跨學(xué)科視域下高中物理數(shù)學(xué)思維方法融合的習(xí)題教學(xué)策略研究

李旖旎

摘 ? 要：基于高中物理課程的特點(diǎn)，在習(xí)題教學(xué)中通過(guò)合理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生將物理科學(xué)思維及科學(xué)探究方法與數(shù)學(xué)思維方法如圖像法、矢量法、阿氏圓法等相結(jié)合，可有助于學(xué)生物理模型建構(gòu)能力、利用證據(jù)分析論證等能力的提高。

關(guān)鍵詞：跨學(xué)科;高中物理;思維融合;習(xí)題教學(xué)

引言

高中物理課程以立德樹(shù)人、提高學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)為根本目的，在學(xué)科間交叉融合日益緊密的今天，為了更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力和科學(xué)探究能力，在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合物理學(xué)科的特點(diǎn)，注重與數(shù)學(xué)思維方法的融合。

1 ?高中物理跨學(xué)科教學(xué)是新課程背景對(duì)提高學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)提出的新要求

1.1 ?高中階段物理學(xué)科特點(diǎn)

作為自然科學(xué)領(lǐng)域的一門基礎(chǔ)學(xué)科，物理學(xué)始終引領(lǐng)著人類探索自然和科技發(fā)展的方向，也深刻地影響著人們看待世界的思維方式。物理學(xué)以觀察和實(shí)驗(yàn)為學(xué)科底色，建構(gòu)物理模型，以數(shù)學(xué)為表達(dá)工具，形成系統(tǒng)的研究方法和理論體系。高中階段的物理課程，肩負(fù)著立德樹(shù)人的根本任務(wù)，幫助學(xué)生從物理學(xué)的視角觀察自然現(xiàn)象，提煉物理情境，建構(gòu)思維模型，通過(guò)科學(xué)猜想及實(shí)驗(yàn)探究，最終以數(shù)學(xué)為表達(dá)工具，對(duì)證據(jù)進(jìn)行論證及思維定律的提煉和升華。

1.2 ?跨學(xué)科研究是現(xiàn)代科技發(fā)展的必然結(jié)果

一切科技的進(jìn)步都來(lái)源于測(cè)量工具的進(jìn)步，而測(cè)量工具的進(jìn)步又與物理學(xué)科的發(fā)展密不可分，正是物理學(xué)科的發(fā)展促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。同時(shí)現(xiàn)代各個(gè)領(lǐng)域的科技發(fā)展又給予了物理學(xué)進(jìn)一步研究與發(fā)展的靈感。在現(xiàn)代，各學(xué)科間的相互交融日益加深。

2 ?高中物理習(xí)題教學(xué)中物理與數(shù)學(xué)思維方法融合的教學(xué)策略

2.1 ?基于學(xué)科特點(diǎn)的高中物理與數(shù)學(xué)思維方法融合

數(shù)學(xué)思維方法的應(yīng)用廣泛存在于物理研究及學(xué)習(xí)的方方面面。針對(duì)學(xué)生物理觀念的學(xué)習(xí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法能夠?qū)ξ锢硪?guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的表達(dá);針對(duì)學(xué)生科學(xué)思維及科學(xué)探究能力的提高，數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用在物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理、科學(xué)論證的過(guò)程中必不可少;而針對(duì)學(xué)生科學(xué)態(tài)度與責(zé)任的培養(yǎng)方面，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)有助于學(xué)生感受物理之美、科學(xué)之美。

2.2 ?高中物理數(shù)學(xué)融合的習(xí)題教學(xué)策略及案例

習(xí)題是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中必不可少的一環(huán)。習(xí)題的意義不僅僅在于幫助學(xué)生診斷學(xué)習(xí)問(wèn)題，習(xí)題教學(xué)的意義也不僅僅在于就題論題地評(píng)講知識(shí)點(diǎn)。從提高學(xué)生關(guān)鍵能力的角度上看，習(xí)題及習(xí)題教學(xué)除了作為學(xué)生日常學(xué)習(xí)的一種評(píng)價(jià)方式，更可以以習(xí)題為載體，通過(guò)創(chuàng)設(shè)合理的學(xué)科情境與步步深入的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)推理，從情境中發(fā)現(xiàn)可研究的問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)思維方法的運(yùn)用，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)探究方案的能力、獲取并利用數(shù)學(xué)工具分析、處理證據(jù)的能力和利用數(shù)學(xué)表達(dá)工具解釋探究結(jié)果的能力。

下面通過(guò)兩個(gè)案例來(lái)說(shuō)明高中物理習(xí)題教學(xué)與圖像法、矢量加減法的思維融合策略。

2.2.1 ?高中物理習(xí)題教學(xué)與數(shù)學(xué)圖像法的思維融合

圖像法是數(shù)學(xué)中用于描述因變量與自變量間函數(shù)關(guān)系的一種常用方法，由于它數(shù)形一體，因而相較于列表法、函數(shù)表達(dá)法等圖像法在物理研究中能夠更為直觀明了地展現(xiàn)物理量之間的關(guān)系，因此圖像法是描述與探索物理規(guī)律時(shí)的重要工具。

在高中物理習(xí)題教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)合理的問(wèn)題情境的設(shè)置，可以引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)將其他學(xué)科思維方法用于物理科學(xué)探究的過(guò)程、利用數(shù)學(xué)圖像法對(duì)物理量之間的關(guān)系進(jìn)行直觀深入的分析推理，更深刻地解釋物理規(guī)律內(nèi)涵。

【例題1】某同學(xué)甲利用圖1所示的玻意耳定律演示儀來(lái)驗(yàn)證玻意耳定律：當(dāng)溫度不變時(shí)，定量理想氣體的體積與其承受的壓力成反比。已知在實(shí)驗(yàn)中可以通過(guò)移動(dòng)右側(cè)針筒活塞的位置來(lái)改變針筒中封閉氣體的體積，同時(shí)針筒底部與左側(cè)刻度盤內(nèi)部導(dǎo)通，利用刻度盤可讀出對(duì)應(yīng)的氣體壓強(qiáng)的大小。實(shí)驗(yàn)中該同學(xué)測(cè)得的氣體體積及對(duì)應(yīng)壓強(qiáng)數(shù)據(jù)如表1所示：

（1）通過(guò)計(jì)算，該同學(xué)發(fā)現(xiàn)如下表1中各組氣體體積與對(duì)應(yīng)壓強(qiáng)的乘積并不相等，請(qǐng)你判斷可能的原因是： _______________________________________;

（2）另一同學(xué)乙同樣也進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，她首先將針筒活塞推至“10 ml”刻度處，此時(shí)刻度盤上的氣體壓強(qiáng)值為0.50 atm，接著將針筒活塞移至“0 ml”刻度處，此時(shí)刻度盤上的氣體壓強(qiáng)值為1.00 atm，則通過(guò)以上數(shù)據(jù)可知：固定在基座上的連接針筒與刻度盤的導(dǎo)管容積約為_(kāi)________ml;

（3）我們研究物理問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常利用圖像法來(lái)直觀地展現(xiàn)物理量之間的關(guān)聯(lián)性。有一同學(xué)丙在進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)時(shí)希望利用圖像法來(lái)直觀展現(xiàn)封閉氣體體積與壓強(qiáng)間的關(guān)系，則：

①其應(yīng)選擇的是________圖像（填“P-V”或“-V”）;

②該同學(xué)以甲同學(xué)所測(cè)氣體體積V為橫坐標(biāo)，以其所測(cè)氣體壓強(qiáng)的倒數(shù)為縱坐標(biāo)畫(huà)圖，則其所作圖形應(yīng)為圖2中A、B、C三條直線中的_____（填“A”“B”或“C”）;理論上通過(guò)圖像求得圖線斜率、利用理想氣體狀態(tài)方程=C將可求出實(shí)驗(yàn)時(shí)的環(huán)境溫度（假設(shè)針筒導(dǎo)熱性能良好），則在忽略針筒及刻度盤間的導(dǎo)管容積的情況下該同學(xué)所求得的環(huán)境溫度值將____（填“偏高”“偏低”或“不變”）。

在本例中，教師以玻意耳定律演示儀為媒介，首先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀察研究，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，同時(shí)引入列表法在本實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用，通過(guò)讓學(xué)生嘗試計(jì)算，體會(huì)列表法雖然也能反映物理量之間的關(guān)系，但卻失之直觀;之后從理想氣體狀態(tài)方程出發(fā)，對(duì)學(xué)生熟悉的P-V圖像題型進(jìn)行改造，考慮到學(xué)生此前可能已經(jīng)接觸過(guò)P-圖像，并且知曉等溫變化下P-V圖像及P-圖像的表現(xiàn)形式（分別為雙曲線的一支以及過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線）及P-圖像象的斜率的物理意義（斜率大小表征溫度高低），本題引導(dǎo)學(xué)生思考等溫變化下-V圖像的表現(xiàn)形式（過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線）及其斜率的物理意義（同樣表征溫度高低，且斜率越大表示溫度越低），幫助學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)探究中證據(jù)的獲取、使用及運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法對(duì)分析證據(jù)起到的作用。

2.2.2 ?高中物理習(xí)題教學(xué)與數(shù)學(xué)向量、阿氏圓的思維融合

學(xué)生在高中階段對(duì)物理的再學(xué)習(xí)是從運(yùn)動(dòng)學(xué)開(kāi)始的。這是因?yàn)樵谖锢韺W(xué)對(duì)自然界的種種認(rèn)知中，物體時(shí)空坐標(biāo)的改變是最容易被觀測(cè)到的，我們對(duì)事物運(yùn)動(dòng)的研究，總是從表象上的空間位置變動(dòng)、再到對(duì)其受力狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)分析、進(jìn)而深入考量作用其上的力的空間/時(shí)間累積效應(yīng)，這是符合物理學(xué)科學(xué)研究的原則的，同時(shí)課程中的這一學(xué)習(xí)順序也是符合學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展的。

另一方面，在高中物理課程的學(xué)習(xí)中，學(xué)生熟知物理量分為矢量（向量）及標(biāo)量?jī)深?，也明了矢量加減遵循平行四邊形定則，同時(shí)學(xué)生在高中數(shù)學(xué)課程中也進(jìn)行了向量的系統(tǒng)學(xué)習(xí)。但往往由于學(xué)生在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)的相關(guān)學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)向量課程尚未完成學(xué)習(xí)，導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)許多運(yùn)動(dòng)學(xué)的問(wèn)題情境時(shí)，只能流于運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)尤其是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)定理公式進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算，反倒忽視了運(yùn)動(dòng)本身的直觀性。

在學(xué)生進(jìn)入高三總復(fù)習(xí)階段后，教師可以采用舊題改造等形式，在運(yùn)動(dòng)學(xué)情境中引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行向量角度的再思考和再解答，實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)模塊之間的思維貫穿融合，幫助學(xué)生深入體會(huì)物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

【例題2】如圖3所示，甲、乙兩同學(xué)從河中O點(diǎn)出發(fā)，分別沿直線游到A點(diǎn)和B點(diǎn)后，立即沿原路線返回到O點(diǎn)，已知OA連線與水流方向平行，OB連線與水流方向成α角，且OA=OB，如圖3所示若水流速度不變，兩人在靜水中游速相等且大于水流速度，則他們所用時(shí)間t甲、t乙的大小關(guān)系為（ ? ? ?）。

A. t甲<t乙 ? B. t甲=t乙 ? C.t甲>t乙 ? D.無(wú)法確定

常規(guī)思路下，我們可以假設(shè)人的靜水游速為v1，水速為v2，OA=OB=d，則t甲=+=，而乙的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t乙的求解則相對(duì)麻煩一些：因?yàn)轭}中并未給出人的靜水游速v1與水速v2的具體比值，且OA與OB既不平行也不垂直，我們只能通過(guò)余弦定理來(lái)勉強(qiáng)列式（如圖4所示），試圖通過(guò)求解一元二次方程v12=v22+v合2-2v2v合cosα及v12=v22+v合2-2v2v合cos（180°-α）得出乙從O到B的合速度v合 以及從B回到O的v合速度，然后利用t乙=+通過(guò)計(jì)算來(lái)比較t甲與t乙的大小。

顯然，上述方法所涉及的計(jì)算量很是巨大。其實(shí)在這類問(wèn)題當(dāng)中，我們可以基于運(yùn)動(dòng)的合成與分解的原理，利用阿氏圓以及向量的數(shù)學(xué)思維方法來(lái)解決問(wèn)題。

設(shè)水流方向水平向右，為研究的一般化起見(jiàn)，假設(shè)現(xiàn)在某人從河中O點(diǎn)出發(fā)，游至C點(diǎn)后立即游回O點(diǎn)，其中C點(diǎn)滿足OC連線與水流方向成角θ（先討論θ≤90°的情況）.從O到C人發(fā)生了一段位移s，之后從C返回O人發(fā)生了一段位移s'.根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解與合成的原理，這兩段位移分別可看成由人在靜水中發(fā)生的分位移s1、s1'和人跟隨流水順流而下的分位移s2、s2'組成（如圖5所示）。

其中s1=，s2=，s1'=，s2'= .從人O→C→O的運(yùn)動(dòng)全過(guò)程來(lái)看，人的位移可看成由這四段位移相加而成（如圖6所示），由于水速方向總是順流而下，可知E、C、F三點(diǎn)總在同一直線上。

假設(shè)人在靜水中的游速為v1，水速為v2，人從O運(yùn)動(dòng)到C所用時(shí)間為t，從C回到O所用時(shí)間為t'. 由分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性可知=，=. 設(shè)=k（k≠0），則==k，即==k. 根據(jù)數(shù)學(xué)上阿氏圓的定義，顯然E、F兩點(diǎn)位于同一個(gè)阿氏圓上。由于E、C、F三點(diǎn)共線，是此阿氏圓的一條弦。人O→C→O的運(yùn)動(dòng)全過(guò)程所用時(shí)間t總=t+t'==∝||. 由圓的最短弦性質(zhì)可知，當(dāng)∥時(shí)，||最長(zhǎng)，人往返所用時(shí)間最長(zhǎng);當(dāng)||⊥時(shí)，||最短，人往返所用時(shí)間最短。即：

①當(dāng)θ=0°時(shí)，人的運(yùn)動(dòng)軌跡（ ? ? ?）與水流方向（EF方向）在同一直線上，此時(shí)人往返所用時(shí)間最長(zhǎng);

②當(dāng)θ=90°時(shí)，人的運(yùn)動(dòng)軌跡（ ? ? ?）與水流方向（EF方向）垂直，此時(shí)人往返所用時(shí)間最短;

③當(dāng)時(shí)，人往返所用時(shí)間隨著運(yùn)動(dòng)軌跡（ ? ? ?）與水流方向（EF方向）的夾角θ的增大而減小.

另外，當(dāng)90°≤θ≤180°時(shí)，人的運(yùn)動(dòng)可看成與運(yùn)動(dòng)軌跡（ ? ? ?）方向與水流方向（EF方向）成角的運(yùn)動(dòng)的逆運(yùn)動(dòng)， 人往返所用時(shí)間隨著運(yùn)動(dòng)軌跡與水流方向夾角θ的增大而增大。

3 ?結(jié)語(yǔ)

在跨學(xué)科研究大行其道的今天，高中階段教學(xué)針對(duì)學(xué)生的跨學(xué)科思維培養(yǎng)意識(shí)的滲透勢(shì)在必行。高中物理課程基于其學(xué)科特點(diǎn)，在習(xí)題教學(xué)中合理設(shè)置物理情境、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，可以通過(guò)多種數(shù)學(xué)思維方法的運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生提高科學(xué)思維水平及科學(xué)探究能力。