分類例析“嵌套函數(shù)”的零點(diǎn)問題

李發(fā)明

(山東省泰安第一中學(xué)，271000)

在復(fù)合函數(shù)中,我們把一個函數(shù)自身對自身復(fù)合所得到的函數(shù)叫做嵌套函數(shù),也叫迭代函數(shù).其中函數(shù)的零點(diǎn)問題是命題的熱點(diǎn),求解時通常先“換元解套”,將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù),借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.本文通過實例談?wù)勄短缀瘮?shù)常見的三類零點(diǎn)問題的求解策略,以期對廣大備考學(xué)子有所幫助.

一、求嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)

當(dāng)t=1時，由圖1易知方程f(x)=1有3個不等實根；當(dāng)t=5時，由圖1易知方程f(x)=5有1個實根.

綜上，g(x)有4個零點(diǎn).

評注例1中f(x)為分段函數(shù),若直接寫出g(x)的表達(dá)式考慮問題非常繁瑣.本解法用換元法將g(x)分拆為g(t)=f(t)-1和t=f(x)兩個相對簡單的函數(shù),借助f(x)的圖象大大簡化了運(yùn)算步驟.由此可見“換元解套”是解決嵌套函數(shù)的利器.

二、求分段函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

解當(dāng)a<0時，f(x)的圖象如圖2(a),f[f(x)]=0不可能有8個不等實根.

當(dāng)a=0時，f(x)的圖象如圖2(b),f[f(x)]=0也不可能有8個不等實根.

當(dāng)a>0時,f(x)的圖象如圖2(c).令t=f(x),由f(t)=0,觀察圖象易知t=-2a或0或a.

若t=0時,易知方程f(x)=0有3個不等實根.

當(dāng)t=a時,即觀察易知f(x)的圖象與y=a交于兩個不同的交點(diǎn),即方程f(x)=a有2個不等實根.

綜上，a>8.

評注本題f(x)表達(dá)式中含有參數(shù),圖象有3種情況.求解時需對參數(shù)a分類討論,找到符合題意的參數(shù)取值范圍.

三、求嵌套函數(shù)(或方程)中參數(shù)的取值范圍

解令t=f(x),則g(x)=0變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次方程t2-4t+m+1=0,它至多有t1,t2兩不等實根.

因為g(x)=0有8個不等實根,而由圖3知f(x)=t的實數(shù)根個數(shù)可能為0,1,2,3,4,故只存在一種情況,即f(x)=t1和f(x)=t2均有4個交點(diǎn)符合題目要求.于是原問題等價于一元二次方程t2-4t+m+1=0在(0，3]上有兩個不等實根.

令h(t)=t2-4t+m+1,則

解得2≤m<3.

解令t=f(x),則由圖4可知當(dāng)a≥-1時，方程f(t)=a有2個不等實根t1,t2,且t1<-1,t2≥-1.由于f(x)=t1有1個實根，f(x)=t2有2個實根，所以a≥-1時符合要求.

當(dāng)a<-1時，方程f(t)=a有1個實根t0,且tt0<-1，此時方程f(x)=t0只有1個實根，不符合要求.

綜上，a≥-1.

(A)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為2

(C)函數(shù)f(x)無最值

(D)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

解由圖5易知,選項A對,選項C對,選項D錯.

綜上,選ABC.

例6如圖6，已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時，

若關(guān)于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0有且僅有6個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是______.

解令t=f(x),則題設(shè)方程為t2+at+b=0,這是關(guān)于t的一元二次方程,至多有兩個不等實根t1,t2.因為原方程有6個不等實根,所以存在兩種情況符合題意:

(A)f(m)≤0

(B)f(m)可能大于0

(C)m∈(-∞,-1]

(D)m∈(-∞,-1]∪(0,e2]

解不等式f(m)≤0，如圖7，由f(x)的圖象知m≤-1或0

綜上，選AC.

通過以上例題的求解,我們可以體會到“換元解套”在嵌套函數(shù)問題中的必要作用,最終回歸到基本初等函數(shù)才是我們解決函數(shù)題的歸宿.