問題．多參數(shù)引入，元素較多，要求具備非常好的數(shù)學(xué)運算與邏輯推理能力．

4 探究拓展

探究：保留題目創(chuàng)新背景，化特殊情況為一般情況，可以得到更具有一般性的普通性結(jié)論．

證明：易知F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0).

設(shè)P(x0，y0)，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，由條件知x0，y0>0，y1<0，y2<0.

由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=|Q1F1|+|Q1F2|=|Q2F1|+|Q2F2|=2a，故△PF1Q2與△PF2Q1的周長均為l=4a.

5 解后反思

涉及圓錐曲線中相關(guān)三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，是圓錐曲線相關(guān)知識的進一步綜合與應(yīng)用，背景生動，創(chuàng)新新穎，內(nèi)容豐富，綜合性強，趣味規(guī)律．通過相應(yīng)性質(zhì)的理解與掌握，結(jié)合圓錐曲線的相關(guān)知識與基本性質(zhì)加以合理轉(zhuǎn)化，綜合函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式等其他相關(guān)的知識，巧妙處理，有效提升學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力等，創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用，全面促進數(shù)學(xué)思維能力和思維品質(zhì)的提高，增強數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．Z