放縮來助力 同構(gòu)展風采

蔡海濤 林晴嵐 張潔

利用導數(shù)證明不等式問題在近年高考中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題的求解時常因為借助一些較強技巧性的方法而致使難度大，本文以一道2020年莆田市高三質(zhì)檢試題為例，探究如何從放縮、同構(gòu)兩條路徑出發(fā)，追尋破解之道，

評注 解法4的基本思路是從圖形上對要證式子的直觀說明，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了要證不等式的幾何背景及內(nèi)涵，加深了學生對問題本質(zhì)的理解，推理證明的思路同法2.

評注 第（2）問根據(jù)題意通過切線放縮，把問題轉(zhuǎn)化為證明8x3—8x2 +5≤14x+9，構(gòu)造函數(shù)h（x）=8x3-_8x2 -14x -4，接下來問題不難解決，利用切線放縮的方法要求學生具有一定的結(jié)構(gòu)意識，放縮轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)策略，對代數(shù)式的直觀想象及數(shù)學抽象的處理策略，

評注第（1）問求切線方程對第第（2）問的證明有一定的啟示作用，把證明的問題轉(zhuǎn)化為l x1 -x2|的最大值問題，設g（x2）=f（x1）=f（x2）=h（x4） =m，利用兩條切線進行放縮，得到|x1-x2|

3 同構(gòu)

同構(gòu)往往是處理指對數(shù)函數(shù)跨階函數(shù)式的證明，同構(gòu)式需要構(gòu)造一個母函數(shù)，即外函數(shù)，表示為h（x），這個母函數(shù)的特征為指對跨階、單調(diào)性易

4 結(jié)語

利用導數(shù)證明不等式的類型很多，本文著重探討通過放縮轉(zhuǎn)化、同構(gòu)函數(shù)的一些常見證明方法，蘇步青說過“學習數(shù)學要學得精、深、透，學到的知識也就扎實、牢靠，”因此在教學中，教師應對試題多研究，關注試題的背景與內(nèi)涵，關注試題的變式與拓展，這樣的解題教學才能真正實現(xiàn)“做一題，透一點，通一類”，從而培養(yǎng)學生的思維，提升數(shù)學素養(yǎng)