基于兩相冪次趨近律的四旋翼飛行器自適應(yīng)控制①

何紫云 陶玫玲 陳 強(qiáng) 魏 春

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州 310023）

0 引言

四旋翼飛行器具有體積小、價(jià)格低、靈敏度高、適應(yīng)力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),引起了人們廣泛關(guān)注[1-2]。針對(duì)四旋翼飛行器非線性、強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)的特點(diǎn),許多控制方法如反演控制、自適應(yīng)控制、有限時(shí)間控制、滑?？刂频缺挥糜谒男盹w行器控制策略設(shè)計(jì)[3-9]。其中,滑?？刂谱鳛橐环N非線性控制方法,因其在動(dòng)態(tài)過(guò)程中可以根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變化,使系統(tǒng)按照設(shè)計(jì)的“滑動(dòng)模態(tài)”運(yùn)動(dòng),具有快速響應(yīng)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)[10]。采用滑模控制的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以分為趨近階段、滑動(dòng)模態(tài)階段和穩(wěn)態(tài)階段。然而,當(dāng)系統(tǒng)處于滑動(dòng)模態(tài)階段時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)難以嚴(yán)格沿著滑模面滑動(dòng),從而產(chǎn)生抖振問(wèn)題。因此,設(shè)計(jì)基于趨近律的滑?？刂撇呗钥梢韵魅醵墩?同時(shí)改善滑模到達(dá)過(guò)程的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

文獻(xiàn)[11]提出一種收斂速率恒定的等速趨近律的滑模負(fù)荷頻率控制策略,系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面,系統(tǒng)頻率偏差趨近于零。文獻(xiàn)[12]針對(duì)機(jī)械臂模型,提出了一種改進(jìn)的趨近律,引入飽和函數(shù)代替原符號(hào)函數(shù),在一定程度上削弱抖振。指數(shù)趨近律在等速趨近律的基礎(chǔ)上增加了快速項(xiàng),具有更快的收斂速度,但通過(guò)飽和函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)不能從根本上解決抖振問(wèn)題。冪次趨近律相比指數(shù)趨近律,滑模變量到達(dá)滑模面時(shí)趨近速度為零,能夠有效削弱抖振,但在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)收斂速度較慢[13]。文獻(xiàn)[14]結(jié)合指數(shù)趨近律與冪次趨近律的優(yōu)勢(shì),提出一種快速冪次趨近律。文獻(xiàn)[15]針對(duì)傳統(tǒng)趨近律收斂速度慢和抖振嚴(yán)重問(wèn)題,提出一種新型雙冪次趨近律的滑?？刂品椒?通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證該方法具有更快的收斂速度。

然而,上述文獻(xiàn)中趨近律的控制增益是固定的,不能實(shí)時(shí)根據(jù)滑模變量調(diào)節(jié)控制增益,控制器的動(dòng)態(tài)品質(zhì)有待提升。文獻(xiàn)[16]基于特殊冪次函數(shù)與反雙曲正弦函數(shù)構(gòu)造一種新型趨近律,顯著削弱高頻抖振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[17]提出一種新型兩相形式的吸引律,使?fàn)顟B(tài)呈現(xiàn)出兩階段收斂的過(guò)程。然而,該方法要求系統(tǒng)參數(shù)完全已知,且未考慮系統(tǒng)不確定性與外部擾動(dòng)的影響,在實(shí)際應(yīng)用中受到一定限制。

本文針對(duì)帶有模型不確定性與外部擾動(dòng)的四旋翼飛行器系統(tǒng),首先,提出兩相冪次趨近律,根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)將趨近過(guò)程分為兩個(gè)階段,提高趨近速率并削弱抖振,使系統(tǒng)有較好的瞬態(tài)性能,且在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤參考軌跡。其次,文中采用自適應(yīng)方法估計(jì)外部不確定性平方的上界,避免因符號(hào)函數(shù)存在引起的抖振問(wèn)題,以保證良好的控制品質(zhì)。最后,通過(guò)Lyapunov 方法和數(shù)值仿真驗(yàn)證本文控制方案的有效性。

1 四旋翼飛行器模型建立

1.1 坐標(biāo)系定義

通常四旋翼飛行器的坐標(biāo)系可分為機(jī)體坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系,均為右手坐標(biāo)系。機(jī)體坐標(biāo)系由坐標(biāo)軸xB、yB、zB確定,以正方向作為四旋翼飛行器的前進(jìn)方向。慣性坐標(biāo)系由坐標(biāo)軸xW、yW、zW確定。如圖1 所示,四旋翼飛行器的4 個(gè)旋翼呈“十”字形狀對(duì)稱分布,且均處于同一平面。四旋翼飛行器的運(yùn)動(dòng)包括了6 個(gè)自由度,即垂直、側(cè)向、前后方向的位置運(yùn)動(dòng)以及翻滾、俯仰和偏航的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。

圖1 四旋翼飛行器模型

在考慮陀螺效應(yīng)等條件時(shí),對(duì)其完整動(dòng)力學(xué)分析仍然較為復(fù)雜。為簡(jiǎn)化分析,忽略陀螺效應(yīng)等對(duì)機(jī)體的影響,并作如下假設(shè):

假設(shè)1四旋翼飛行器具有對(duì)稱的剛性結(jié)構(gòu)。

假設(shè)2忽略了地面效應(yīng)、四旋翼飛行器的彈性變形和所受的沖擊力。

假設(shè)3電機(jī)的旋轉(zhuǎn)軸均平行于Z軸方向。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

考慮系統(tǒng)不確定性影響,四旋翼飛行器的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可以根據(jù)牛頓-歐拉公式進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模[18-19]:

其中,uφ、uθ、uψ分別為3 個(gè)姿態(tài)通道的控制力矩輸入,m表示質(zhì)量,g表示重力加速度,u1表示4 個(gè)旋翼產(chǎn)生的總升力。

四旋翼飛行器期望位置軌跡xd、yd、zd和期望姿態(tài)軌跡φd、θd、ψd以及總升力u1滿足以下耦合關(guān)系。

本文的控制目標(biāo)是針對(duì)四旋翼飛行器位置和姿態(tài)控制系統(tǒng)式(4),考慮未知外部不確定性和干擾,設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑?？刂破鱱,使位置信號(hào)x、y、z和姿態(tài)角φ、θ、ψ能在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤上參考軌跡。

為實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo),定義跟蹤誤差向量e =[ex,ey,ez,eφ,eθ,eψ]T∈R6×1如下:

其中,xD=[xd,yd,zd,φd,θd,ψd]T∈R6×1為慣性坐標(biāo)系下期望向量。

2 自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

2.1 兩相冪次趨近律設(shè)計(jì)

以位置x通道為例,進(jìn)行自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)。根據(jù)式(6),得到x通道跟蹤誤差ex:

對(duì)式(7)分別求一階和二階導(dǎo)數(shù):

設(shè)計(jì)位置x通道的滑模面sx如下:

其中,λx ＞0 為滑模面式(10)的參數(shù)。

對(duì)式(10)求導(dǎo):

考慮四旋翼飛行器非線性系統(tǒng)式(4),將式(8)和式(9)代入式(11)得:

其中,參數(shù)k1x ＞0,k2x ＞0,sgn(·) 為符號(hào)函數(shù),且

其中,p1＞q1,p2＞q2,且p1、p2、q1和q2均為正奇數(shù)。

如圖2(a)所示,當(dāng)滑模變量初值| sx(0)|≥1時(shí),式(13)可改寫為

圖2 不同初值條件下滑模變量

滑模變量sx(t1)=1 →sx(t2)=0,所需時(shí)間由式(17)可得。

當(dāng)初值| sx(0)|≥1 時(shí),由式(16)和式(18)可得滑模變量sx(t) →0 的到達(dá)時(shí)間t2為

同理,當(dāng)滑模變量初值| sx(0)| ＜1 時(shí),由式(17)可得滑模變量sx(t) →0 的到達(dá)時(shí)間t3為

由式(19)和式(20)可知,到達(dá)時(shí)間的上界tmax只與兩相冪次趨近律參數(shù)相關(guān),滿足:

2.2 有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)四旋翼飛行器系統(tǒng)式(4),將控制器設(shè)計(jì)分成6 個(gè)控制通道,即位置x通道、位置y通道、位置z控制通道、翻滾角φ通道、俯仰角θ通道和偏航角ψ通道。本文以位置x通道為例,設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制器。

根據(jù)假設(shè)4,位置x通道的外部不確定性dx滿足:

基于類似推導(dǎo)過(guò)程,可得其他通道的控制器設(shè)計(jì),位置y通道、位置z控制通道、翻滾角φ通道、俯仰角θ通道和偏航角ψ通道的控制器分別為

注1滑模變量的收斂時(shí)間上界tmax只與兩相冪次趨近律參數(shù)k1x、k2x、p1、p2、q1、q2相關(guān)。k1x、k2x、p1/q1越大,q2/p2越小,控制器增益越大,滑模變量的收斂速度越快;反之,k1x、k2x、p1/q1越小,q2/p2越大,控制器增益越小,滑模變量的收斂速度越慢。因此,參數(shù)選取需要同時(shí)考慮收斂速度與控制器增益大小。

3 穩(wěn)定性分析

定義1[20]考慮非線性系統(tǒng)(x,u),y=h(x),其中,x為狀態(tài)向量,且x(t0)=x(0),若存在ε ＞0 和一個(gè)非負(fù)常數(shù)T(ε,x0),使得對(duì)于所有t ＞t0+T時(shí),都有‖x(t)‖＜ε成立,系統(tǒng)最終一致有界。

定理1考慮四旋翼飛行器系統(tǒng)式(4)、自適應(yīng)有限時(shí)間滑?？刂破魇?24)、自適應(yīng)更新律式(25)～(27),保證:

其他控制通道證明過(guò)程與位置x控制通道類似,即閉環(huán)系統(tǒng)中滑模變量s與所有參數(shù)估計(jì)誤差信號(hào)均是最終一致有界的,且滑模變量s有限時(shí)間收斂至平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)。

4 仿真驗(yàn)證及分析

為驗(yàn)證本文所提出的兩相冪次趨近律自適應(yīng)控制方法的可行性,對(duì)以下兩種控制方法(即M1 和M2)進(jìn)行仿真對(duì)比。

M1 方法:本文提出的基于兩相冪次趨近律的自適應(yīng)滑模控制方法,采用兩相冪次趨近律式(13)、控制器式(24)及式(28)～(32)。

M2 方法:基于雙冪次趨近律的自適應(yīng)滑?？刂品椒?采用如下雙冪次趨近律[21]:

M2 方法采用控制器如下:

圖3 和圖4 分別為位置環(huán)和姿態(tài)環(huán)期望軌跡跟蹤圖,從圖中可以看出,各控制通道均較快跟蹤上期望值,瞬態(tài)性能良好;穩(wěn)態(tài)誤差小,跟蹤精度高。

圖3 位置環(huán)期望跟蹤

圖4 姿態(tài)環(huán)期望跟蹤

圖5 和圖6 分別為位置環(huán)和姿態(tài)環(huán)滑模變量收斂圖,從圖中可以看出,位置環(huán)各控制通道及偏航角控制通道的滑模變量收斂速度較快,俯仰角和翻滾角因期望需先解耦得到,滑模變量收斂速度稍慢。

圖5 位置環(huán)滑模變量

圖6 姿態(tài)環(huán)滑模變量

圖7 和圖8 分別為位置環(huán)和姿態(tài)環(huán)控制輸入。

圖7 位置環(huán)控制輸入

圖8 姿態(tài)環(huán)控制輸入

仿真實(shí)例2為進(jìn)一步說(shuō)明兩相冪次趨近律在兩個(gè)趨近階段均有更快的趨近速度,對(duì)M1 和M2進(jìn)行對(duì)比仿真,為得到有效對(duì)比,M1 和M2 的控制器參數(shù)相同,滑模面參數(shù)為λx=λy=λz=λφ=λθ=λψ=2。M2 中雙冪次趨近律式(55)參數(shù)選取κ1=p1/q1=13/7,κ2=q2/p2=7/11,k3x=k3y=k3z=2,k4x=k4y=k4z=1,k3φ=k3θ=k3ψ=4,k4φ=k4θ=k4ψ=3。

圖9 和圖10 分別為位置環(huán)和姿態(tài)環(huán)滑模變量收斂圖。從圖中可以看出,不論初值是否大于1,采用M1 方法的位置環(huán)和姿態(tài)環(huán)滑模變量趨近速率均大于M2 方法,且更快到達(dá)滑模面,瞬態(tài)性能更好。

圖9 位置環(huán)滑模變量

圖10 姿態(tài)環(huán)滑模變量

綜上,相較M2 方法,本文提出的M1 方法具有更快的滑模變量趨近速率,使四旋翼飛行器系統(tǒng)對(duì)期望軌跡跟蹤有更好的瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能及魯棒性。

5 結(jié)論

本文針對(duì)存在外部不確定性的四旋翼飛行器系統(tǒng),提出了一種兩相冪次趨近律,以| sx(t1)|=1 為分界點(diǎn),將趨近過(guò)程分為兩個(gè)階段,提高了系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的趨近速率,并在到達(dá)滑模面附近時(shí)改變趨近速率、削弱抖振。同時(shí),針對(duì)外部不確定性,采用自適應(yīng)方法估計(jì)其平方的上界,從而避免了傳統(tǒng)自適應(yīng)方法引入符號(hào)函數(shù)而產(chǎn)生抖振問(wèn)題,以保證良好的控制品質(zhì),實(shí)現(xiàn)了四旋翼飛行器對(duì)期望軌跡的快速準(zhǔn)確跟蹤。