基于學業(yè)質(zhì)量水平劃分的數(shù)學建模教學設計

陳旭 湯小青

摘? 要：結(jié)合數(shù)學建模過程和數(shù)學建模素養(yǎng)的三個水平對“茶水的最佳飲用問題”進行三個維度的教學設計：了解過程，體會模型;經(jīng)歷過程，建立模型;感悟原理，創(chuàng)新模型. 從進階型設計、不同模型類型設計、素養(yǎng)型設計、學生型設計四個角度進行教學設計的反思，以期更好地落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關鍵詞：數(shù)學建模;水平劃分;設計反思

一、數(shù)學建模素養(yǎng)及其三個水平劃分

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中指出，數(shù)學建模素養(yǎng)是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學建模過程主要包括在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.《標準》從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個方面給出了數(shù)學建模素養(yǎng)的三個水平劃分. 從以上分析可以看出，可以從實際情境抽象、經(jīng)歷完整過程、構建數(shù)學模型、檢驗改進模型等關鍵問題上將數(shù)學建模素養(yǎng)的三個水平劃分和數(shù)學建模過程有機結(jié)合進行單元教學設計，從而更好地發(fā)展學生“四能”，達到“三會”，落實數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、“茶水的最佳飲用問題”教學設計

1. 創(chuàng)設情境，提出問題

中國茶文化博大精深，自古以來中國人有飲茶的傳統(tǒng). 唐代詩人白居易的《山泉煎茶有懷》：“坐酌泠泠水，看煎瑟瑟塵. 無由持一碗，寄與愛茶人.”這首詩就描述了古人飲茶的傳統(tǒng).

怎樣才能喝到一杯好茶？學生經(jīng)過社會調(diào)查和資料搜集分析，發(fā)現(xiàn)以下幾個因素會影響茶水的口感：茶葉的類型、水質(zhì)、茶具的品質(zhì)、泡茶的技藝、水沸騰的時間、泡茶的水溫、喝茶的水溫等. 從上述調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)，在客觀條件有限的情況下，茶藝的精進和水溫的控制是成就一杯好茶的重要因素. 本次數(shù)學建?；顒泳蛷乃疁氐目刂迫胧?，力求喝到一杯好茶.

調(diào)查表明：某種綠茶，泡茶的水只需要煮沸即可，不易煮沸太久;泡茶的最佳水溫為[85℃];飲茶的最佳溫度為[60℃]. 那么在[24.3℃]的室溫下，如何才能利用數(shù)學的方法預測最佳水溫，泡出一杯好茶，飲得一杯好茶呢？

【設計意圖】以傳統(tǒng)文化為背景，從生活入手，讓學生經(jīng)歷社會調(diào)查、資料搜集的過程，積累社會活動經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學問題.

2. 維度1：了解過程，體會模型

為了泡出好茶，先要燒出適合泡茶的好水. 水煮沸的時間過長容易影響水中礦物質(zhì)的構成，影響茶水的口感. 那么，如何預測水升溫至[100℃]所需要的時間呢？

（1）模型的假設.

問題1：影響水升溫至[100℃]所需要的時間的因素是什么？建立模型需要哪些假設？

熱源的熱量釋放速率和穩(wěn)定性是水溫上升的能量保障;煮水器物的熱傳導性影響熱量的傳導速率;大氣壓的大小影響水的沸點;溶解于水中的礦物質(zhì)也會影響水的沸點. 綜上所述，影響水升溫至[100℃]所需要的時間的因素大致有熱源、燒水器具的材質(zhì)、氣壓、水源等. 假設在相同的熱源、相同的燒水器具、標準大氣壓、相同的水源等條件下，抽象出以時間為自變量、以溫度為因變量的函數(shù)關系.

【設計意圖】從物理學角度分析具體現(xiàn)象中的各種變量，感受現(xiàn)實問題的復雜性，通過模型假設為現(xiàn)實問題數(shù)學化及數(shù)學模型的建立做必要的準備.

（2）模型的建立.

① 學生活動：小組合作采集數(shù)據(jù).

實驗器材：溫度采集器、家用普通電熱水壺、礦泉水.

實驗條件：室溫[24.3℃]、標準大氣壓. 每隔1分鐘記錄一次數(shù)據(jù)，記錄數(shù)據(jù)如表1所示.

[時間 / min 0 1 2 3 水溫 / ℃ 24.3 34.6 45.5 54.6 ][表1：水溫變化記錄表]

【設計意圖】數(shù)學的抽象需要以具體的情境和數(shù)據(jù)為依托，需要學生用數(shù)學的眼光設計和分析實驗，通過實驗發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律，最終將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學問題.

② 利用Excel軟件作散點圖，并進行回歸擬合，時間與水溫的函數(shù)關系如圖1所示，擬合函數(shù)為[y=][10.18x+24.48]，其中[R2=0.998 8]（擬合優(yōu)度，也稱為決定系數(shù)，越靠近1，擬合效果越好）.

【設計意圖】將數(shù)據(jù)以直觀的散點圖進行呈現(xiàn)，將抽象的數(shù)據(jù)信息直觀化，更好地揭示數(shù)學問題的本質(zhì). 借助Excel軟件利用統(tǒng)計原理完成擬合過程，得到學生熟悉的一次函數(shù)模型，使學生在熟悉的模型中體會模型的數(shù)學意義.

（3）模型的檢驗和求解.

[R2=0.998 8]，擬合度良好，測量數(shù)據(jù)近似符合線性關系，其中擬合函數(shù)[y=10.18x+24.48]中[x]的系數(shù)[10.18]為每分鐘水溫上升的速度，[24.48]為初始時刻對應的溫度，經(jīng)計算大約需要7.4分鐘能將水燒開.

【設計意圖】理解一次函數(shù)模型中參數(shù)的意義，并能利用模型解決問題，體會其中蘊含的數(shù)學思想，感悟數(shù)學表達對數(shù)學建模的重要性.

3. 維度2：經(jīng)歷過程，建立模型

在[24.3℃]的室溫下，剛泡好的茶水（85℃）需要多長時間才能達到最佳口感（60℃）？

（1）模型的假設.

問題2：茶水的冷卻時間與哪些因素有關？建立模型需要哪些假設？

物體溫度降低放出熱量，熱量的釋放與材料的熱傳導系數(shù)及空氣分子的運動速度等有密切的關系. 故影響茶水冷卻時間的因素有茶具的材質(zhì)、室溫、茶水與空氣的接觸面積、空氣的流通速度等. 假設在茶具、室溫、風速、空氣接觸面積等都相同的條件下，抽象出以時間為自變量、溫度為因變量的函數(shù)關系.

【設計意圖】利用相關知識對模型的影響因素進行分析，使學生能夠在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，知道數(shù)學問題的價值與作用.

（2）模型的建立.

① 學生活動：小組合作采集數(shù)據(jù).

實驗器材：溫度采集器、85℃的茶水、標準[200 mL]燒杯.

實驗條件：室溫24.3℃、無風、含[200 mL]溫度為85℃茶水的燒杯. 每間隔1分鐘記錄一次溫度，記錄數(shù)據(jù)如表2所示.

[時間 / min 0 1 2 3 4 5 茶溫 / ℃ 85.0 79.2 74.8 71.3 68.3 65.9 ][表2：茶水溫度變化記錄表]

② 作出散點圖、添加趨勢線，形成時間與茶溫的函數(shù)關系，如圖2所示.

問題3：結(jié)合所學的函數(shù)知識和圖2，能否分析函數(shù)的性質(zhì)？

設函數(shù)[y=fx]，其中[x]為時間，[y]為[x]時刻的水溫. 那么，函數(shù)[y=fx]的定義域為[x∈0，+∞]，值域為[y∈24.3，85]（單位：[°C]）;函數(shù)[y=fx]在定義域上單調(diào)遞減，遞減速度越來越慢;對于函數(shù)[y=fx]，當[x→+∞]時，[y→24.3].

【設計意圖】從函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、凹凸性和漸近線的角度分析趨勢線的函數(shù)性質(zhì). 讓學生利用數(shù)學概念和原理分析實驗結(jié)果，用數(shù)學語言描述相應的數(shù)學規(guī)律.

③ 模型的選擇.

問題4：能從三角函數(shù)、一次函數(shù)[y=kx+b]、二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]，以及形如[y=klogax+b]和[y=kax+b]的函數(shù)中選擇一個你認為更合理的函數(shù)模型嗎？

三角函數(shù)具有周期性，不符合函數(shù)存在漸近線的要求;一次函數(shù)不符合函數(shù)具有凹凸性的要求;二次函數(shù)不符合函數(shù)圖象具有漸近線的要求. 函數(shù)[y=][klogax+b]不符合值域為[y∈24.3，85]的要求. 故最終選擇函數(shù)[y=kax+b]作為函數(shù)模型.

【設計意圖】引導學生利用函數(shù)的性質(zhì)分析并選擇合適的數(shù)學模型，表達所要解決的數(shù)學問題.

（3）模型的求解.

問題5：能否利用圖象上的信息求解[y=kax+b]中的參數(shù)？

根據(jù)定義域，得[y=kax+b x≥0]. 因為值域[y∈][24.3，85]，所以[b=24.3];利用單調(diào)性，知[0<a<1];利用特殊點[0，85]，解得[k=60.7]. 由此可以得到[y=60.7ax+24.3 0<a<1，x≥0]. 其中，[60.7]就是起始茶溫與室溫的溫度差. 具體情況如表3所示.

[[x] 0 1 2 3 4 5 [y] 85.0 79.2 74.8 71.3 68.3 65.9 [y-24.3] 60.7 54.9 50.5 47.0 44.0 41.6 [a] — 0.904 4 0.919 8 0.930 7 0.936 2 0.945 4 ][表3：比值求解參數(shù)[a]]

構造誤差函數(shù)[fa=a-a12+a-a22+a-a32+][a-a42+a-a52]. 當[a=15a1+a2+a3+a4+a5]時，誤差[fa]最小，故用[a]的平均值[a]估計[a]較為合理. 其中，[a=150.904 4+0.919 8+0.930 7+0.936 2+0.945 4=0.927 3.]綜合以上分析，可得[y=60.7×0.927 3x+24.3 x≥0].

【設計意圖】理解模型中參數(shù)的意義，知道如何確定參數(shù)，建立模型，求解模型. 從數(shù)學原理的角度推理、辨析算法，體驗參數(shù)的計算過程，使學生的思維從淺層走向深入，體驗數(shù)學思維分析問題的過程.

（4）模型的檢驗.

本次實驗擬合函數(shù)[y=60.7×0.927 3x+24.3 x≥0]，[R2=0.986]，擬合效果較好. 由[60.7×0.927 3x+24.3=60]，解得[x=log0.927 335.760.7≈7.040 9]. 故在室溫[24.3°C]下，剛泡好的茶水（[85°C]）需要7分鐘左右達到最佳口感（[60°C]）.

4. 維度3：感悟原理，創(chuàng)新模型

（1）模型再分析.

問題6：利用Excel軟件進行多項式擬合，得到擬合函數(shù)為[y=116.16x+4-0.466+24.3]，[R2=0.999 7]，該函數(shù)是否更符合實際情況？

熱力學基本原理：熱量從高溫物體向低溫物體傳導;在一定的溫度范圍內(nèi)，一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度和所在介質(zhì)溫度的差值成比例（牛頓冷卻定律）.

證明：設物體在[t]時刻的溫度為[y=ft]，介質(zhì)溫度為[C0]，物體初始溫度為[T0]. 則溫度的變化速度可以用[dydt]來表示，溫度差表示為[y-C0][y>C0]. 由牛頓冷卻定律，得[dydt=-ky-C0 k>0]，這里[k>0]是比例系數(shù). 整理，得[dy-C0y-C0=-kdt]. 兩邊積分，得[lny-C0=][-kt+C]（[C]為任意常數(shù)），[y=ft=e-kt+C+C0=eCe-kt+C0]. 因為[f0=T0]，所以[eC=T0-C0]. 令[a=e-k]，則[0<a<1]，那么[y=ft=C0+T0-C0at 0<a<1.]

通過上述分析和論證可以知道，雖然函數(shù)[y=][116.16x+4-0.466+24.3]具有較高的擬合度，但是并不符合實際的物體冷卻規(guī)律.

【設計意圖】將熱力學基本原理與數(shù)學推理相結(jié)合，用數(shù)學語言清晰、準確地表達過程和結(jié)果，對模型的選擇做出進一步論證.

（2）模型再改進.

在實際中，牛頓冷卻模型中的參數(shù)[a=e-k]是在一定范圍內(nèi)成立的. 如何設計出更符合實際的模型，可以采取分段模型的策略來處理.

結(jié)合表3，可知前兩分鐘，[a1=120.904 4+0.919 8=][0.912 1;] 后三分鐘，[a2=130.930 7+0.936 2+0.945 4≈][0.937 4]. 因此[y=ft=24.3+60.7×0.912 1t，0≤t<3，24.3+47×0.937 4t-3，3≤t≤5.]故[24.3+47×0.937 4t-3=60]，解得[t≈7.254.]

【設計意圖】基于原理的分析，有效解讀參數(shù)的意義，創(chuàng)造性地解決生活中的實際問題.

三、三個水平劃分的數(shù)學建模教學設計反思

1. 基于三個水平劃分的進階型單元教學設計

將數(shù)學建模的過程和數(shù)學學業(yè)質(zhì)量三個水平的劃分相結(jié)合，逐層進階，從淺層走向深度，從形式邁向本質(zhì).

結(jié)合數(shù)學建模水平一的要求. 在維度1中，學生經(jīng)歷了模型假設、數(shù)據(jù)收集、利用Excel軟件建立模型、模型檢驗、模型計算，了解了數(shù)學建模的過程，在熟悉的情境中，體會了用熟悉的一次函數(shù)模型解決問題的數(shù)學思想.

結(jié)合數(shù)學建模水平二的要求，在維度2中凸顯了應用函數(shù)性質(zhì)選擇模型、計算參數(shù)的原理分析等過程，使學生經(jīng)歷了更為完整的數(shù)學建模過程，理解數(shù)學建模的意義，引導學生運用數(shù)學語言表達數(shù)學建模過程中的問題及解決問題的過程和結(jié)果，體現(xiàn)數(shù)學建模的“過程”“活動”特性.

結(jié)合數(shù)學建模水平三的要求，在維度3中進一步結(jié)合相關學科知識，用清晰、準確的數(shù)學語言推理了牛頓冷卻模型，并在此基礎上對模型進行改進和創(chuàng)新，創(chuàng)造性地建立數(shù)學模型，解決實際問題.

2. 基于不同類型建?；顒拥慕虒W設計

文獻[3]指出，高中數(shù)學建?；顒臃譃閮深悾侯愋鸵皇腔诂F(xiàn)實情境，建立模型、判斷模型、求解參數(shù)，最終得出數(shù)學模型，解決實際問題;類型二是基于數(shù)量關系或空間形式有關的一般規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，用數(shù)學語言描述形成一般模型.

基于類型一進行維度1和維度2的設計. 在這兩個維度中基于現(xiàn)實情境，抽象出時間和溫度的函數(shù)關系，通過數(shù)據(jù)和圖形判斷數(shù)學模型，求解參數(shù)，最終得出數(shù)學模型，解決實際問題. 基于數(shù)學建模的類型二進行維度3的設計，基于維度1、維度2的研究和相關學科知識建立溫度和時間的一般規(guī)律，通過準確的數(shù)學語言表述規(guī)律、嚴謹?shù)臄?shù)學推理拓展規(guī)律，形成更一般化的模型，提升模型的普適性.

3. 基于素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學建模活動設計

“水溫與時間”“茶溫與時間”的抽象不是針對數(shù)學概念及概念之間的關系，而是用數(shù)學的概念、原理和思想方法從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律，并用數(shù)學語言表達為數(shù)學問題，是一個用數(shù)學眼光觀察世界，從而發(fā)現(xiàn)和提出問題的過程，是落實數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的良好著力點.

影響物體溫度的影響因素復雜多變，而任何數(shù)學模型都有其使用范圍，這個范圍需要通過模型的假設、初始條件的設定、模型中參數(shù)的某些限制等方式給出. 顯然，這個過程體現(xiàn)出與數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)的直接關聯(lián).

利用數(shù)據(jù)確定假設模型中的參數(shù)，通過計算求解得出數(shù)學模型. 這個過程也體現(xiàn)出與數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)的直接關聯(lián).

數(shù)學建模教學活動是一個綜合的過程，在設計的過程中需要關注各種素養(yǎng)的綜合滲透.

4. 基于學生主體性的數(shù)學建?；顒釉O計

以小組合作學習的方式開展社會調(diào)查、資料收集、數(shù)據(jù)搜集等活動;以學生活動為中心，教師作為指導者和共同參與者促進學生學習;教師和學生共同構造良好的組織框架，創(chuàng)建學習環(huán)境，讓學生在環(huán)境中建構知識和技能，圍繞主題開展直接、深入的探究;重視學生的學習主動性，鼓勵協(xié)作學習與合作學習，鼓勵學生發(fā)揮自己的智力優(yōu)勢和學習長處;允許學生犯錯和改正，營造開放的活動氛圍，發(fā)展學生的高級思維技能;學生活動不是盲目地忙碌、活躍，而應該是有目的的行動.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[3]章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學出版社，2021.