基于廣義剛度的多指手抓持穩(wěn)定性分析①

謝賢銓 陳志培 陶志成 胥 芳 鮑官軍

(浙江工業(yè)大學機械工程學院 杭州 310023）

0 引言

近年來,多指靈巧手成為機器人領(lǐng)域熱門的研究方向,穩(wěn)定地抓持物體是多指手的一個基本功能,對抓持穩(wěn)定性的分析可以提高靈巧手抓持的成功性[1]。抓持穩(wěn)定性主要概括為物體穩(wěn)定性和接觸穩(wěn)定性兩方面,接觸穩(wěn)定性指物體受到外部擾動后仍能保持接觸的能力,物體穩(wěn)定性指物體受到擾動而偏離原平衡位姿后回到原平衡位置的能力[2]。本文在抓持系統(tǒng)處于準靜態(tài)平衡的前提下去分析物體穩(wěn)定性,而物體穩(wěn)定性往往取決于抓持系統(tǒng)的剛度分布。

由于剛性靈巧手存在環(huán)境適應(yīng)性差、交互安全性差等問題,目前靈巧手也逐漸由最初的剛性結(jié)構(gòu)逐漸向柔性結(jié)構(gòu)發(fā)展,主要體現(xiàn)在兩方面:一是使用軟材料作為指尖,二是在關(guān)節(jié)處使用彈性材料[3]。從本質(zhì)上看這兩方面都是抓持剛度的問題,前者減小了接觸剛度,后者減小了關(guān)節(jié)剛度,從而能減少靈巧手對被抓持物體造成的損害。但是柔性的結(jié)構(gòu)帶來了建模的困難,目前對這類問題的分析主要還是在彈性部位布置線性彈簧和扭簧進行建模,由于是線性運算,故相對有限差分法和有限元法具有優(yōu)勢[4]。文獻[5-8]對軟指尖以及抓持剛度都進行了一定研究。文獻[9]在彈性模型中引入了阻尼并用鍵合圖對軟指尖建模。文獻[10]用微分的思想對硅膠軟指尖的特性進行了分析。文獻[11]設(shè)計了一種以彈簧為關(guān)節(jié)的機構(gòu),并分析了抓持剛度。文獻[12]設(shè)計了一種適合深海探測的關(guān)節(jié)處加拉簧的機械手。文獻[13]基于接觸力學理論建立了抓持剛度模型。

抓持穩(wěn)定性分析的核心是量化的抓持穩(wěn)定性指標,穩(wěn)定性指標在抓持任務(wù)中起著關(guān)鍵作用,如抓持規(guī)劃和抓持操作[14]。其中常被使用的是基于抓持矩陣G的代數(shù)特性幾種指標,包括力旋量橢球的體積最小值[15]、最小奇異值和各向同性指標[16]等?；趲缀侮P(guān)系的穩(wěn)定性指標也常被使用,包括抓持多邊形的形狀和面積[17]、接觸多邊形的質(zhì)心與對象質(zhì)心之間的距離和手指位置的不確定度等。但是這類抓持穩(wěn)定指標僅僅是考慮了抓持點的分布以及物體表面的內(nèi)法向量,而最大最小抵抗力[18]則是考慮了抓持力的一種穩(wěn)定性指標,計算抓持可以抵抗任意方向上的最大的擾動力,并且文獻[19]提出了一種有效的求解方法。還有一類從靈巧手構(gòu)型定義的穩(wěn)定性指標,如靈巧手構(gòu)型的可操作橢球體積[20],這個指標著重于靈巧手的操作。

但是目前少有文獻對關(guān)節(jié)剛度和接觸剛度同時建模并從剛度層面進行抓持穩(wěn)定性分析,針對這種情況,本文采用彈性模型和旋量理論對抓持剛度進行建模,并針對軟指尖與物體之間的滾動提出等效切向剛度對傳統(tǒng)四維軟指接觸剛度進行了擴展。在旋量空間中推導了由關(guān)節(jié)剛度和接觸剛度合成的廣義剛度,分析了被抓持物體受小擾動力情況下的位姿變化。在廣義剛度的基礎(chǔ)上定義了擾動力橢球用以分析抓持穩(wěn)定性,給出了綜合穩(wěn)定性指標和面向特定擾動力的穩(wěn)定性指標的定義。最后設(shè)計了一個具備關(guān)節(jié)剛度和接觸剛度的三指靈巧手對抓持穩(wěn)定性進行了驗證。

1 抓持建模

傳統(tǒng)的DH(Denavit-Hartenberg)參數(shù)建模在運動學分析上有出色的表現(xiàn),但在速度和力的分析上不太直觀。而旋量建模在力和速度的分析上更具優(yōu)勢,但是只有全局坐標一個基坐標。目前的靈巧手往往是基于手指的模塊化設(shè)計,這種建模方式對于不同操作任務(wù)以及不同手指分布的靈巧手,往往面臨著復(fù)雜的重建模過程。本節(jié)使用了基于旋量的模塊化建模,避免了這種情況,比如全局坐標位置發(fā)生變化時,只需改變靈巧手手掌坐標到全局坐標的映射;當靈巧手手掌結(jié)構(gòu)發(fā)生變化而手指結(jié)構(gòu)不變時,只需改變建模過程的手掌坐標到手指坐標的映射。這種建模是符合靈巧手的模塊化設(shè)計[21-23]的。在接觸點以及關(guān)節(jié)處分別建立彈性模型,描述指尖坐標系和接觸點坐標系的相對運動與摩擦力的關(guān)系,之后針對擾動造成的手指物體間滾動情況引入了等效切向剛度。

1.1 基于模塊化的運動學建模

由于不同文獻中各種旋量的主副部表示不統(tǒng)一,本文所述的速度旋量主部表示旋轉(zhuǎn)運動,副部表示平移運動。力旋量主部表示作用力,副部表示作用力矩。

多指靈巧手本質(zhì)上是一個復(fù)雜的多連桿機構(gòu),本文對抓持系統(tǒng)進行模塊化的坐標建立。一個抓持系統(tǒng)由靈巧手和被抓持物體構(gòu)成,其中靈巧手又由多個手指組成,手指又包括了各個關(guān)節(jié)以及指尖,如圖1 所示?；谙到y(tǒng)的這種組合關(guān)系,可以先對手指建模,將手指通過齊次變換矩陣連接到手掌組成靈巧手,然后將靈巧手通過一個齊次變換矩陣關(guān)聯(lián)到全局坐標上。手指上的坐標系均以手指坐標系為基坐標系,靈巧手以手掌坐標系為基坐標系。這樣,就可以在局部對系統(tǒng)進行分析,并且能將結(jié)果方便轉(zhuǎn)換到全局,各坐標系關(guān)系如圖2 所示。系統(tǒng)中還包含了手指關(guān)節(jié)運動旋量和指尖坐標系的信息,其中第i根手指的第j個關(guān)節(jié)以運動旋量運動(相對手掌坐標系),第i根手指上的關(guān)節(jié)數(shù)為mi。第i個指尖坐標系Ofi相對手掌坐標系的齊次變換矩陣如式(1)所示。

圖1 靈巧手坐標系模型

圖2 模塊化各坐標關(guān)系

在手掌位置固定的情況下,指尖坐標系相對手掌坐標系的速度旋量[24]如式(2)所示。

在被抓持物體中建立物體坐標系和接觸點坐標系,其中接觸點坐標系的z軸為物體表面的內(nèi)法線,ω為物體在外力擾動下的單位運動旋量,θobj為旋量大小。則接觸點坐標系相對于全局坐標系的速度旋量如式(3)所示,Ad為李群SE(3)的伴隨形式運算。

由式(2)、(3)結(jié)合相關(guān)的旋量運算可得手指坐標系相對接觸點坐標系的速度旋量,如式(4)所示,前一項反映了物體的運動引起接觸點相對當前時刻接觸點坐標系的速度,后一項反映了關(guān)節(jié)的運動導致指尖相對當前接觸點坐標系的速度。

速度旋量主部表示旋轉(zhuǎn)角速度,副部表示平移速度,指尖在接觸點各摩擦方向上的位移量如式(5)所示,其中δu為指尖相對物體表面接觸點的位移向量,B為摩擦類型矩陣,取軟指接觸類型,包括平行接觸面的兩個方向的摩擦力和垂直接觸面的正壓力以及摩擦力矩。Δ為旋量對偶算子,起交換旋量主副部作用。因為速度旋量主部的旋轉(zhuǎn)角速度會引起軟指摩擦扭矩方向的位移,副部的平移速度導致摩擦力方向的位移。D為物體的有限位移旋量,在dt→0 時,dt→D。

1.2 接觸剛度及關(guān)節(jié)剛度建模

接觸點以及關(guān)節(jié)處用彈性模型建模,將一個穩(wěn)定的抓持系統(tǒng)等效為彈簧和扭簧的作用。本文考慮軟指接觸情況,軟指與物體的接觸屬于面接觸,進一步假設(shè)軟指與物體的這個面是平面且物體是剛性的,由于接觸面各處的摩擦力分布不均,會產(chǎn)生垂直接觸面的摩擦力矩。如圖3 所示,對一個軟指接觸抓持系統(tǒng),將關(guān)節(jié)剛度等效為扭簧,接觸剛度等效為3 個彈簧和1 個扭簧,δ為預(yù)緊位移向量(圖中只表示了法向的分量),保證了接觸點處的摩擦力。

圖3 彈性模型

彈性模型中,假設(shè)所有的接觸力都是由虛擬的線性彈簧和扭簧發(fā)生形變產(chǎn)生的,則物體受到指尖的接觸力如式(6)所示?；谶@個模型,一個穩(wěn)定的抓持系統(tǒng)在擾動力的作用下從初始穩(wěn)態(tài)到另一個穩(wěn)態(tài)實際是各虛擬彈簧發(fā)生形變使彈性系統(tǒng)再平衡的過程。彈簧模型的優(yōu)點是可以線性化抓持問題,大大降低分析的復(fù)雜程度,但是結(jié)果只具有系統(tǒng)局部特征。

實際在擾動力作用下系統(tǒng)從一個穩(wěn)態(tài)到達另一個穩(wěn)態(tài)的過程中,軟指與物體之間往往是伴隨著相對滾動的,目前對滾動接觸還沒有十分簡便的建模。針對滾動接觸情況,當擾動力不大的情況下,接觸點位置的變化相對于物體可以忽略。在彈性模型的基礎(chǔ)上通過在軟指接觸處引入平行接觸面的線性扭簧來平衡擾動力矩,可以達到等效的瞬時滾動效果。在這些假設(shè)前提下,可以線性化地分析系統(tǒng)的局部特性。圖4 所示為二維情況下物體與軟指存在的相對滾動現(xiàn)象,以及為了考慮這種情況引入的虛擬扭簧。在三維情況下將軟指剛度從四維擴展到六維,擴展軟指接觸中缺失的二維,B取單位矩陣I6×6。

圖4 二維情況中指尖與物體的滾動情況

2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)基于上節(jié)提出的抓持建模,建立了抓持系統(tǒng)中的接觸力平衡方程和關(guān)節(jié)力矩平衡方程,定義了抓持系統(tǒng)的廣義剛度。根據(jù)廣義剛度定義了擾動力橢圓,并提出了綜合穩(wěn)定性指標以及針對特定方向力的穩(wěn)定性指標。

2.1 廣義剛度

假設(shè)物體在受微小外力擾動后接觸力向量變化為δf,第i個指尖對物體的接觸力旋量變化量δω可以表示為式(7)。第i根手指第j個關(guān)節(jié)的力平衡方程如式(8)所示,其中為第i根手指第j個關(guān)節(jié)對第j個指節(jié)的作用力旋量變化量(基于該關(guān)節(jié)坐標系)。根據(jù)彈性模型的假設(shè),關(guān)節(jié)處僅存在運動方向上的剛度,即關(guān)節(jié)坐標z軸方向的扭轉(zhuǎn)剛度,這個方向上的擾動由虛擬扭簧的形變平衡,表示為式(9)。

由式(8)、(9)可推出第i根手指上接觸力的變化與關(guān)節(jié)剛度以及關(guān)節(jié)角度之間的關(guān)系如式(10)所示,其中Ki為第i根手指上的關(guān)節(jié)剛度矩陣,矩陣Ci將接觸力旋量空間映射到關(guān)節(jié)力旋量空間。

由式(5)～(7)及式(10)可得外力擾動作用下單根手指上關(guān)節(jié)角變化與物體位姿變化之間的關(guān)系,如式(11)所示,其中Kci為第i個接觸點的接觸剛度矩陣。由物體受到外力旋量與所有指尖對其產(chǎn)生的力旋量相平衡還可得出物體所受外力旋量與物體有限位移旋量之間的關(guān)系,如式(12)所示。

為簡化表達,將式(11)、(12)中有限位移旋量D的系數(shù)分別記作Mi、P,δθfi的系數(shù)分別記作Ni、Qi,如式(13)～(16)所示。聯(lián)立得到抓持平衡下微小外力對物體位姿的擾動方程如式(17)所示。將物體有限位移D的系數(shù)矩陣定義為廣義剛度Ktotal,Ktotal反映了抓持系統(tǒng)在六維旋量空間中各方向的剛度情況。

2.2 穩(wěn)定性指標

目前抓持穩(wěn)定性指標沒有統(tǒng)一的標準,大量的學者也提出了各種形式的穩(wěn)定性指標[25-27]。接觸穩(wěn)定性分為物體穩(wěn)定性和接觸穩(wěn)定性兩個方面。物體穩(wěn)定性指物體受到擾動偏離原平衡姿態(tài)后能回到原平衡位姿的能力;接觸穩(wěn)定性指物體受到外部擾動后仍能始終保持接觸的能力。本文分析了物體穩(wěn)定性,將其定義為外力對物體位姿的擾動。

令DTPD=1,其中權(quán)重矩陣P為六維對角矩陣,對角元素為有限位移旋量D各分量的權(quán)重,是為了平衡D主副部單位不同以及物體坐標位置不同產(chǎn)生的影響,同時反映了物體各偏移量在穩(wěn)定性中所占權(quán)重。則ω滿足式(19)的擾動力橢球方程,二次型矩陣的特征向量為該橢圓的軸方向,對應(yīng)特征值開方的倒數(shù)為橢圓半軸長。特征值越小,對應(yīng)軸的長度越長,說明物體在該方向上穩(wěn)定性越強,于是可將抓持的綜合穩(wěn)定性指標S定義為各特征值的乘積的絕對值,如式(20)所示。另一方面,對于給定的擾動力ω造成的物體有限位移旋量D,定義為ω的擾動半徑,ω位于擾動半徑為的擾動力橢圓上,抓持對擾動力ω的穩(wěn)定指標定義為ω擾動半徑的倒數(shù)Sω,如式(21)所示。

特殊地,取P前3 項為0,后3 項為1 時,表示Sω只考慮物體的位移,且各向位移所占權(quán)重一致,而不考慮物體的角度偏移,此時擾動力橢球表現(xiàn)為位移擾動力橢球,表示造成物體單位位移的力旋量集合。P前3 項取值為1,后3 項取0 時,表示Sω只考慮物體的角度偏移,且各向角度偏移所占權(quán)重一致,而不考慮物體的位移,此時擾動力橢球表現(xiàn)為角度擾動力橢球,表示造成物體單位角度偏移量的力旋量集合。

整體的分析流程如圖5 所示。對一個抓持進行穩(wěn)定性分析,首先是對抓持系統(tǒng)中的各模塊基于其上一層的依賴模塊進行坐標建立。然后在關(guān)節(jié)處以及接觸處應(yīng)用彈性模型,在關(guān)節(jié)坐標上分析關(guān)節(jié)剛度,在接觸點坐標上分析指尖坐標與其相對運動的關(guān)系并對接觸剛度進行分析。分別在各關(guān)節(jié)處和接觸點處建立全局坐標上的力平衡方程,得出抓持系統(tǒng)在旋量空間中的廣義剛度。最后通過廣義剛度構(gòu)建相應(yīng)的擾動力橢圓,進行抓持穩(wěn)定性分析。

圖5 分析流程

3 實驗與結(jié)果分析

3.1 實驗平臺

實驗平臺如圖6 所示,實驗采用了腱繩驅(qū)動的三指手對物體進行抓持。為了保證實驗過程中指尖與物體不發(fā)生滑動,采用了黑膠帶包裹的泡沫六面體作為被抓持物體,泡沫物體質(zhì)量小,黑膠帶能增大手指與物體之間的摩擦。在腱繩中間加裝拉簧模擬關(guān)節(jié)處的剛度,三指手的位姿由關(guān)節(jié)處的角度傳感器測得,物體的位姿由Nokov 光學三維動作捕捉系統(tǒng)進行測量,整體的硬件連接如圖7 所示。該實驗平臺可以研究在某一剛度下、不同大小方向的擾動力對物體位姿的影響。

圖6 實驗平臺

圖7 硬件連接圖

將實驗裝置放置在捕捉系統(tǒng)的合適位置,標定靈巧手相對視捕系統(tǒng)全局坐標系的位置。在未抓取物體時記錄三指手初始的關(guān)節(jié)角度。拉動腱繩使物體處于穩(wěn)定抓持狀態(tài),記錄關(guān)節(jié)角度以及物體的初始位姿。分別放置100 g 的砝碼于定位盤的1～12號位上,記錄各手指關(guān)節(jié)角度的變化以及物體的位姿變化。更換砝碼重量重復(fù)上述過程。

3.2 實驗結(jié)果分析

200 g 和100 g 砝碼擾動實驗數(shù)據(jù)如圖8 所示,可以看出兩組實驗的數(shù)據(jù)如式(17)所示滿足一定的線性關(guān)系,表明在小擾動力范圍內(nèi),物體的姿態(tài)變化量與擾動力大小成正比。實驗中,為了測量數(shù)據(jù)的精準,將物體坐標系直接建在靠近7 號砝碼位的Mark 點處,從圖8(b)可以看出,將砝碼放在7 號砝碼位時,物體在重力方向(-z軸)上產(chǎn)生的位移最大。同理在砝碼逐漸遠離該Mark 點時,物體在重力方向上的位移也逐漸變小,呈一個“V”形分布。1號和12 號砝碼位由于離Mark 點更遠,物體在重力方向產(chǎn)生的位移最小,意味著物體在重力方向上對1 號和12 號砝碼產(chǎn)生的力有著更好的位移穩(wěn)定性。但是距離產(chǎn)生了更大的力矩使得物體在各方向上的角度偏移量相對其他位置更大,意味著物體在這些方向上對這兩個力的角度穩(wěn)定性較差。

圖8 100 g 和200 g 砝碼進行實驗的數(shù)據(jù)對比

兩組實驗的物體位姿變化與理論對比分別如圖9和圖10 所示,在200 g 砝碼擾動的實驗中,各向角度偏移的平均誤差為0.95 °,各向位移平均誤差在0.8 mm。在100 g 砝碼擾動的實驗中,各向角度偏移的平均誤差在0.65 °,各向位移平均偏差在0.6 mm。圖11 為兩組實驗物體角度總偏移及總位移與理論的對比,200 g 實驗中,角度總偏移平均誤差為1.18°,總位移平均偏差在1.0 mm。100 g 實驗中,角度總偏移平均誤差為0.78 °,位移總偏差為0.82 mm?？偲钣蓪?yīng)的各分量的平方和開方計算得到,誤差是各分量的累積,對總偏差跟蹤的效果不如各分量的跟蹤效果,但總體的趨勢是一致的。實驗表明,在關(guān)節(jié)剛度和接觸剛度存在的小擾動力情況,本文理論能較準確地預(yù)測物體的位姿變化,從而判斷該擾動力下的穩(wěn)定性。

圖9 200 g 擾動實驗物體位姿變化對比

圖10 100 g 擾動實驗物體位姿變化對比

圖11 總角度/位移變化量對比

由于每組實驗砝碼提供的擾動力方向大小一致,均為恒定的砝碼重力,對物體坐標系產(chǎn)生的力矩維度為2(不產(chǎn)生重力方向的力矩)。固定擾動力旋量的主部為砝碼的重力,取力矩平面的2 個單位正交向量為坐標軸可以將砝碼所施加的一系列六維擾動力壓縮到二維平面,并將穩(wěn)定性指標以等高線形式繪制。根據(jù)之前分析,擾動力橢圓半徑與穩(wěn)定性成負相關(guān)關(guān)系,通過對比各砝碼位力的穩(wěn)定性指標,可判斷該抓持位形下各點所表現(xiàn)的物體穩(wěn)定性。圖12所示為2 組實驗不同權(quán)重下的擾動力橢圓,不同擾動力橢圓的權(quán)重矩陣P取值如表1 所示。從角度擾動云圖預(yù)測出物體上的9 號砝碼位有更好的角度穩(wěn)定性,而12 號位的角度穩(wěn)定性最差。對比圖11的角度偏移實驗數(shù)據(jù),無論是100 g 還是200 g砝碼的實驗,可以看到9 號砝碼對物體產(chǎn)生的角度偏移最小,12 號砝碼能產(chǎn)生更大的角度位移。從位移云圖預(yù)測出3 號位有更好的位移穩(wěn)定性,7 號位的位移穩(wěn)定性最差,對比圖11 的位移偏移實驗數(shù)據(jù),兩組實驗均表現(xiàn)出一致的實驗結(jié)果,其余位置除個別點因誤差累計過大偏離了預(yù)測的橢圓,預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)基本上是一致的。

圖12 200 g/100 g 實驗擾動力橢圓

表1 各擾動力橢圓P 取值

4 結(jié)論

本文以關(guān)節(jié)剛度和接觸剛度同時存在的抓持作為研究對象,通過旋量理論建立了小擾動力作用下物體位姿變化模型。針對受擾動作用時物體與指尖的相對滾動情況,引入了二維虛擬扭簧將傳統(tǒng)的軟指建模由四維擴展成六維。在旋量空間中分析了廣義剛度,基于廣義剛度提出了擾動力橢球的概念,并闡述了擾動力橢球與物體穩(wěn)定性之間的關(guān)系。此外,進行了三指抓持的實驗驗證,表明本文提出的理論模型與實際情況吻合良好,利用該模型能準確判斷抓持物體在各點上表現(xiàn)出的物體穩(wěn)定性。