創(chuàng)問題引思維，聚焦核心素養(yǎng)
——以“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”為例

沈秋彬 福建省長(zhǎng)泰第二中學(xué)

教育的根本任務(wù)在于立德樹人。數(shù)學(xué)教育立德樹人的任務(wù)體現(xiàn)在讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，而這需要通過在日常數(shù)學(xué)教育中經(jīng)常性滲透核心素養(yǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。核心素養(yǎng)的培養(yǎng)從思維開始，思維訓(xùn)練由過程實(shí)現(xiàn)，沒有過程，就沒有思維訓(xùn)練，更談不上學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)。

基于參加“指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”課堂教學(xué)設(shè)計(jì)比賽，以湘教版《數(shù)學(xué)》選修2-2第4.3.1節(jié)“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”（第1課時(shí)）為例，分享關(guān)于培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐與思考。

結(jié)合章建躍博士提出的三個(gè)理解“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”，因此：

一、結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)，聚焦素養(yǎng)目標(biāo)

認(rèn)真解讀課程標(biāo)準(zhǔn)是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的先決條件。新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)課的目標(biāo)闡述是：結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索、了解函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，若照搬以上目標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)更多關(guān)注的是知識(shí)與技能目標(biāo)，沒有素養(yǎng)目標(biāo)，沒有具體的行為動(dòng)詞指導(dǎo)教學(xué)行為，更別提如何激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)的形成過程了。

此知識(shí)安排在學(xué)生已初步掌握了研究導(dǎo)數(shù)概念的主要方法后，是極限思想的再延續(xù)，此思想也可為后續(xù)學(xué)習(xí)定積分知識(shí)進(jìn)一步提供基本模式和理論基礎(chǔ)。雖說(shuō)如今在高考中將對(duì)定積分的考查刪除了，但在高中物理知識(shí)中，以及今后更高層次的學(xué)習(xí)中，定積分都是存在的。在分析《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的要求和本節(jié)內(nèi)容在教材中的地位、作用及編寫意圖后，挖掘教學(xué)內(nèi)容對(duì)培育學(xué)生核心素養(yǎng)的價(jià)值，把課程目標(biāo)中涉及的行為動(dòng)詞細(xì)化，明確最終要達(dá)到的目標(biāo)，設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，制訂可操作、易于達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)。綜合班級(jí)學(xué)情，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：（1）回顧單調(diào)增函數(shù)商形式及導(dǎo)數(shù)定義的形成過程，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱軸兩邊過任意一點(diǎn)的切線，觀察兩切線傾斜角的大?。ㄖ庇^想象）；（2）結(jié)合幾何畫板觀察曲線上過動(dòng)點(diǎn)的切線的斜率的正負(fù)變化與曲線單調(diào)性的關(guān)系，抽象斜率的正負(fù)與此點(diǎn)處函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系（直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理）；（3）類比二次函數(shù)單調(diào)性解決辦法，自主解答求三次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，合作由區(qū)間得函數(shù)圖像（數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理）；（4）構(gòu)建原函數(shù)圖像單調(diào)性與相應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系（數(shù)學(xué)建模）。

在領(lǐng)會(huì)教材整體性的情況下，制訂教學(xué)目標(biāo)，領(lǐng)會(huì)編寫意圖，理解本單元知識(shí)的地位和作用，圍繞學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。將目標(biāo)細(xì)分，配上落實(shí)素養(yǎng)目標(biāo)的具體活動(dòng)，才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、創(chuàng)問題引思維，發(fā)展核心素養(yǎng)

沒有問題，就沒有思維碰撞。只有讓學(xué)生思維深度參與，才能發(fā)展核心素養(yǎng)。問題設(shè)計(jì)在最近發(fā)展區(qū)，讓新知識(shí)從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，生長(zhǎng)出來(lái)。深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。

本節(jié)課以“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性方法”的形成過程為核心，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和心理發(fā)展規(guī)律，以“從具體到抽象，從特殊到一般”為理念，以問題解決為主線，以獨(dú)立思考、自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)方式為手段，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，從創(chuàng)設(shè)情境、構(gòu)建方法、方法辨析、方法應(yīng)用這四個(gè)方面設(shè)計(jì)問題，課堂上圍繞問題的解決，在解決中促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，切入主題——發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

問題1：2020最熱門的話題無(wú)疑是新冠肺炎病毒，其在世界各國(guó)先后出現(xiàn)，我們國(guó)家在最短的時(shí)間內(nèi)將它有效控制住。圖1是3月5日至3月17日我國(guó)新增確診/疑似趨勢(shì)。同學(xué)們觀察圖形，在這段時(shí)間內(nèi)，新增確診有什么趨勢(shì)？

圖1

設(shè)計(jì)意圖：通過生活情境引入，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，再做研究。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，又指導(dǎo)生活。

生1：從圖1 中可以看出，隨時(shí)間的變化整體上有明顯下降的趨勢(shì)，但在3 月12 日至3 月17 日有小幅上升趨勢(shì)。

問題2：若把此圖視為以時(shí)間為自變量的函數(shù)圖像，圖像的上升與下降可用哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)描述？

生1：?jiǎn)握{(diào)性。

（二）思維類比，構(gòu)建方法——發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

必修1 中單調(diào)增函數(shù)的定義常常改寫成：對(duì)于任意x1、x2∈I，當(dāng)x1≠x2時(shí)，有成立。

問題3：結(jié)合兩點(diǎn)間斜率公式，如何從幾何角度解釋單調(diào)增函數(shù)的定義？

生2：畫圖，合作得出割線的斜率大于0，函數(shù)單調(diào)遞增。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)無(wú)形缺直觀，當(dāng)遇到難以解決的函數(shù)問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合方法是好方法。

問題4：結(jié)合幾何畫板發(fā)現(xiàn)割線的斜率與函數(shù)的單調(diào)性緊密相連。因此要研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，可以先研究一下割線的斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

圖2

生3：取極限，割線的斜率變切線的斜率。

師：可發(fā)現(xiàn)曲線上任意點(diǎn)附近的曲線可被該點(diǎn)處的切線近似替代，“以直代曲”是導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)思想，因此可將曲線的上升或下降問題轉(zhuǎn)化為切線的斜率問題。

利用幾何畫板，移動(dòng)點(diǎn)P，觀察過點(diǎn)P的切線的斜率與點(diǎn)P附近曲線的變化規(guī)律。

圖3

問題5：填空：f ′（x0）______________時(shí)，曲線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，有上升趨勢(shì)；f ′（x0）______________時(shí)，曲線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，有下降趨勢(shì)。

生4：＞，＜。

活動(dòng)說(shuō)明：據(jù)圖學(xué)生不難寫出正確答案，教師補(bǔ)充說(shuō)明f′（x0）=0是在x0處的切線的斜率等于0，即f（x）在x0處的切線與x軸平行，因此可以認(rèn)為此時(shí)沒有上升或下降。

問題6：若點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)刻畫的是曲線f（x）在點(diǎn)P處的上升（下降）趨勢(shì)，那么如何刻畫在一個(gè)區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性呢？

對(duì)于任意x∈（a，b），有________，則函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增。

對(duì)于任意x∈（a，b），有________，則函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞減。

設(shè)計(jì)意圖：通過從特殊到一般、直觀到抽象的研究過程，滲透數(shù)學(xué)研究的一般方法，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建結(jié)論，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維及數(shù)學(xué)抽象思維，總結(jié)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系。

（三）自主探究，方法辨析——發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)

問題7：為什么要引進(jìn)導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性呢？接下來(lái)找找答案。

例1用以前學(xué)習(xí)的方法求函數(shù)f（x）=x2-4x+3的單調(diào)區(qū)間，比比誰(shuí)更快求出來(lái)。

學(xué)生做題，并對(duì)比同桌及旁邊的同學(xué)的方法。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于熟悉的二次函數(shù)，學(xué)生首先想到的是畫圖，作圖成關(guān)鍵，是不是高中所有的函數(shù)都可以很快畫圖？

圖4

法一：圖像觀察法。

法二：定義法。

法三：導(dǎo)數(shù)法，并小結(jié)解題步驟。

（四）合作交流，方法應(yīng)用——發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、建模素養(yǎng)

求二次函數(shù)的單調(diào)性的三種方法是否適用于三次函數(shù)？現(xiàn)我們來(lái)看看：

變式：（1）f（x）=x3-2x2+x-1，確定f（x）的單調(diào)區(qū)間。

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，畫出f（x）的大致圖像。

（3）原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的圖像之間是否有關(guān)系？若有，是什么關(guān)系？

學(xué)生活動(dòng)：前后桌一起討論，請(qǐng)同桌講講解題的策略。

設(shè)計(jì)意圖：此題回答了為何要引進(jìn)導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性。第（2）問更是需要學(xué)生會(huì)將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合。第（3）問引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建解題的一般模式，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維、直觀想象，為今后學(xué)習(xí)三次函數(shù)的極值奠定理論基礎(chǔ)。

圖5

例2請(qǐng)用導(dǎo)數(shù)法證明f（x）=sinx-x在區(qū)間（0，π）上是減函數(shù)。

變式：請(qǐng)思考該函數(shù)在區(qū)間（-π，π）上的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)利用導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)性的充分與必要性進(jìn)行辨析。

圖6

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，課前要深入鉆研課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，理解數(shù)學(xué)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)；考慮學(xué)情，理解學(xué)生，創(chuàng)設(shè)情境、反復(fù)推敲問題，提出梯次問題，安排學(xué)生活動(dòng)；理解教學(xué)，設(shè)計(jì)好每一節(jié)課，將本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)劃分并落實(shí)到課堂教學(xué)中。有一句話這么說(shuō)：“本科生玩解題技巧，學(xué)霸玩解題思想。”我覺得挺形象的。教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的重要性不言而喻，如何讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析、思考問題，升華成學(xué)生的思維，從而達(dá)到立人，這才是教育之根本。