由圓錐曲線的對稱性例談高考復(fù)習(xí)

章海輝

近年來全國高考數(shù)學(xué)試題注重落實(shí)了立德樹人根本任務(wù)，貫徹“德智體美勞”的全面發(fā)展教育方針，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔和育人導(dǎo)向作用，本文以2012年福建省理科19題和2020年全國I卷理科第20題為例闡述高考試題的美育功能，當(dāng)學(xué)生具備了一定的審美能力之后，又能幫助學(xué)生自己解決問題，相輔相成.

1 感曲線之美

圓錐曲線圖形本身就具備了對稱美和簡潔美，如橢圓和雙曲線就是關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對稱，拋物線是關(guān)于對稱軸對稱，這是我們都能直觀感受到它的對稱美和簡潔美，當(dāng)我們深入研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系或者是直線過定點(diǎn)問題時(shí)，我們更加深入體驗(yàn)到了圓錐曲線對稱美的內(nèi)涵，下面以一道2012年福建省理科19題為例來說明：

（Ⅱ）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相較于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，說明理由，

此題若進(jìn)行常規(guī)的計(jì)算，會出現(xiàn)較大的思維量和運(yùn)算量，不易得出正確結(jié)論，在充分利用圓錐曲線對稱性后，我們能高效和準(zhǔn)確地得出正確結(jié)論，進(jìn)一步感受圓錐曲線的對稱美.

2 悟解題之道

在解答2012年福建理科19題時(shí)，若沒有利用橢圓的對稱性，則需要進(jìn)行極其復(fù)雜的運(yùn)算，耗時(shí)且容易錯(cuò);但借助于圓錐曲線的對稱性，就能有效地簡化運(yùn)算并能迅速解出此題，這就為我們面對類似的題目時(shí)，提供了解題思路，下面以2020年全國I卷理科20題為例：

備注本題的解法包含但不限于以上兩種解法，但以上兩種解法均從圓錐曲線的對稱美的角度切入，簡化運(yùn)算，求得結(jié)論，解法1是設(shè)點(diǎn)P（6，m），然后所有涉及的相關(guān)點(diǎn)和直線均以含n的表達(dá)式表示，最后利用對稱性來求解;解法2是設(shè)直線PA的斜率k，其所有涉及的相關(guān)點(diǎn)和直線均以含k的表達(dá)式來表示，最后也是利用對稱性來求解，二者有異曲同工之效.

3 品數(shù)學(xué)之味

細(xì)細(xì)的品味著2020年全國I卷理科20題時(shí)，我們有如下思考：

首先，若直線x=6改為直線x=t（t>3或t< -3）時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)此題的結(jié)論：直線CD過定點(diǎn)仍然成立，所以題目可改編為：右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG.GB：8，P為直線x=t上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，P與E的另一交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點(diǎn)，

在解答此改編題時(shí)，我們?nèi)匀豢衫脠A錐曲線的對稱性來進(jìn)行求解，

其次，經(jīng)過上面的思考過程之后，既然直線都可以改，那么橢圓的方程能不能改？利用對稱性這一特點(diǎn)，經(jīng)過一番演算之后，我們發(fā)現(xiàn)它仍然經(jīng)過一定點(diǎn)，故題目改編如下：

（1）求橢圓C的方程.

（2）以橢圓長軸為直徑的圓叫做橢圓的“外切圓”，記橢圓C的外切圓為E.

（ i）求圓E的方程.

（ ii）在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q，使得以PQ為直徑的圓始終與圓E相切，若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)P（2，0），過點(diǎn)F且斜率不為零的直線，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，以線段AP為直徑的圓與直線x=2的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，證明：直線BQ恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）求r的方程;

（2）連接NS并延長交r于異于M的一點(diǎn)P，求證：直線MP過定點(diǎn).

5幾點(diǎn)思考

①平時(shí)在教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中，我們留意收集類似的題目，從中得出一種通用的解法，然后利用該通法去解類似的題目，經(jīng)過長時(shí)間的積累和沉淀之后，教學(xué)能力和解題能力必然有長足的提高，

②本文中涉及的從高考題感受到圓錐曲線的內(nèi)在對稱美，然后悟出解這種類型的方法，最后在應(yīng)用此種方法去解類似的高考題，相輔相成;而且在這一過程中，學(xué)生的審美功能也能得到一定程度的提高，較好地落實(shí)數(shù)學(xué)教育的美育功能，期待有更多的教師在此方面有更多的研究成果，

③文中提到的2020年高考全國I卷·理20，我們還有很多思考需要展開，比如

（i）題目中的直線x=6能否改成任意一條直線Ax+ By+C=0，其結(jié)論是否仍然成立？

（ii）該題從涉及的各條直線斜率之間的關(guān)系作為切入點(diǎn)，是否也能正確求解？

此處不再展開，請各位讀者自行研究