數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落位課堂

李春雷

摘? 要：數(shù)學(xué)建模是一個(gè)循環(huán)過(guò)程，它由厘定要解決的具體問(wèn)題、做出假設(shè)并定義基本變量、數(shù)學(xué)求解、分析并評(píng)估模型和解決方案、按需要進(jìn)行迭代以完善和擴(kuò)展模型、實(shí)施模型并報(bào)告結(jié)果等六個(gè)周期要素組成. 以這一個(gè)循環(huán)的六個(gè)周期要素為依據(jù)，以分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換的需求為情境，以函數(shù)大單元知識(shí)為抓手，進(jìn)行數(shù)據(jù)調(diào)整模型建構(gòu)的探究，再將研究拓展到工資調(diào)整、水庫(kù)群聯(lián)合調(diào)度等領(lǐng)域，可以使數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有效落位課堂，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;周期要素;落位課堂

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)作為課程目標(biāo)，將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)作為必修課程和選擇性必修課程內(nèi)容的主線、主題，且要求學(xué)生各完成一個(gè)課題研究. 同時(shí)，給出了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的建議課時(shí)數(shù)和相應(yīng)的內(nèi)容要求，并提出將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)融入選修課程內(nèi)容，又將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)劃分為三個(gè)水平. 數(shù)學(xué)建模進(jìn)入各級(jí)各類學(xué)校課堂已經(jīng)成為教育的潮流，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)也成為數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo). 而如何將數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐真正納入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，并貫穿學(xué)生的整個(gè)教育過(guò)程？如何在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中使學(xué)生獲得切身體驗(yàn)？這是廣大數(shù)學(xué)教育工作者一直探索的一個(gè)挑戰(zhàn)性問(wèn)題.

一、數(shù)學(xué)建模的六個(gè)周期要素

2017年6月，由美國(guó)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)（COMAP）、美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（SIAM）聯(lián)合推出，由梁貫成、賴明治、喬中華、陳艷萍編譯的《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南》一書(shū)指出：數(shù)學(xué)建模是一個(gè)過(guò)程，它由厘定要解決的具體問(wèn)題、做出假設(shè)并定義基本變量、數(shù)學(xué)求解、分析并評(píng)估模型和解決方案、按需要進(jìn)行迭代以完善和擴(kuò)展模型、實(shí)施模型并報(bào)告結(jié)果等六個(gè)周期要素組成. 數(shù)學(xué)建模經(jīng)常被描述成一個(gè)循環(huán)，因?yàn)槌３Ｐ枰祷氐阶畛醪⒅匦伦龀黾僭O(shè)，以便更加接近可用的結(jié)果. 數(shù)學(xué)建模過(guò)程如圖1所示，這個(gè)過(guò)程包含了周期要素. 同時(shí)，并非所有的箭頭都是單向的，一些要素可能會(huì)同時(shí)發(fā)生，也可能會(huì)根據(jù)需要而反復(fù)發(fā)生.

對(duì)高中數(shù)學(xué)教師實(shí)施數(shù)學(xué)建模教學(xué)給出五條原則：從小問(wèn)題入手;用引導(dǎo)性問(wèn)題和課堂討論支持初步經(jīng)驗(yàn)的形成;使用日常經(jīng)驗(yàn)來(lái)激發(fā)數(shù)學(xué)方法的使用;使用小型的建模情境、使得只需一兩個(gè)要素就能組成一個(gè)完整的建模周期;分享你的目標(biāo)和教學(xué)實(shí)踐.

二、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落位課堂的教學(xué)實(shí)踐

隨著時(shí)間的推移、社會(huì)的不斷進(jìn)步和發(fā)展，多年前教材編寫(xiě)時(shí)的情境發(fā)生了巨大變化，教材上的有些數(shù)學(xué)問(wèn)題已經(jīng)遠(yuǎn)離生活. 教師在上課時(shí)所選用的案例，如果照搬教材未做適當(dāng)調(diào)整或及時(shí)調(diào)整，就會(huì)滯后于社會(huì)發(fā)展，導(dǎo)致學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)沒(méi)有興趣，缺乏創(chuàng)新激情.

教師要做創(chuàng)新性研究，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題更接近學(xué)生的生活，通過(guò)數(shù)學(xué)建模拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生生活之間的距離，要基于需要研究數(shù)學(xué)問(wèn)題. 教師要努力開(kāi)發(fā)教學(xué)資源，關(guān)心社會(huì)的可持續(xù)發(fā)展，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展和學(xué)業(yè)成績(jī)，以這些真實(shí)情境為數(shù)學(xué)問(wèn)題讓學(xué)生來(lái)解決，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生研究的積極性，要讓學(xué)生有自己的問(wèn)題領(lǐng)域，以主人翁的精神投入數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)創(chuàng)新中. 數(shù)學(xué)建模是溝通數(shù)學(xué)世界與物質(zhì)世界的橋梁，數(shù)學(xué)建模能力是學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的重要表現(xiàn)之一，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值. 基于真實(shí)的物質(zhì)、情感、發(fā)展的需要，教師往往需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生用大腦思考問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思想與方法探索真實(shí)問(wèn)題. 教師的一項(xiàng)重要責(zé)任，就是讓數(shù)學(xué)從自然世界快活地走向?qū)W生的心靈世界，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)創(chuàng)新活動(dòng)中得到心靈上的滿足.

教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題要與學(xué)生和社會(huì)密切相關(guān)，這樣的問(wèn)題能夠引起學(xué)生的研究興趣. 例如，人教B版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)中提到的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題為“生長(zhǎng)規(guī)律的描述”，用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)型函數(shù)構(gòu)建了7歲以下女童身高的增長(zhǎng)模型、玉米植株高度的增長(zhǎng)模型. 這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有跨學(xué)科性，能夠?qū)?shù)學(xué)與生物學(xué)科的知識(shí)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，但距離學(xué)生的生活比較遙遠(yuǎn)，與真實(shí)情境有較大的遷移距離. 能否根據(jù)校園中的具體事例設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模的資源來(lái)研究與學(xué)生生活密切相關(guān)的問(wèn)題，從而點(diǎn)燃學(xué)生的創(chuàng)新之火呢？對(duì)此，教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，用教材教，而不是教教材. 基于以上分析，確定教學(xué)改進(jìn)路徑如圖2所示.

教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷選題、開(kāi)題、做題和結(jié)題這四個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自己選擇模型、建立模型、求解模型、解釋模型、利用模型解決問(wèn)題，對(duì)模型變式遷移，進(jìn)而解決更多實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生的創(chuàng)新成果得到進(jìn)一步升華，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)蘊(yùn)藏著巨大的推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的力量.

案例：數(shù)據(jù)調(diào)整模型的構(gòu)建.

問(wèn)題情境：2020年某日，B市某師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院數(shù)學(xué)建模中心舉辦了全市高中數(shù)學(xué)建模（應(yīng)用）能力展示活動(dòng)，參加的對(duì)象為在校的高一、高二學(xué)生，滿分為100分，按照參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的比例設(shè)置一、二、三等獎(jiǎng). 閱卷結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)預(yù)設(shè)的三等獎(jiǎng)及許多二等獎(jiǎng)的成績(jī)不能達(dá)到60分. 那么，對(duì)原始分進(jìn)行怎樣的轉(zhuǎn)換，才能使獲獎(jiǎng)的學(xué)生的成績(jī)至少達(dá)到及格，也就是使獲獎(jiǎng)的學(xué)生的成績(jī)達(dá)到百分制的60分？為此，需要讓大部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)有所提高，可以采用何種方法？

很多學(xué)生剛剛參加完這次數(shù)學(xué)建模展示活動(dòng)，追求問(wèn)題解決的合理性是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要特征. 該情境任務(wù)蘊(yùn)含著問(wèn)題與活動(dòng)，具有真實(shí)性、不確定性和挑戰(zhàn)性. 教師要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察這個(gè)數(shù)據(jù)調(diào)整問(wèn)題，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考應(yīng)該用哪些數(shù)學(xué)知識(shí)解決該問(wèn)題，會(huì)用數(shù)學(xué)的圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言（進(jìn)一步說(shuō)是函數(shù)模型）表達(dá)這個(gè)問(wèn)題.

1. 厘定要解決的具體問(wèn)題

厘清并確定現(xiàn)實(shí)世界中我們想要知道、做或理解的某種事物或事情，其結(jié)果就是得到一個(gè)源于現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題. 教師要給學(xué)生足夠的時(shí)間，使學(xué)生能夠更好地解釋他們的想法.

在真實(shí)的課堂教學(xué)中，學(xué)生思維非常踴躍，但是學(xué)生起初的思考并不如教師所愿. 關(guān)于如何調(diào)整分?jǐn)?shù)，學(xué)生提出以下若干種方法.

方法1：重新考試，把題出得簡(jiǎn)單一些. 經(jīng)過(guò)評(píng)議，此方法工作量繁重，不適宜.

方法2：重新翻閱試卷，看哪些題可以多給一些分. 此方法工作量也繁重，不適宜.

方法3：把二、三等獎(jiǎng)中實(shí)得分60分以下的分?jǐn)?shù)直接向上調(diào)整為60分. 經(jīng)過(guò)評(píng)議，此方法不合理. 如果將一名實(shí)得分為50分的學(xué)生成績(jī)調(diào)整為60分，與實(shí)得分為60分的學(xué)生分?jǐn)?shù)相同，不公平.

方法4：給每名學(xué)生都加上相同的分?jǐn)?shù). 這樣有可能使最高分超過(guò)100分，不適宜.

方法5：按照等級(jí)給分，先按照實(shí)得分劃分出幾個(gè)等級(jí)，然后將每個(gè)等級(jí)的分?jǐn)?shù)依次往上提分. 但是確定等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的難度比較大，工作量也比較大.

方法6：先將學(xué)生成績(jī)降次排序，第一名給100分，第二名給99分，第三名給98分，依此類推. 學(xué)生評(píng)價(jià)此方法比較公平，不會(huì)破壞名次的順序. 但是也存在問(wèn)題，假如第一名的實(shí)得分為100分，而第二名的實(shí)得分只有83分，第三名的實(shí)得分為82分，顯然前兩名學(xué)生成績(jī)差異明顯. 而給第一名學(xué)生100分，給第二名學(xué)生99分，并沒(méi)有顯示出第一名學(xué)生的實(shí)力，因此對(duì)于第一名學(xué)生來(lái)說(shuō)不公平.

事實(shí)上，方法1、方法2未用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題;方法2 ～ 方法6中學(xué)生的思維只停留在簡(jiǎn)單地給每名學(xué)生加分或給部分不及格的學(xué)生加分的層次上，進(jìn)一步說(shuō)，學(xué)生是用分段函數(shù)及簡(jiǎn)單的線性函數(shù)（含常函數(shù)）給出問(wèn)題的解決方案，很難奏效. 學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于解決一些別人給出的封閉性的應(yīng)用問(wèn)題，而對(duì)這種探索性的、答案不唯一的實(shí)際問(wèn)題往往感到不適. 該題需要學(xué)生在真實(shí)情境中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立起與學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的連接，在茫?！昂瘮?shù)海洋”中找到一個(gè)適恰的數(shù)學(xué)模型解決該問(wèn)題. 最后，師生確定出一個(gè)調(diào)分原則：100分的、0分的調(diào)整前后分?jǐn)?shù)不變;學(xué)生的名次調(diào)整前后不發(fā)生變化. 抓住問(wèn)題的主要矛盾，建立起反映調(diào)分問(wèn)題本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，從發(fā)散思維到收斂思維，經(jīng)過(guò)抽象、簡(jiǎn)化，最后厘定要解決的具體數(shù)學(xué)問(wèn)題：從函數(shù)大單元中，尋找滿足上述調(diào)分原則的函數(shù)模型，該模型要能起到能夠調(diào)高大多數(shù)學(xué)生分?jǐn)?shù)的作用.

2. 做出假設(shè)并定義基本變量

在現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題中選擇一些看上去比較重要的“對(duì)象”，識(shí)別它們之間的關(guān)系，并決定是保留還是忽視那些對(duì)象或者它們之間的關(guān)系，最后得到一個(gè)初始問(wèn)題的理想化版本.

設(shè)[x]為學(xué)生的實(shí)際分?jǐn)?shù)，[y]為調(diào)整后學(xué)生的分?jǐn)?shù). 假設(shè)存在函數(shù)[y=fx]，滿足[f0=0，f100=100]，且當(dāng)[0<x<100]時(shí)，都有[fx>x.] 接下來(lái)的任務(wù)就是尋找這樣的函數(shù)[y=fx].

3. 數(shù)學(xué)求解

將這個(gè)理想化版本轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)并得出理想化問(wèn)題的數(shù)學(xué)公式，這個(gè)數(shù)學(xué)公式就是模型. 再進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和求解，看看得到什么結(jié)果.

可以讓學(xué)生先想象這個(gè)函數(shù)是什么，然后思考如何借助計(jì)算機(jī)軟件得出這一結(jié)果.

先找到一條參照函數(shù)模型的線段[y=x 0≤x≤100]，而要尋找的函數(shù)[y=fx 0≤x≤100]的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)與該線段的兩個(gè)端點(diǎn)重合，其他部分應(yīng)該在該線段之上. 經(jīng)過(guò)分析，該函數(shù)可以為上凸的增函數(shù)，于是學(xué)生聯(lián)想到教材中的函數(shù)[y=x 0≤x≤100]，將它乘以系數(shù)[k]，得到函數(shù)[y=kx 0≤x≤100]，該函數(shù)過(guò)點(diǎn)[0，0]，最后確定出參數(shù)[k]的值即可得到所求函數(shù)模型. 令[100=k100 0≤x≤100]，則[k=10]，由此得到函數(shù)模型[y=10x 0≤x≤100]. 學(xué)生從已有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，自我監(jiān)控，循序漸進(jìn)，在“憤”“悱”狀態(tài)下，逐漸放棄原有的方案，創(chuàng)設(shè)新方案，經(jīng)過(guò)一段波折的歷程，學(xué)生逐漸進(jìn)入教師預(yù)設(shè)的函數(shù)建模探究軌道，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.

通過(guò)以上分析，獲得分?jǐn)?shù)調(diào)整數(shù)學(xué)模型Ⅰ，如圖3所示.

由函數(shù)模型[fx=10x 0≤x≤100]，得[f36=][36×10=60]，可以預(yù)測(cè)出原來(lái)36分及以上的分?jǐn)?shù)均可以調(diào)整為及格分?jǐn)?shù)，且不改變?cè)许樞?

還可以探究誰(shuí)的分?jǐn)?shù)調(diào)整前后未變. 這實(shí)際上是在研究函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題. 令[fx=10x=x]，可得[x2-100x=0]，解得[x1=0，x2=100]. 說(shuō)明得0分和100分的學(xué)生調(diào)整前后分?jǐn)?shù)沒(méi)有改變.

再探究誰(shuí)提分最多. 這實(shí)際上是要將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，研究增分最多的原始分，即探究函數(shù)[gx=][fx-x=10x-x 0≤x≤100]的最大值. 注意到函數(shù)[gx=-x2+10x=-x-52+25 0≤x≤100]. 則當(dāng)[x=5]，即[x=25]時(shí)，[gx]取最大值，最大值為[25]. [f25=1025=50]. 此時(shí)，該成績(jī)由原始分25分調(diào)整到新分?jǐn)?shù)[50]分.

4. 分析并評(píng)估模型和解決方案

進(jìn)行如下考慮：它解決問(wèn)題了嗎？哪些要素被呈現(xiàn)了？當(dāng)把它轉(zhuǎn)變回現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，是否合乎實(shí)際和情理，也就是是否與預(yù)期相符？其答案是否合理？后果是否可接受？該模型可以怎樣改進(jìn)？何時(shí)可用？受何限制？

數(shù)學(xué)模型[y=fx=10x 0≤x≤100]解決了至少36分能調(diào)整為及格分的問(wèn)題，當(dāng)它轉(zhuǎn)回現(xiàn)實(shí)問(wèn)題后還符合0分、100分、所有分?jǐn)?shù)次序這些指標(biāo)均不改變的標(biāo)準(zhǔn). 該數(shù)學(xué)模型的單調(diào)遞增性、上凸性等要素在問(wèn)題解決中得到了靈活運(yùn)用.

數(shù)學(xué)模型也許是不完美的，需要不斷完善. 若還需要進(jìn)一步增加及格人數(shù)，該數(shù)學(xué)模型還可以怎樣調(diào)整？反之，若題目出得太容易了，分?jǐn)?shù)“虛胖”，怎樣使分?jǐn)?shù)降下來(lái)？該策略能夠適宜更大范圍的問(wèn)題嗎？要解決這些問(wèn)題，勢(shì)必要對(duì)所得的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步改進(jìn)，以及對(duì)問(wèn)題模型進(jìn)一步擴(kuò)展.

5. 按需要進(jìn)行迭代以完善和擴(kuò)展模型

做必要的過(guò)程迭代，從而完善并擴(kuò)展得到的模型. 數(shù)學(xué)建模在立德樹(shù)人方面具有其他數(shù)學(xué)知識(shí)不可替代的作用. 對(duì)數(shù)學(xué)建模的回應(yīng)可能比糾正一個(gè)具有清晰目標(biāo)和明確答案的試題更具有挑戰(zhàn)性. 教師要迎接這一挑戰(zhàn)，給學(xué)生提供更有意義的反饋.

（1）函數(shù)模型的擴(kuò)展.

通過(guò)以上數(shù)學(xué)建模思維活動(dòng)，激活了學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知圖式，能引導(dǎo)他們以類似的方式搜索更多已知數(shù)學(xué)模型. 學(xué)生腦洞大開(kāi)，能較快地從長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)中提取已經(jīng)儲(chǔ)存的函數(shù)信息進(jìn)行選擇、加工和求解.

以滿分100分為例，欲保持0分、100分不動(dòng)，其余分?jǐn)?shù)都上調(diào)，只需要找到一個(gè)函數(shù)[y=fx]，其圖象單調(diào)遞增，且圖象上在[0，100]上的曲線段在線段[y=x][0<x<100]的圖象的上方，曲線段[y=fx 0<x<100]為上凸的函數(shù)圖象. 學(xué)生聯(lián)想學(xué)過(guò)的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，既然冪函數(shù)型函數(shù)是可以奏效的，那么對(duì)數(shù)函數(shù)型函數(shù)也應(yīng)該可以吧？

考察函數(shù)[fx=logax+1]，其圖象過(guò)點(diǎn)[0，0]. 設(shè)[f100=loga101=100]，則[a100=101]，解得[a=1010.01]. 故所求函數(shù)模型為[fx=log1010.01x+1=100log101x+1].

通過(guò)作圖還可以發(fā)現(xiàn)，此方法比用函數(shù)[fx=10x]上調(diào)幅度更大. 令[fx=100log101x+1=60]，可得[x=][1010.6-1≈14.94]. 看來(lái)這種方法可以使獲得15分及以上的學(xué)生獲得及格分及以上的成績(jī).

反之，若題目出得太容易了，尋求降分的模型，就可以選擇下凸的函數(shù). 事實(shí)上，利用反函數(shù)的性質(zhì)，只要求出上凸函數(shù)模型[y=10x 0≤x≤100]和[y=][100log101x+1 0≤x≤100]的反函數(shù)，即得到函數(shù)模型[y=0.01x2 0≤x≤100]，[y=1010.01x-1 0≤x≤100]，利用這兩個(gè)函數(shù)模型可以普遍下調(diào)分?jǐn)?shù).

通過(guò)以上分析，獲得分?jǐn)?shù)調(diào)整數(shù)學(xué)模型Ⅱ，如圖4所示.

有些對(duì)三角函數(shù)特別感興趣的學(xué)生提出用函數(shù)[y=100sinkx 0≤x≤100]來(lái)調(diào)整分?jǐn)?shù)，該模型已經(jīng)滿足當(dāng)[x=0]時(shí)，[y=0]. 根據(jù)實(shí)際需要，滿分是100分的學(xué)生，調(diào)整后其成績(jī)還應(yīng)該是100分，函數(shù)在區(qū)間[0，100]為增函數(shù). 為此，函數(shù)模型還應(yīng)該滿足以下條件. 當(dāng)[x=100]時(shí)，[y=100]，則有[100=100sin100k]，解得[sin100k=1]. 函數(shù)[y=100sinkx]的周期[T]還應(yīng)該滿足[T4=100]，則有[T=400=2πk]，解得[k=π200]. 由此可以確定參數(shù)[k]的值. 顯然，參數(shù)[k]的值滿足[sin100k=1]. 則函數(shù)模型可以確定為[y=][100sinπ200x 0≤x≤100]. 若令[y=60]，則有[60=100sinπ200x 0≤x≤100]，解得[x=200arcsin0.6π≈41]. 這說(shuō)明41 ～ 59分的原始分均可以調(diào)整為及格分.

通過(guò)以上分析，獲得分?jǐn)?shù)調(diào)整數(shù)學(xué)模型Ⅲ，如圖5所示.

（2）問(wèn)題模型的擴(kuò)展.

若將滿分由100分?jǐn)U展到150分，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型如何調(diào)整？引導(dǎo)學(xué)生類比滿分為100分的情況進(jìn)行探究，可以得到[fx=150x=56x 0≤x≤150]，[fx=][150log151x+1 0≤x≤150，fx=1150x2 0≤x≤150，][fx=151x150-1 0≤x≤150，fx=150sinπ300x 0≤x≤150]等數(shù)學(xué)模型.

（3）模型適用范圍的擴(kuò)展.

① 工資收入結(jié)構(gòu)性調(diào)整.

引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)雜的、陌生的情境下識(shí)別并建立數(shù)學(xué)模型. 例如，探索普調(diào)工資問(wèn)題. 如果想將低收入人群的工資收入調(diào)高一些，而高收入人群的工資收入上調(diào)幅度較小，并且不破壞人群的收入高低順序，就可以參照上述建模過(guò)程，把分?jǐn)?shù)調(diào)整模型創(chuàng)新、遷移到工資收入結(jié)構(gòu)性調(diào)整中. 這就把建模問(wèn)題從學(xué)生個(gè)人情境遷移到了職業(yè)情境、社會(huì)情境，擴(kuò)大了學(xué)生的視野，增大了學(xué)生的格局，使學(xué)生胸懷天下，關(guān)心的不只是分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，而是國(guó)家大事，立德樹(shù)人的育人理念也就自然融入其中了. 在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，學(xué)生的情感也發(fā)生了巨大的變化，對(duì)數(shù)學(xué)充滿了興趣和進(jìn)一步探索的欲望. 在優(yōu)勞優(yōu)酬、激勵(lì)創(chuàng)新的情境下，工資調(diào)整模型怎樣設(shè)置更合理？答案不唯一，給學(xué)生無(wú)限的探索空間. 所用的數(shù)學(xué)知識(shí)也可以由函數(shù)領(lǐng)域拓展到統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域（如用標(biāo)準(zhǔn)分來(lái)調(diào)整學(xué)生的成績(jī)）.

② 長(zhǎng)江水庫(kù)群聯(lián)合調(diào)度.

以三峽水庫(kù)為核心的長(zhǎng)江流域水庫(kù)群是目前世界上規(guī)模最大的巨型水庫(kù)群，在長(zhǎng)江流域防洪、生態(tài)、供水、發(fā)電、航運(yùn)等方面發(fā)揮著重要作用. 長(zhǎng)江干流“梯級(jí)水庫(kù)群聯(lián)合調(diào)蓄、蓄豐補(bǔ)枯”，以汛期、蓄水期和枯水期為時(shí)間周期. 每年汛期末，進(jìn)行蓄水期的蓄水調(diào)度，上游水庫(kù)均需蓄水以滿足來(lái)年枯水期用水需求. 若水庫(kù)群在蓄水時(shí)間上不能協(xié)調(diào)，上游水庫(kù)爭(zhēng)相無(wú)序蓄水，可能出現(xiàn)集中蓄水的“搶水”局面，造成蓄水過(guò)程中下游過(guò)度缺水和下游水庫(kù)蓄水困難，需統(tǒng)籌協(xié)調(diào)，解決汛末集中蓄水和競(jìng)爭(zhēng)蓄水可能帶來(lái)的供水、生態(tài)、航運(yùn)等用水矛盾，提高水庫(kù)群整體蓄滿率. 因此，需要制定水庫(kù)群聯(lián)合調(diào)度數(shù)學(xué)調(diào)整模型，避免“分散管理”“各自為戰(zhàn)”等不利因素.

通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提煉概念是確定適切數(shù)學(xué)模型的突破口. 學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該先找到水庫(kù)水量調(diào)整前后的數(shù)學(xué)變量.

變量的確定. 通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，每個(gè)水庫(kù)若以水位升降的數(shù)值作為變量是不科學(xué)的;進(jìn)一步探究，逐步發(fā)現(xiàn)可以定義數(shù)學(xué)概念水庫(kù)蓄滿率，即水庫(kù)蓄滿率=[水庫(kù)實(shí)際蓄水量水庫(kù)總蓄水量]，將水庫(kù)蓄滿率作為研究變量是比較科學(xué)的;若與前述數(shù)學(xué)建模展示活動(dòng)100分制的數(shù)學(xué)模型建立起聯(lián)系，可以定義數(shù)學(xué)概念水庫(kù)蓄滿指數(shù)，即水庫(kù)蓄滿指數(shù)=水庫(kù)蓄滿率×100=[水庫(kù)實(shí)際蓄水量水庫(kù)總蓄水量]×100，將水庫(kù)蓄滿指數(shù)作為研究變量就會(huì)更易于操作. 因而可以記[x]為調(diào)度前某水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，[y]為調(diào)度后該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，聯(lián)合調(diào)度要求調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間[0，100];蓄水期聯(lián)合調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)都不能降低;調(diào)度前后，各水庫(kù)的蓄滿指數(shù)排名不變.

蓄水期的蓄水調(diào)度數(shù)學(xué)模型. 水庫(kù)群按計(jì)劃分梯次有序蓄水，各水庫(kù)每年基本都能蓄至正常蓄水位附近. 制定基于分區(qū)控制的水庫(kù)群汛末聯(lián)合蓄水方案. 前面數(shù)學(xué)建模展示活動(dòng)的增分模型可以遷移到蓄水模型，并根據(jù)情況適當(dāng)調(diào)整.

枯水期的消落調(diào)度數(shù)學(xué)模型. 長(zhǎng)江上游水庫(kù)群在枯水季節(jié)為中下游補(bǔ)水. 前面數(shù)學(xué)建模展示活動(dòng)的降分模型可以遷移到消落模型，并根據(jù)情況適當(dāng)調(diào)整.

當(dāng)然，在實(shí)際調(diào)度中，會(huì)面臨更加復(fù)雜的情況，不僅要考慮庫(kù)容分配方案，還要考慮電網(wǎng)調(diào)峰方案，可能會(huì)在更多的約束條件下探究水庫(kù)群聯(lián)合調(diào)度的最佳綜合效益. 找到聯(lián)合調(diào)度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型和算法，必須依賴專業(yè)數(shù)學(xué)模型的模擬計(jì)算分析，才能做到科學(xué)、合理.

6. 實(shí)施模型并報(bào)告結(jié)果

面向現(xiàn)實(shí)世界和實(shí)際應(yīng)用，向他人報(bào)告得到的結(jié)論，并實(shí)施解決方案，說(shuō)明這些結(jié)果如何在直覺(jué)上、邏輯上被銜接起來(lái).

課堂上，小組代表展示了各自的研究成果，特別是分享了自己研究的心路歷程，憑直覺(jué)認(rèn)為哪類函數(shù)滿足條件，考慮問(wèn)題時(shí)函數(shù)的哪些性質(zhì)有助于進(jìn)行邏輯分析. 學(xué)生的溝通和合作能力都得到了提升.

三、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的反思

1. 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是一個(gè)學(xué)生思維不斷進(jìn)階的過(guò)程

該數(shù)學(xué)建模過(guò)程從數(shù)學(xué)建模展示活動(dòng)出現(xiàn)的真實(shí)問(wèn)題入手;用分?jǐn)?shù)怎樣調(diào)整作為引導(dǎo)性問(wèn)題進(jìn)行課堂討論;支持[y=kx 0≤x≤100]初步經(jīng)驗(yàn)的形成，經(jīng)歷了求取參數(shù)的過(guò)程;使用函數(shù)的單調(diào)性等學(xué)生日常數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)激發(fā)更多數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建，為根據(jù)實(shí)際需要調(diào)整分?jǐn)?shù)做了多套預(yù)案;學(xué)生分享建模成果和建模的心路歷程，鍛煉了表達(dá)和交流的能力.

學(xué)生經(jīng)歷了問(wèn)題解決的全過(guò)程，在最優(yōu)模型的評(píng)價(jià)中不斷進(jìn)行選擇和改進(jìn)，對(duì)所學(xué)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)進(jìn)行了全面的大單元復(fù)習(xí)，這種方式遠(yuǎn)勝于單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的孤立復(fù)習(xí). 學(xué)生經(jīng)歷了以下過(guò)程：水平0，無(wú)法從實(shí)際情境中識(shí)別出任何數(shù)量關(guān)系;水平1，嘗試將實(shí)際情境結(jié)構(gòu)化、提出問(wèn)題，但無(wú)法找到數(shù)學(xué)模型;水平2，提出合理的假設(shè)，并找到數(shù)學(xué)模型，但數(shù)學(xué)模型不合理;水平3，找到現(xiàn)實(shí)模型，轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)模型，但未能得到準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)解答或數(shù)學(xué)解答過(guò)程錯(cuò)誤;水平4，提出合理的數(shù)學(xué)模型，得到準(zhǔn)確的解答，但沒(méi)有根據(jù)實(shí)際情境解釋結(jié)果;水平5，找到現(xiàn)實(shí)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，得到準(zhǔn)確解答，結(jié)合實(shí)際情境解釋并檢驗(yàn)解答、評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型的合理性.

本研究使學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)能夠在課堂上扎根，不只是數(shù)據(jù)調(diào)整模型的不斷擴(kuò)展，研究的領(lǐng)域也在不斷遷移，達(dá)到水平6（即由校內(nèi)到社會(huì)、由熟悉的情境到陌生的情境），數(shù)學(xué)建模的成果在更大領(lǐng)域得到推廣，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)了學(xué)生的高階思維能力，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí). 教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，未來(lái)可以通過(guò)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型用Z分?jǐn)?shù)、T分?jǐn)?shù)等對(duì)原始分?jǐn)?shù)進(jìn)行調(diào)整.

2. 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是一個(gè)學(xué)生研究領(lǐng)域不斷擴(kuò)展的過(guò)程

對(duì)于教材中的“生長(zhǎng)規(guī)律的描述”的內(nèi)容不是棄而不用，而是讓學(xué)生課后閱讀理解，從而培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力. 經(jīng)歷了“分?jǐn)?shù)調(diào)整”的個(gè)人情境、“工資調(diào)整”的社會(huì)情境、“長(zhǎng)江水庫(kù)聯(lián)合調(diào)整”的職業(yè)情境、“生長(zhǎng)規(guī)律探究”的科學(xué)情境，學(xué)生由關(guān)心個(gè)人發(fā)展逐漸向關(guān)心社會(huì)的整體發(fā)展乃至關(guān)心國(guó)家建設(shè)過(guò)渡，最后達(dá)到學(xué)生身心整體的科學(xué)發(fā)展.

3. 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是學(xué)生從機(jī)械模仿走向不斷創(chuàng)新的過(guò)程

從真實(shí)情境中提出數(shù)學(xué)建模的真實(shí)問(wèn)題，使數(shù)學(xué)建模與日常數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合成為可能，實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容的優(yōu)化融合，從而改變只靠教師翻來(lái)覆去講、學(xué)生機(jī)械模仿并迷茫于題海之中、數(shù)學(xué)和實(shí)際生活結(jié)合少的教學(xué)現(xiàn)狀，消除學(xué)生對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算、難題、偏題的厭煩情緒，使學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用中深度學(xué)習(xí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的高階思維能力，特別是創(chuàng)新能力. 數(shù)學(xué)建模理念貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教育的始終，學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有了用武之地，學(xué)生的思維從封閉性的數(shù)學(xué)問(wèn)題解答的困境中解放出來(lái)了.

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