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    基于旋量理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)過約束分析步驟的改進(jìn)

    2020-03-12 01:36:52汪建曉
    關(guān)鍵詞:旋量分支并聯(lián)

    汪建曉

    (佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院,廣東佛山528225)

    并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由基座、動平臺以及聯(lián)接它們的若干分支所組成的多閉環(huán)機(jī)構(gòu),具有剛度大、精度高以及動態(tài)響應(yīng)快等特點(diǎn),因而在運(yùn)動模擬、取放作業(yè)、組裝以及多軸加工等許多場合得到廣泛應(yīng)用。

    在進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)的分析與綜合時計(jì)算其自由度是最基本內(nèi)容之一。當(dāng)采用傳統(tǒng)的機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式即Grübler-Kutzbach(G-K)公式對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析時,常會由于機(jī)構(gòu)的特殊幾何形狀而不能得到正確解,特別是對于一類所謂過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)。其原因在于G-K公式將所有約束都當(dāng)成有效約束,即使那些不影響機(jī)構(gòu)自由度的冗余約束(或虛約束)也不例外。

    旋量是具有旋距要素的線矢量(也稱為螺旋)。旋量可以表示運(yùn)動學(xué)中的一般剛體運(yùn)動或者靜力學(xué)中的廣義力(包括力和力偶)。旋量理論可以追溯到18世紀(jì)的Mozzi瞬時運(yùn)動軸及19世紀(jì)初葉的Poinsot合力中心軸與Chasles位移軸。至1876年,Ball完成了對這一理論的系統(tǒng)研究,并體現(xiàn)在其1900年的著作當(dāng)中。

    并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動和約束情況較為復(fù)雜,因而最適宜采用旋量理論進(jìn)行描述。20世紀(jì)80年代以來陸續(xù)有學(xué)者開始用旋量來表達(dá)Stewart平臺和6-6R并聯(lián)機(jī)構(gòu)等的分支運(yùn)動,用旋量理論研究少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合,以及用互易旋量研究一些并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算方法。

    戴建生、黃真等人[1-2]系統(tǒng)研究了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一系列旋量系,創(chuàng)建了并聯(lián)機(jī)構(gòu)旋量系分析的理論體系,揭示了這些旋量系與機(jī)構(gòu)運(yùn)動和約束之間的內(nèi)在聯(lián)系,并提出了一種修正的G-K公式,為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度和過約束分析計(jì)算奠定了理論基礎(chǔ),引起國際上機(jī)構(gòu)學(xué)界的廣泛關(guān)注[3-5]。近十余年來這一理論體系得到豐富和完善[6],已逐步普及到相關(guān)專業(yè)研究生或高年級本科生教材中去了[7-8]。

    文獻(xiàn)[1-2]重點(diǎn)研究了各旋量系之間的關(guān)系,并用多個示例驗(yàn)證了修正的機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算方法的正確性,然而并未給出條理化的機(jī)構(gòu)自由度與過約束(包含虛約束和公共約束)分析的步驟,這對于初學(xué)者掌握這一方法有些不便。文獻(xiàn)[7-8]給出的機(jī)構(gòu)自由度與過約束分析步驟除部分變量符號不同外,步驟的內(nèi)容都是一致的,然而當(dāng)筆者按這些步驟進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時,卻發(fā)現(xiàn)過約束的分析步驟中存在公式表達(dá)不準(zhǔn)確、不完善的問題。

    本文的目的在于針對上述問題,提出一種改進(jìn)的機(jī)構(gòu)過約束分析的步驟,以便于基于旋量理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算方法的推廣應(yīng)用。

    1 機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算的G-K公式及其修正

    自1869年Chebychev提出第一個機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式至今的150年里,很多學(xué)者一直在找尋通用的機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式,提出的公式在40種以上[3,9]。其中,較為傳統(tǒng)的、最具代表性的、應(yīng)用也最為普遍的要屬Grübler-Kutzbach公式[10-11],即

    其中,F(xiàn)為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù);d為機(jī)構(gòu)的階數(shù),d=6-λ,λ為公共約束數(shù);n為構(gòu)件數(shù)(包含機(jī)架);g為運(yùn)動副數(shù);fi為第i個運(yùn)動副的自由度數(shù)目。

    不過,目前已證明,對于很多機(jī)構(gòu)的自由度,利用該公式計(jì)算的結(jié)果都不正確,因此提出了許多修正公式。戴建生、黃真等人提出的修正的G-K公式為[1-2,6]

    其中,ν為機(jī)構(gòu)的冗余約束(或虛約束)數(shù)。

    當(dāng)考慮機(jī)構(gòu)的局部自由度時,式(2)進(jìn)一步修改為[12]

    其中,ζ為機(jī)構(gòu)的局部自由度數(shù)。

    應(yīng)用式(2)或(3)計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度的難點(diǎn)在于公共約束和虛約束的判定,而基于旋量理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)過約束分析方法能有效地解決這個難題。

    2 基于旋量理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度和過約束分析方法

    如圖1所示,并聯(lián)機(jī)構(gòu)中包含3個基本互易旋量系對,分別是:1)與單個從基座到動平臺的分支(ii=1,2,…,p,其中p為分支數(shù))對應(yīng)的分支運(yùn)動旋量系Sbi和分支約束旋量系。2)與動平臺對應(yīng)的平臺運(yùn)動旋量系Sf和平臺約束旋量系Sr。3)與整個機(jī)構(gòu)對應(yīng)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動旋量系Sm和機(jī)構(gòu)約束旋量系Sc。此外,還有分支補(bǔ)約束旋量系和平臺補(bǔ)約束旋量系等。

    圖1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的幾對基本旋量系

    假定每個分支的旋量是線性獨(dú)立的,則冗余自由度和奇異在每個分支中都被排除。這些旋量系的定義與相互關(guān)系詳見文獻(xiàn)[1-2,6-7]。為敘述方便,下文主要以文獻(xiàn)[6-7]為代表進(jìn)行闡述。

    這里先給出基于旋量理論的通用自由度分析過程[7],這也是機(jī)構(gòu)過約束分析的前序步驟,具體步驟如下。

    (1)判斷機(jī)構(gòu)是否含有局部自由度,并計(jì)算出具體數(shù)值ζ。

    (2)構(gòu)造各個分支的運(yùn)動旋量系Sbi。

    (5)根據(jù)SfΔSr=0,計(jì)算得到動平臺的運(yùn)動旋量系Sf。

    (6)觀察Sf的特點(diǎn),進(jìn)一步確定機(jī)構(gòu)的自由度分布情況。

    (7)改變機(jī)構(gòu)的位形,重復(fù)上述步驟,以驗(yàn)證所求得的自由度是否為全周自由度。如果前后自由度性質(zhì)不變,則為全周自由度;否則為瞬時自由度。

    需要指出的是,在文獻(xiàn)[7]中旋量系和旋量系的矩陣表示采用相同的符號,例如分支運(yùn)動旋量系和分支約束旋量系分別用Sbi和表示,而上述步驟3的矩陣方程為,這容易造成混淆。本文對其進(jìn)行了區(qū)分,旋量系與旋量集的符號均用空心體表示,而旋量系的矩陣用對應(yīng)字母的黑斜體表示。在上述矩陣方程中,為進(jìn)行旋量系互易運(yùn)算的矩陣,由3×3分塊矩陣組成,E為單位矩陣。運(yùn),n為運(yùn)動旋量系的階數(shù),各旋量均采用列陣表達(dá)。

    本文著重討論機(jī)構(gòu)過約束的分析。文獻(xiàn)[6]在論述各旋量系的定義與相關(guān)定理的基礎(chǔ)上,給出了機(jī)構(gòu)公共約束數(shù)λ和虛約束數(shù)ν的計(jì)算公式,分別為動旋量系的矩陣為,約束旋量系的矩陣為

    其中,dim()表示旋量系的階數(shù),card(〈〉)表示旋量系多重集(旋量集)中元素的個數(shù)。

    文獻(xiàn)[7]給出的對機(jī)構(gòu)進(jìn)行過約束(包括公共約束和冗余約束)分析的步驟如下。

    集合中的元素個數(shù)記作card(〈Sr〉)。

    (2)根據(jù)Sm=Sb1∪Sb2∪…∪Sbp,求取整個機(jī)構(gòu)的運(yùn)動旋量系Sm。

    (3)根據(jù)SmΔSc=0,求取整個機(jī)構(gòu)的約束旋量系Sc。

    (4)根據(jù)λ=dim(Sc),確定機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)λ。

    (5)根據(jù)d=6-λ,確定機(jī)構(gòu)的階數(shù)d。

    3 過約束分析步驟存在的問題及改進(jìn)

    由上述可知,文獻(xiàn)[7]給出的機(jī)構(gòu)自由度和過約束分析的步驟較為清晰,容易實(shí)施,特別對于那些初學(xué)者來說就有了一個求解過程的指南。但是當(dāng)利用該步驟進(jìn)行機(jī)構(gòu)過約束分析時,不難發(fā)現(xiàn)它存在以下兩個問題。

    (1)其步驟1求出的card(〈Sr〉)閑置,沒有用于其他計(jì)算或分析。

    對于第2個問題,文獻(xiàn)[6]給出以下關(guān)系式

    顯然,根據(jù)這個條件去分解旋量集,重復(fù)元素只能存在于一個旋量集中,因而求解具有確定性。

    對于第1個問題的解決就稍顯復(fù)雜。經(jīng)研究,發(fā)現(xiàn)在文獻(xiàn)[6]中定義了表征機(jī)構(gòu)公共約束數(shù)λ和虛約束數(shù)ν總體大小的一個參數(shù),稱為綜合約束冗余因子。綜合約束冗余因子c的計(jì)算公式為

    綜合約束冗余因子c也可以由card(〈Sr〉)與dim(Sr)表示為

    由于前序步驟4已求出Sr,即dim(Sr)確定,因此可以用式(8)把上述步驟1求出的card(〈Sr〉)與dim(Sr)相減,求得綜合約束冗余因子c,再與式(7)求出的同一參數(shù)進(jìn)行比較,若兩者相同,則驗(yàn)證了過約束分析的正確性。

    針對這兩個問題進(jìn)行改進(jìn)后,對機(jī)構(gòu)進(jìn)行過約束(包括公共約束和冗余約束)分析的步驟如下。

    (2)根據(jù)Sm=Sb1∪Sb2∪…∪Sbp,求取整個機(jī)構(gòu)的運(yùn)動旋量系Sm。

    (3)根據(jù)SmΔSc=0,求取整個機(jī)構(gòu)的約束旋量系Sc。

    (4)根據(jù)λ=dim(Sc),確定機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)λ。

    (5)根據(jù)d=6-λ,確定機(jī)構(gòu)的階數(shù)d。

    (9)計(jì)算綜合約束冗余因子c=(p-1)λ+ν,若與前面求出的c一致,則表示過約束分析正確。

    與改進(jìn)前的過約束分析步驟相比,可知改進(jìn)后步驟1與7有修改,且增加了一個新的步驟9。

    4 算例

    為了便于對照,這里分別從文獻(xiàn)[1]和[7]中找出其有代表性的1個算例,并對改進(jìn)后的機(jī)構(gòu)過約束分析步驟加以驗(yàn)證。

    例1分析圖2所示Sarrus機(jī)構(gòu)[7]的自由度和過約束。圖2中每個分支中轉(zhuǎn)動副(R)的軸線相互平行,但兩個分支的運(yùn)動副軸線相互垂直。

    解該機(jī)構(gòu)可看成是由2個分支組成的單環(huán)機(jī)構(gòu),機(jī)構(gòu)自由度分析的步驟如下。

    (1)判斷可知機(jī)構(gòu)無局部自由度,即ζ=0。

    (2)建立如圖2所示的坐標(biāo)系,各分支的運(yùn)動旋量系Sbi為

    圖2 Sarrus機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動旋量

    (6)通過分析Sf的特點(diǎn),很容易判斷出來該機(jī)構(gòu)的自由度為單自由度平動。

    (7)由于機(jī)構(gòu)位形改變后,各分支運(yùn)動副間的幾何關(guān)系未發(fā)生變化,因此計(jì)算結(jié)果仍然有效。由此可以判斷該機(jī)構(gòu)所具有的移動自由度為全周自由度。

    通過以下步驟還可進(jìn)一步對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行過約束(包括公共約束和冗余約束)分析。

    (1)求取動平臺的約束旋量集〈Sr〉,確定機(jī)構(gòu)的綜合約束冗余因子c,分別為

    (2)根據(jù)Sm=Sb1∪Sb2,求取整個機(jī)構(gòu)的運(yùn)動旋量系Sm,有

    由此可知,計(jì)算結(jié)果與前面分析得到的自由度一致,表明分析正確。

    例2用旋量理論分析圖3所示3-RRRH并聯(lián)機(jī)構(gòu)[1]的自由度和過約束。圖3中每一分支均由3個轉(zhuǎn)動副(R)和一個螺旋副(H)組成,而且它們的運(yùn)動副軸線相互平行。在基座上3個轉(zhuǎn)動副軸線位于同一平面,且對稱布置。

    圖3 3-RRRH并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動旋量

    解該機(jī)構(gòu)可看成是由3個分支組成的多環(huán)機(jī)構(gòu),機(jī)構(gòu)自由度分析的步驟如下。

    (1)判斷可知機(jī)構(gòu)無局部自由度,即ζ=0。

    (2)建立如圖3所示的坐標(biāo)系,確定各分支及運(yùn)動副旋量的符號。各分支的運(yùn)動旋量系Sbi為

    (6)通過分析Sf的特點(diǎn),很容易判斷出來該機(jī)構(gòu)的自由度為沿3個坐標(biāo)軸的移動。

    (7)由于機(jī)構(gòu)位形改變后,各分支運(yùn)動副間的幾何關(guān)系未發(fā)生變化,因此計(jì)算結(jié)果仍然有效。由此可以判斷該機(jī)構(gòu)所具有的移動自由度為全周自由度。

    通過以下步驟還可進(jìn)一步對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行過約束(包括公共約束和冗余約束)分析。

    (1)求取動平臺的約束旋量集〈Sr〉,確定機(jī)構(gòu)的綜合約束冗余因子c,即

    由此可知,計(jì)算結(jié)果與前面分析得到的自由度一致,表明分析正確。

    從例2過約束分析的步驟7還可以得出機(jī)構(gòu)的約束旋量集為

    5 小結(jié)

    本文指出基于旋量理論的機(jī)構(gòu)過約束分析方法或步驟存在的問題,根據(jù)權(quán)威文獻(xiàn)的理論公式,給出了改進(jìn)后的分析步驟,并以算例加以驗(yàn)證。結(jié)果表明,改進(jìn)后的分析步驟邏輯清晰,公式嚴(yán)謹(jǐn),便于數(shù)據(jù)相互驗(yàn)證,使機(jī)構(gòu)過約束分析的方法得到進(jìn)一步完善,有利于基于旋量理論的機(jī)構(gòu)自由度和過約束分析方法的推廣應(yīng)用。

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