感悟運(yùn)動(dòng)不變性和規(guī)律性 體驗(yàn)解題一般性和靈活性

歐陽尚昭

摘? 要：“圓錐曲線定值問題”這節(jié)課重視對研究對象幾何特征的分析，重視對解析幾何運(yùn)算特點(diǎn)的分析，重視對課堂小結(jié)的問題串設(shè)計(jì). 高三的復(fù)習(xí)課，我們最應(yīng)該做的兩件事情：一是要溫故而知新，不要把教材放在一邊，要通過解法上的創(chuàng)新，把看似很簡單的問題，不斷地變式，跟這節(jié)課的定值、定點(diǎn)建立聯(lián)系;二是要豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)想，分析研究對象的幾何特征時(shí)力求簡潔而全面.

關(guān)鍵詞：幾何特征;運(yùn)算特點(diǎn);問題串;教材

“圓錐曲線定值問題”這節(jié)課亮點(diǎn)比較突出，課堂始終貫徹著一條主線——立足基礎(chǔ)、開闊視野、積累經(jīng)驗(yàn). 特色也很鮮明，讓我們感受到一節(jié)高三復(fù)習(xí)課的大容量、快節(jié)奏、高效率，大容量是指三個(gè)引例加三個(gè)例子;快節(jié)奏是教師講得快，學(xué)生算得快;高效率是因?yàn)榻處煼治龅轿?，學(xué)生領(lǐng)悟也到位. 這節(jié)課主要特點(diǎn)如下.

一、重視對研究對象幾何特征的分析

文獻(xiàn)[2]指出，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，但教學(xué)中要注意代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀的相互為用. 因?yàn)檠芯繉ο笫菐缀螆D形，所以把握所研究對象的幾何特征、明確面臨的幾何問題，這是首要的一步，然后才是用代數(shù)方法去研究.

綜觀呂德榮老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）選擇的引例和例題，都是在運(yùn)動(dòng)變化中求有關(guān)定值的問題，執(zhí)教教師的著眼點(diǎn)也是在參變量的選取原則上下工夫，所有引例和例題的選取都是層層深入的. 例如，引例1中只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)[P]，直線[AB]是定直線;引例2中有動(dòng)點(diǎn)[P]，直線[AB]為過橢圓中心的動(dòng)直線，此時(shí)已經(jīng)將問題一般化了. 進(jìn)一步將引例與圓中的“直徑所對的圓周角是直角”進(jìn)行類比，這個(gè)類比既形象又深刻，其目的是讓學(xué)生感悟“動(dòng)中不動(dòng)是為定”的辯證思想，體會動(dòng)與靜的完美統(tǒng)一. 同時(shí)，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想圓的其他性質(zhì)，如垂徑定理，于是順理成章地得到引例3（動(dòng)的因素更多，包括動(dòng)點(diǎn)[P]、動(dòng)直線、中點(diǎn)等更多幾何情境）. 三個(gè)引例都有一個(gè)相同的結(jié)論，就是[k1k2=-b2a2]，如果是圓就是[k1k2=-1]（斜率存在時(shí)）.

緊接著，執(zhí)教教師以問題2“受問題1研究過程的啟發(fā)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的因素變化，引起變化的量越多參數(shù)也越多，對幾何問題代數(shù)化表達(dá)的過程會越來越復(fù)雜. 如何正確地表達(dá)幾何量？如何選擇合理的參數(shù)簡化運(yùn)算？”為引導(dǎo)，開始了例1的講解，并通過下面的五個(gè)追問完成了對例1的幾何特征的分析.

追問1：解析幾何表達(dá)多邊形面積有哪些方法？

追問2：四邊形[ABCD]有什么特征？怎么表達(dá)面積合適？

追問3：如何求[AC， BD]？哪些點(diǎn)確定？哪些點(diǎn)變化？

追問4：點(diǎn)[C，D]的運(yùn)動(dòng)變化是由什么因素引起的？

追問5：變化是由點(diǎn)[M]引起的，那么如何設(shè)參數(shù)？

然后通過問題3“如果問題情境發(fā)生變化，運(yùn)動(dòng)變化的因素變得復(fù)雜，甚至研究的問題都變得陌生了，我們又該如何轉(zhuǎn)化？如何引入?yún)?shù)進(jìn)行求解？”開始了例2的研究，例2的研究是通過下面的一系列追問完成的.

追問1：例2研究的目標(biāo)是什么？可以怎么轉(zhuǎn)化？

追問2：轉(zhuǎn)化之后依然是角度，表達(dá)角度有哪些方法？哪個(gè)比較合適？

追問3：如果上述方法研究起來依然有困難，可以從哪方面入手？

追問4：特殊情況是什么？

追問5：特殊情況得出結(jié)論是[PM⊥PN]，一般情況如何證明？

追問6：通過向量或者斜率證明，都需要點(diǎn)[M，N]，[P]的坐標(biāo)，怎么得到這些點(diǎn)的坐標(biāo)？哪些點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的？運(yùn)動(dòng)是怎么引起的？

追問7：運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)鍵是直線，那么如何設(shè)參數(shù)？

這些問題串都是非常有思考價(jià)值的，由淺入深地利用[∠PMN+∠PNM=π-][∠MPN]這個(gè)幾何特征，把兩個(gè)變化的角轉(zhuǎn)化為一個(gè)變化的角來研究. 然后借助正切（斜率）、正弦、余弦和向量等進(jìn)行歸納、梳理. 引導(dǎo)學(xué)生從特殊情況入手，讓學(xué)生先求出特殊情況下的結(jié)論然后去證明一般的情況.

然后通過問題4“例1是只有一個(gè)點(diǎn)的變化引起圖象的變化，我們設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo);例2是兩條互相關(guān)聯(lián)的直線引起圖象變化，我們設(shè)某條直線的斜率. 如果引起運(yùn)動(dòng)變化的因素增多，幾何情境也變得更加復(fù)雜，我們又該如何處理呢？”這樣水到渠成地來到了對例3的研究. 對于例3，教師引導(dǎo)學(xué)生讀題、審題，要求學(xué)生自己畫出圖形. 這個(gè)很好，教師談到了畫圖，高考不一定直接考畫圖，但是畫圖是學(xué)生很重要的能力. 然后也給出一系列追問.

追問1：例3探討的斜率是我們熟悉的幾何量，那具體條件給的是什么幾何量？一般怎么轉(zhuǎn)化？

追問2：坐標(biāo)等價(jià)轉(zhuǎn)化，具體怎么表達(dá)呢？

追問3：這個(gè)問題中變化的幾何量有哪些？這一變化是由哪些量的變化引起的？

追問4：直線[AB，PQ]有沒有關(guān)聯(lián)？根據(jù)這些變化的量，可以怎么引進(jìn)參數(shù)呢？

追問5：如何得到與點(diǎn)[A，B]橫坐標(biāo)有關(guān)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)？

這些追問都設(shè)計(jì)得很具體，這樣就完成了對該題中的幾何特征和代數(shù)表達(dá)的分析.

二、重視對解析幾何運(yùn)算特點(diǎn)的分析

眾所周知，解析幾何的學(xué)習(xí)對運(yùn)算能力的要求很高，許多學(xué)生因?yàn)椴荒茼樌瓿纱鷶?shù)運(yùn)算而失分，尤其是遇到有點(diǎn)難的題目，學(xué)生自信心不足. 執(zhí)教教師一直提醒學(xué)生要有勇氣算下去，這一點(diǎn)難能可貴. 由于解析幾何的特點(diǎn)，不可避免需要必要的計(jì)算，關(guān)鍵要把握解析幾何的運(yùn)算特點(diǎn).

文獻(xiàn)[2]指出，解析幾何中的運(yùn)算是建立在幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關(guān)系，再用代數(shù)語言表達(dá)，而且在運(yùn)算中時(shí)刻注意圖形的幾何特征及圖形間的關(guān)系來簡化運(yùn)算，這是突破運(yùn)算難點(diǎn)的關(guān)鍵舉措. 在解析幾何教學(xué)中，提高運(yùn)算能力不能僅從代數(shù)角度入手，還要努力提高學(xué)生的幾何圖形分析能力，也就是要在數(shù)形結(jié)合上下工夫.

本節(jié)課中，執(zhí)教教師對解析幾何運(yùn)算特點(diǎn)的分析，以及學(xué)生在課堂上的嫻熟運(yùn)算都是非常突出的. 在三個(gè)引例中，根據(jù)圖形的幾何特征，多次使用“點(diǎn)差法”來簡化運(yùn)算;例1中發(fā)現(xiàn)四邊形的兩條對角線互相垂直，于是通過對角線乘積的一半來求其面積;例2中執(zhí)教教師讓學(xué)生用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等），這樣可以將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口;例3中教師通過對幾何圖形的分析，利用兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、平行線間的距離公式、弦長公式、“化斜為直”坐標(biāo)法等選定適合題設(shè)的參數(shù)，用題目中的已知量和參變量表示所涉及的定義、方程和幾何性質(zhì)，再用根與系數(shù)的關(guān)系推導(dǎo)出所求定值所需要的表達(dá)式，并將其代入定值表達(dá)式，化簡、整理求出結(jié)果.

尤其在執(zhí)教教師點(diǎn)評學(xué)生做題時(shí)，多次地、不斷地鼓勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生關(guān)注運(yùn)算的關(guān)鍵處. 從學(xué)生方面來看，說明學(xué)生書寫整齊、流暢、基本功扎實(shí). 這是課堂高效率的一個(gè)體現(xiàn).

三、重視對課堂小結(jié)的問題串設(shè)計(jì)

執(zhí)教教師在問題5中設(shè)計(jì)了三個(gè)小問題作為小結(jié)，有效避免了“本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？學(xué)習(xí)了哪些方法？培養(yǎng)了哪些素養(yǎng)？”這種千篇一律的課堂小結(jié). 執(zhí)教教師的課堂小結(jié)內(nèi)容是豐富的，對學(xué)生能起到總結(jié)和提升的作用.

課堂小結(jié)的第一個(gè)問題：根據(jù)上面的解題過程，能否總結(jié)定值問題的解決策略有哪些？談策略問題. 有的是直接推理證明，有的是先從特殊入手再證一般，總結(jié)為“動(dòng)中不動(dòng)是為定，變化之中理辨清，直接計(jì)算得定值”.

課堂小結(jié)的第二個(gè)問題：根據(jù)上面的解題過程，能否總結(jié)定值問題的常見類型有哪些？根據(jù)上面的解題過程，說明是有抓手的，比直接問“學(xué)習(xí)了哪些知識”要好. 總結(jié)了斜率問題（動(dòng)直線的斜率用參數(shù)表示）、面積問題（三角形面積、四邊形面積通過三角形面積割補(bǔ)轉(zhuǎn)化）、角度問題（正弦定理和余弦定理、正切和斜率、平面向量、角平分線定理等）、長度問題（兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、平行線間的距離公式、“化斜為直”坐標(biāo)法等）.

課堂小結(jié)的第三個(gè)問題：在研究定值問題的過程中，我們采用了怎樣的探究過程與方法？這樣設(shè)計(jì)問題就比“有哪些思想方法”要好，因?yàn)槭窃谘芯窟^程中，讓學(xué)生有效地回憶本節(jié)課的內(nèi)容而得出的，能夠開闊學(xué)生的視野，促進(jìn)學(xué)生積累一些經(jīng)驗(yàn). 這個(gè)課堂小結(jié)，值得學(xué)習(xí).

四、談兩點(diǎn)想法

1. 分析研究對象的幾何特征時(shí)力求簡潔而全面

如果把太多的注意力集中在代數(shù)角度的研究，這固然是必要的，因?yàn)樗苓_(dá)到細(xì)致入微的境界，但我們也一定要對幾何要素進(jìn)行分析，因?yàn)槿绻倭酥庇^形象的支持，最后學(xué)生還是不能很好地把握幾何性質(zhì). 例如，在解決例1的過程中，四邊形[ABCD]隨著點(diǎn)[C，D]的運(yùn)動(dòng)而變化，而點(diǎn)[C，D]的運(yùn)動(dòng)是隨著點(diǎn)[M]的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的，從而得到點(diǎn)[M]的運(yùn)動(dòng)是主動(dòng)的，點(diǎn)[C，D]的運(yùn)動(dòng)是被動(dòng)的.

該題運(yùn)動(dòng)中的不變性、規(guī)律性如下：第一，點(diǎn)[M]在橢圓位于第一象限內(nèi)的部分上運(yùn)動(dòng);第二，直線[AM]與直線[BM]分別與[x]軸、[y]軸的正半軸永遠(yuǎn)有交點(diǎn)，這是不變的;第三，四邊形的面積[S四邊形ABCD=12ACBD]不變.

由以上分析可知，既然點(diǎn)[M，C，D]是有關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，那么問題的解決就一定與這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有密切的關(guān)系. 如果設(shè)[Cm，0，D0，n]（易知[m>0，n>0]），由直線的截距式方程，得直線[MA]的方程為[x-2+yn=1]，直線[MB]的方程為[xm+y-1=1]. 聯(lián)立這兩個(gè)方程，解得點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[2mn+2m2-mn， mn+2n2-mn]. 又因?yàn)辄c(diǎn)[M]在橢圓[C]上，故有[2mn+2m2-mn2+4mn+2n2-mn2=4]. 化簡，得[mn+1+2n2=4]，即[mn+m+2n=2]，所以四邊形的面積[S四邊形ABCD=12ACBD=mn+m+2n+22=2+22=2].

當(dāng)我們分析清楚研究對象的幾何特征后，發(fā)現(xiàn)在所有的條件中能夠建立起等量關(guān)系的只有點(diǎn)[M]在橢圓上這一個(gè)條件. 因此，不管怎么設(shè)“坐標(biāo)”，都應(yīng)該在情理之中，我們沒有必要將問題的解答按照某一個(gè)模式來固定，也沒有必要糾結(jié)到底引進(jìn)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)作為“參數(shù)”. 從以上解答來看，都是可行的.

當(dāng)然，解決定點(diǎn)、定值問題常用的思路往往是從特殊情形入手，求得定點(diǎn)、定值，再證明這個(gè)定點(diǎn)、定值與變量無關(guān);或者直接推理計(jì)算，并在計(jì)算的過程中消去變量，從而得到定值. 如果我們本著從特殊情形入手的話，可以怎么取點(diǎn)？取點(diǎn)[M1， 32]，則有[C4-23，0，D0， 33]. 所以四邊形[ABCD]的面積[S四邊形ABCD=][12ACBD]=[6-233+332=2].

再如，對于例3中的條件[TATB=TPTQ]，我們還能想到什么？還能得到什么樣的幾何特征？由圓冪定理可知[A，B，P，Q]四點(diǎn)共圓，這是不變的，這就是對代數(shù)表達(dá)式[TATB=TPTQ]的幾何因素的分析，故我們可以從二次曲線系方程表示為圓的條件（不含[xy]項(xiàng)）入手進(jìn)行解答，同樣可以得到[k1+k2=0]. 由此可見，認(rèn)真解讀條件的幾何特征非常重要.

2. 高三復(fù)習(xí)如何使用好教材的問題

這個(gè)問題可能與本節(jié)課的關(guān)聯(lián)不大，本節(jié)課選用的都是一些熱點(diǎn)素材，分別來自模擬題、高考試題等，這也是高三復(fù)習(xí)課常用的手段和方法. 但是高三復(fù)習(xí)課將教材束之高閣的情況還是比較嚴(yán)重的，也是比較普遍的. 其實(shí)，只要我們仔細(xì)研究，教材完全可以作為高三復(fù)習(xí)的最好素材.

高三復(fù)習(xí)時(shí)，我們可以將教材中的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行有效整合. 例如，人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊中第138頁習(xí)題3.3的第6題：如圖（圖略），直線[y=x-2]與拋物線[y2=2x]相交于點(diǎn)[A，B]，求證[OA⊥OB]. 這道題看似與定點(diǎn)、定值無關(guān)，也非常容易解決，但是其生命力特別旺盛，之前的多版教材都選用它作為例題或習(xí)題. 我們可以挖掘它背后的哪些價(jià)值呢？如果設(shè)[Ax1，y1，Bx2，y2]，就是要證明[y1x1 · y2x2=-1]. 這里，可以把[y1x1， y2x2]看作方程的兩個(gè)根. 事實(shí)上，可以把[y1x1 · y2x2=-1]看作方程的兩根之積為定值. 聯(lián)立方程[y=x-2]和[y2=2x]，消去常數(shù)2，就可以得到方程[y2=x-yx]，再化齊次為[yx2+yx-1=0]. 這就是關(guān)于[yx]的方程. 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，易證[y1x1 · y2x2=-1]. 當(dāng)然，這個(gè)習(xí)題不需要這樣處理，但是這個(gè)思路讓我們產(chǎn)生了下列變式.

變式1：過點(diǎn)[M2，0]的直線與拋物線[y2=2x]相交于[A，B]兩點(diǎn)，求證[OA⊥OB].

變式2：過點(diǎn)[M2p，0]的直線與拋物線[y2=2px]相交于[A，B]兩點(diǎn)，求證[OA⊥OB].

變式3：若直線[l]與拋物線[y2=2px p>0]相交于[A，B]兩點(diǎn)，[OA⊥OB]，直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？

變式4：過拋物線[y2=2px p>0]的頂點(diǎn)[O]作兩條互相垂直的弦[OA，OB]，求[△ABC]面積的最小值.

變式5：過拋物線[y2=2px p>0]上的任意一個(gè)定點(diǎn)[P2pt2，2pt，] 作互相垂直的兩條弦[PA，PB]，直線[AB]是否過定點(diǎn)？

變式6：若直線[l]過點(diǎn)[Pt，0]，與拋物線[y2=2px][p>0]相交于[A，B]兩點(diǎn)，試確定[A，B]兩點(diǎn)對頂點(diǎn)的張角[∠AOB]分別是鈍角、直角和銳角時(shí)[t]所滿足的條件.

我們可以看到，教材中的習(xí)題看似簡單，但是通過不斷變式，可以得到與定點(diǎn)、定值有關(guān)的題目. 當(dāng)然，以教材為背景的高三復(fù)習(xí)課，需要教師對教材內(nèi)容（包括習(xí)題）十分熟悉. 在這種情況下，還需要教師付出艱辛的努力.

高三的復(fù)習(xí)課，最應(yīng)該做的兩件事情：一是要溫故而知新，不要把教材放在一邊，“溫故”從該題就能體現(xiàn)出來，通過解法上的創(chuàng)新，把看似很簡單的題目不斷地變式，跟這節(jié)課的定值、定點(diǎn)建立聯(lián)系. 二是要豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)想. 只要把兩方面的事情都做好了，復(fù)習(xí)的效率自然是高效的.

參考文獻(xiàn)：

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