一道莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克問題的解法探究

寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)東臺學(xué)校 張 寧 （郵編：755000）

問題（第82 屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克（八年級）第5 題）已知在等腰△ABC內(nèi)有一點(diǎn)K，使得AB=BC=CK，∠KAC=30°，試 求∠AKB.

解法1（構(gòu)造等腰三角 形）如圖2，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D.延長AK，交BD于點(diǎn)I，連接IC.因為BC=CK，所以將△ICK繞點(diǎn)C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)∠BCK，則點(diǎn)K落在 點(diǎn)B處.

圖1

圖2

設(shè)點(diǎn)I落在點(diǎn)E處，連接BE、CE、IE.

因為∠KAC=30°，所以∠AID=60°，∠AIB=120°.由等腰三角形的性質(zhì)，易知∠AIC=120°，所以∠BIC=120°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易知∠BEC=∠AIC=120°，IC=CE，IK=BE.由IC=CE，可知∠CIE=∠CEI，所以∠BIE=∠BEI，即IB=BE，所以IK=IB，即∠IBK=∠IKB=30°，所以∠AKB=180°－∠IKB=150°.

點(diǎn)評欲求∠AKB，只需求得其鄰補(bǔ)角即可.利用已知條件∠KAC=30°，構(gòu)造Rt△AID，易知∠AID=60°，∠AIB=120°.在△BIK中，只需證明IK=IB，即可求得∠IKB.在△ICB和△ICK中，BC=CK，IC是公共邊，∠AIB=∠AIC=120°，是鈍角三角形中的“邊邊角”問題，不能利用這三個條件直接證明△ICB≌△ICK，無法得知IK=IB.為此借助圖形旋轉(zhuǎn)變換證明IK=IB.這種解法通俗易懂，是一種較為簡潔的求解方法.

解法2（構(gòu)造輔助圓）如圖3，以點(diǎn)B為圓心，以AB為半徑作圓，延長AK，交⊙B于點(diǎn)E，連接BE、CE.

圖3

因為AB=BC，所以點(diǎn)C在⊙B上.

因為∠KAC=30°，所以∠CBE=60°，即△BCE是等邊三角形.

由CK=BC=CE，可知點(diǎn)B、E、K在以點(diǎn)C為圓心，CK為半徑的圓上.

由圓的性質(zhì)，易知∠BKE=∠BCE=30°，所以∠AKB=180°－∠BKE=150°.

點(diǎn)評根據(jù)已知條件AB=BC=CK，易知點(diǎn)A和點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑的⊙B上.點(diǎn)B和點(diǎn)K在以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑的⊙C上，顯然⊙B和⊙C是等圓.由圓的性質(zhì)，易知∠CBE=2∠KAC=60°，∠BKE=∠BCE=30°.從 而 可 知∠AKB=180°－∠BKE=150°.這種解法通俗易懂，求解過程簡潔明了，是一種非常精妙的求解方法，令人拍案叫絕！

解法3（解析法）如圖4，以AC邊所在直線為x軸，以過點(diǎn)B且垂直于AC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.作點(diǎn)K關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD、DK、BD、CD.

又因為AB=BC=CK=CD，所以AB=BD.

易知∠KAD=60°，AK=AD，所以△ADK是等邊三角形，即AK=DK.從而易知△ABK≌△DBK，所 以∠AKB=∠DKB，故∠AKB=(360°-∠AKD)=150°.

點(diǎn)評由∠KAC=30°，易想到構(gòu)造等邊△ADK，只需證明AB=BD，即可求得∠AKB.因為AB=BC=CK=CD，所以只需證明BD=CD，這里采用解析法證明.這種解法通俗易懂，但計算量較大，容易出現(xiàn)計算失誤.解析法是將幾何問題代數(shù)化的一種解題方法，利用這種方法解決幾何問題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為某些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用解析幾何相關(guān)知識解決問題.

解法4（解析法）如圖5，以AC邊所在直線為x軸，以過點(diǎn)B且垂直于AC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.延長BK，交x軸于點(diǎn)D.

點(diǎn)評欲求∠AKB，只需求得其鄰補(bǔ)角∠AKD即可.又∠KAC=30°，所以只需計算直線BK的斜率即可，從而想到利用解析法求解.這種求解方法通俗易懂，比解法3 更為簡潔.