一類分?jǐn)?shù)階偽拋物方程解的存在性和唯一性

楊階慧,蔣 敏

(貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴陽 550025 )

0 引言

本研究需要考慮的一類分?jǐn)?shù)階偽拋物方程的初邊值問題為

(1)

其中：ut表示u關(guān)于t的偏導(dǎo)數(shù)，Ω∈RN(N∈+))是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，0

分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子最初是在物理學(xué)中觀察Levy平穩(wěn)擴散過程時被提出的，后來也被用于描述等離子體異常擴散、隨機分析和流體動力學(xué)等現(xiàn)象[1-2]。分?jǐn)?shù)階微分方程因其在金融學(xué)、物理學(xué)、流體動力學(xué)、種群動力學(xué)、最小表面和博弈論等學(xué)科研究領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用而獲得了重要的地位。分?jǐn)?shù)階微分方程比經(jīng)典微分方程能更好地描述實際問題。有一些自然現(xiàn)象具有記憶效應(yīng)，不能用經(jīng)典偏微分方程來建模，但是可以使用分?jǐn)?shù)階偏微分方程來解決這個問題。因此分?jǐn)?shù)階微分方程引起了廣大數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的關(guān)注，也有了重大發(fā)展[3-5]。

值得指出的是，Liu等[6]研究了如下具有對數(shù)非線性的分?jǐn)?shù)階偽拋線方程

“百善孝為先，難得啊，難得！如此兵亂，你們長官還記得孝悌，就憑這點，見了你們趙長官我就想請他喝一杯。這樣吧，這一帶地形我們熟悉，加上昨天剛從龍游過江，對鬼子布防也比較清楚，我們負(fù)責(zé)把你們護(hù)送到峽口、杜澤、蓮花鎮(zhèn)一線，只要穿越鬼子防線再往西，應(yīng)該就能看見衢州城。

ut+(-Δ)su+(-Δ)sut=ulog|u|，

(2)

依托校企共建生產(chǎn)性實訓(xùn)基地，開展校企產(chǎn)教融合。結(jié)合專業(yè)實訓(xùn)基地條件，與通信企業(yè)對接，在真實的工作環(huán)境和生產(chǎn)性項目中，實現(xiàn)“教、學(xué)、產(chǎn)、研”一體的生產(chǎn)性實訓(xùn)，進(jìn)一步提高人才培養(yǎng)的技能水平和職業(yè)素養(yǎng)。由企業(yè)工程師、專任教師擔(dān)任實訓(xùn)指導(dǎo)教師，將企業(yè)工程案例融入課程內(nèi)容，指導(dǎo)學(xué)生分析項目、實施項目、驗收項目等內(nèi)容，實現(xiàn)學(xué)校教學(xué)環(huán)境和企業(yè)真實工作環(huán)境的對接。利用基地先進(jìn)的設(shè)備和軟件、優(yōu)秀的師資團(tuán)隊通過企業(yè)承擔(dān)實際工程項目，選拔優(yōu)秀學(xué)生共同參與，讓學(xué)生將課堂環(huán)境與企業(yè)真實工作環(huán)境一致，真正做到學(xué)校教學(xué)內(nèi)容與工作內(nèi)容的零距離結(jié)合。

在2020年，Ding 和 Zhou[7]研究了如下的基爾霍夫擴散模型

(3)

引理1[11]設(shè)X是Banach空間，u∈Lp([0,T];X),ut∈Lp([0,T];X),1≤p≤∞，那么有

受上述工作的啟發(fā)，本研究對問題(1)進(jìn)行了討論，利用Galerkin近似法和壓縮映射原理，得到了該問題解的局部存在性和唯一性。

20世紀(jì)70年代日本豐田公司因杜絕生產(chǎn)浪費的系列管理被世界關(guān)注，英文單詞LEAN（譯指精實的、去除虛胖的），此前多見于外資企業(yè)管理的“精益”，于2013年，在國內(nèi)首次與醫(yī)療行業(yè)相結(jié)合——這年6月，恩澤集團(tuán)與美國UL建立合作關(guān)系，成為中國“首家精益實踐醫(yī)院”，正式開啟恩澤集團(tuán)的精益醫(yī)療之旅。

1 預(yù)備知識

為了更便捷地陳述結(jié)果，下面介紹一些符號、基本定義和引理。

定義L2(Ω)中的內(nèi)積和范數(shù)為

且u(x,0)=u0(x)。

回顧分?jǐn)?shù)階索伯列夫空間的一些必要條件和性質(zhì)，更多細(xì)節(jié)可以參見文獻(xiàn)[8-9]。固定s∈(0,1)，對任意p∈[1,∞)，定義分?jǐn)?shù)階索伯列夫空間Ws,p(RN)：

關(guān)注p=2時的情況，即Ws,2(RN) ，通常用Hs(RN)來表示。令

X0(Ω)={u∈Hs(RN)|u=0 a.e.在RNΩ內(nèi)}，

由文獻(xiàn)[10]知X0(Ω)是Banach空間[10]，其范數(shù)為

具有內(nèi)積

現(xiàn)將問題(1)的弱解和最大存在時間定義如下。

定義1稱函數(shù)u(x,t)是方程(1)的一個弱解，如果對任意T>0，u∈L∞(0,T;X0(Ω))，ut∈L2(0,T;X0(Ω))，?v∈X0(Ω)，?t∈[0,T),滿足

(7)

在訴訟中，中國并沒有追究美國商務(wù)部是否有權(quán)向非市場經(jīng)濟(jì)國家征收反補貼稅，而是直接指出了美國商務(wù)部的“非市場經(jīng)濟(jì)方法”造成了雙重救濟(jì)從而違反了相關(guān)WTO法規(guī)。在對反補貼法措施合法性進(jìn)行分析時，中美雙方爭論的焦點在于中國的國有企業(yè)以及商業(yè)銀行是否屬于《反補貼協(xié)議》中規(guī)定的“公共機構(gòu)”。如果答案是否定的，那么美國商務(wù)部反補貼調(diào)查中認(rèn)定的補貼則不應(yīng)存在，作為結(jié)果美國也就不應(yīng)該向中國征收反補貼稅。

定義2設(shè)u(x,t)是方程(1)的一個弱解，定義u(x,t)的最大存在時間Tmax如下：

其中c>0。則由式(14)和式(15)知

綜上所述，本文提出了一種全新的電力運輸方法，就是在雙有源橋拓?fù)涞木€路直流潮流控制器。該新方法的提出，在與傳統(tǒng)研究對比時，此類新型電力運輸方式具有無徐額外再次配比電源節(jié)能源、有效實現(xiàn)更具靈活性的雙向控制線路直流潮流的優(yōu)勢。

其中CT(>0)是有界且不依賴于h的常數(shù)。因此可得

綜上可知，如今在教育改革以及素質(zhì)教育逐漸深化以及完善的背景之下實施探究教學(xué)，能夠?qū)W(xué)生的自主探索、獨立思考這些能力加以培養(yǎng)，可以對教學(xué)要求及學(xué)生需求進(jìn)行滿足。數(shù)學(xué)教師在實施探究教學(xué)期間，需要合理設(shè)計探究任務(wù)，準(zhǔn)確把握任務(wù)難度及知識寬度，并且合理設(shè)置探究情境，積極引導(dǎo)學(xué)生探究，不斷增強師生交流互動，一同探究有關(guān)問題，這樣才能促使教學(xué)效果進(jìn)行提高。

u∈C([0,T];X)。

2 主要結(jié)果

本節(jié)主要利用Galerkin近似法和壓縮映射原理研究問題(1)的解的局部存在性和唯一性。

定理1對任意T>0,u∈H和u0∈X0(Ω)，則存在滿足如下條件的唯一的v使得

v∈C([0,T],X0(Ω))∩C1([0,T],L2(Ω)),vt∈L2([0,T],X0(Ω))

(8)

是如下非線性問題的解

現(xiàn)代文學(xué)區(qū)別于古典文學(xué)的本質(zhì)特征之一，是知識話語的生產(chǎn)體系不同，無論是文學(xué)場域，還是生產(chǎn)主體，都發(fā)生了根本性的變革。現(xiàn)代教育在中國的落地生根，是詞學(xué)研究學(xué)院化和學(xué)科化的體制基礎(chǔ)。陳水云認(rèn)為“直到1917年春蔡元培出任北京大學(xué)校長，在國文學(xué)門首設(shè)‘詞曲’課程，并聘請吳梅、劉毓盤這樣的詞曲專家出任教授，中國詞學(xué)現(xiàn)代化局面才算是打開了”⑩，詞學(xué)作為一門專業(yè)的學(xué)科正式進(jìn)入現(xiàn)代教育的體制中?！对~學(xué)季刊》創(chuàng)刊號簡要列舉了20世紀(jì)30年代在高等學(xué)校任教的詞學(xué)教授，如中央大學(xué)的吳梅、汪東、王易，中山大學(xué)的陳洵等，均在大學(xué)講堂傳道授業(yè)，培養(yǎng)了大批詞學(xué)研究學(xué)者，推動了現(xiàn)代詞學(xué)的學(xué)院化進(jìn)程。

(9)

證明利用Galerkin方法。設(shè)Wh=Span{ω1,…，ωh}，h≥1，{ωj}(j=1,2,…，h)是X0(Ω)中的一組基函數(shù)，‖ωj‖X0(Ω)=1，‖ωj‖2=1，{ωj}在L2(Ω)和X0(Ω)中是正交且完備的，{λj}表示相關(guān)的特征值，令

(11)

是如下問題的近似解

(12)

其中：η∈Wh,t>0。對于j=1,…，h，在式(12)中取η=ωj，可得

(13)

（2）融資方式單一。根據(jù)調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)選擇融資方式時最先考慮的是融資成功率。由于大學(xué)生缺乏社會經(jīng)驗及較低的信用條件的現(xiàn)狀，銀行貸款“惜貸”使其門檻高而難，獲得天使投資機會的概率又小，因此中國大學(xué)生創(chuàng)業(yè)者中大部分只能通過親情融資、合伙融資的方式籌集創(chuàng)業(yè)基金。因此，為了提高大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功的概率，激發(fā)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)的潛能，大學(xué)生應(yīng)在選擇融資渠道上，更加多元化、創(chuàng)新化。

MRI與CT對淋巴結(jié)性質(zhì)的判斷主要是以大小為主，并且將10mm以下作為評價標(biāo)準(zhǔn)。按照此次研究結(jié)果顯示，MRI診斷淋巴結(jié)轉(zhuǎn)移敏感度為38.46%，CT診斷淋巴結(jié)轉(zhuǎn)移敏感度為28%。使用小型超順磁性氧化鐵離子作為對比機，能夠?qū)α馨徒Y(jié)轉(zhuǎn)移情況進(jìn)行診斷。該種檢查機制主要是注射超順磁性氧化鐵離子之后，鐵離子會被巨噬細(xì)胞吞噬，借助磁化反應(yīng)能夠降低MRI信號。

由u∈H可知‖u‖X0(Ω)和‖u‖2是有界的，因此只需估計式(14)的右邊，采用H?lder不等式和Young不等式有

通過引入一族勢井及其相應(yīng)的集合，并結(jié)合勢井理論構(gòu)造了解的存在性與初值u(x,0)之間的關(guān)系。然后利用Galerkin近似法和勢井族的性質(zhì)，推導(dǎo)出了問題(2)在次臨界和臨界情況下解的全局存在性和無限時間的爆破性，并給出了全局解的能量泛函的衰減估計值。

(i)如果u(x,t)在0≤t<∞存在，那么有Tmax=+∞；

對于任意T>0，考慮對空間H=C([0,T,X0(Ω))賦予范數(shù)

vh→v在L∞(0,∞;X0(Ω))中弱*收斂。

進(jìn)一步通過在問題(12)中取極限就得到問題(9)的弱解。

競爭中立制度追求的是自由競爭和公平競爭的目標(biāo)，具體的實施模式在國有企業(yè)和私營企業(yè)之間通過一系列中立的政策建構(gòu)競爭環(huán)境。而競爭中立最主要針對的對象其實是國有企業(yè)。而我國國企的強勢地位是建構(gòu)競爭中立制度的一大難題，雖然我國在確立市場經(jīng)濟(jì)體制之初就明確了國有企業(yè)要建立現(xiàn)代化治理制度，但我國國企特別是如石油、天然氣、電信等公用企業(yè)產(chǎn)生的優(yōu)勢地位已極大影響了市場競爭。我國競爭中立制度若想充分實現(xiàn)其自由競爭和公平競爭的目的，就必須克服國有企業(yè)的強勢、優(yōu)勢地位這一重大障礙。?我國改革國企面臨著極大壓力。改革國企要將其合理地類型化，而非一律進(jìn)行市場化的轉(zhuǎn)變，同時還需完善預(yù)算和資產(chǎn)管理制度。

如果v和ω是問題(9)的兩個解，那么它們具有相同的初值，通過得到的兩個方程相減可得

整理可得

因此v=ω，故定理得證。

定理2對任意u0∈X0(Ω)，T>0，那么問題(1)在[0,T]上存在唯一解。

1.1一般資料2015年5月至2017年5月我院對重癥銀屑病患者48例進(jìn)行了研究分析,將患肢分成甲乙兩組,均為24例患者?；颊咦钚?2歲,最大53歲,(38.11±2.21)歲,共有27例男性,22例女性,兩組普通資料不存在統(tǒng)計學(xué)差異性,對結(jié)果不產(chǎn)生影響。

由定理1可知，對任意u∈DT，可以定義v=Φ(u)是問題(9)的唯一解。接下來利用壓縮映射原理證明結(jié)論u=Φ(u)。

首先，證明Φ是DT到DT的映射，即證Φ(DT)?DT。取u∈DT，那么必存在一個相應(yīng)的解v=Φ(u)，滿足

用類似式(15)的方法估計式(17)可得

大陸村在打造旅游地產(chǎn)之初，就對大陸村的農(nóng)宅進(jìn)行整體改造，使之美觀大方，獨具田園特色。大陸村后期整體改造農(nóng)宅150戶，村民把平頂屋改為坡頂屋，并在屋頂上蓋上小藍(lán)瓦，并把墻體粉刷成白色，添加女兒墻、飄檐等，每戶院落的整體設(shè)計都不一樣，做到整體風(fēng)格大致相同，又一戶一景獨具特色。

接下來證明Φ是壓縮映射。取ω1,ω2∈DT，對應(yīng)地存在v1=Φ(ω1)，v2=Φ(ω3),令v=v1-v2，可得

《中華人民共和國印花稅暫行條例施行細(xì)則》[9]中明確規(guī)定：國家指定的收購部門與村民委員會、農(nóng)民個人書立的農(nóng)副產(chǎn)品收購合同免納印花稅。

因此根據(jù)壓縮映射原理，得到問題(1)在[0,T]上存在一個唯一的弱解。

3 結(jié)論

分?jǐn)?shù)階拋物方程在科學(xué)研究和工程實踐中發(fā)揮著重要的作用，許多現(xiàn)象都可以用分?jǐn)?shù)階拋物方程作為數(shù)學(xué)模型并通過模型、數(shù)學(xué)方法及相關(guān)理論來解決實際問題。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是一個非局部算子，具有良好的記憶性和遺傳性，而由于一些自然現(xiàn)象具有記憶效應(yīng)，因此，分?jǐn)?shù)階微分方程比經(jīng)典微分方程能更好地描述實際問題，使得許多不能用經(jīng)典偏微分方程來建模的問題，都可以使用分?jǐn)?shù)階偏微分方程來解決。本研究利用Galerkin近似法構(gòu)造問題的近似解，通過一些常用的不等式手段，得到了本研究所討論的一類分?jǐn)?shù)階拋物方程解的局部存在性定理，再利用壓縮映射原理得到了局部解的唯一性定理。