一道課本習(xí)題的探究與拓展

安徽省合肥一六八中學(xué) 武前煒 （郵編：230601）

數(shù)學(xué)家奧加聶相曾經(jīng)說過：“必須重視習(xí)題潛在的數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能.”教材習(xí)題承擔(dān)著幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)基本技能的重要功能，特別是一些經(jīng)典例題、習(xí)題是十分有價(jià)值的教學(xué)資源，也是很多中考題源的根，重視習(xí)題的探究學(xué)習(xí)，能很好地幫助學(xué)生整合知識、探索規(guī)律、形成方法、獲得經(jīng)驗(yàn)、從而發(fā)展學(xué)生思維.

1 題目呈現(xiàn)

已知：如圖1，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為D.

圖1

求證：AC平分∠DAB.

本題是滬科版數(shù)學(xué)九年級下冊第24章圓第69頁第14 題.題目蘊(yùn)含豐富的幾何關(guān)系，比如圓周角定理、切線性質(zhì)、垂徑定理、角平分線性質(zhì)、弦切角定理、三角形相似、圓內(nèi)接四邊形等，這些內(nèi)容對鍛煉學(xué)生的識圖能力、辨析能力、推理能力以及轉(zhuǎn)化意識都有重要的作用，正如葉圣陶所說：“教材只是個(gè)例子.”作為教師在教學(xué)中要依托課本習(xí)題，從不同的角度、不同的層面、不同的條件進(jìn)行拓展研究，挖掘問題本質(zhì)，強(qiáng)化知識理解與應(yīng)用，發(fā)揮習(xí)題最大功效，從而幫助學(xué)生跳出“題?！?

2 解法及研究

解如圖2，連接OC，則由CD是切線可知OC⊥CD，而CD⊥AD，可得OC∥AD，所以∠DAC=∠ACO,而∠ACO=∠OAC，則∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB.

圖2

研究1題中三個(gè)論斷：①CD⊥AD；②CD是⊙O切線；③AC平分∠DAB，知二推一.

研究2相似結(jié)構(gòu)

如圖3，連接EC、BC，延長DC交AB延長線于點(diǎn)G.則△DEC∽△DCA,△GBC∽△GCA.

圖3

分析由∠BCG+∠OCB=90°,∠AOC+∠OCB=90°，得∠AOC=∠BCG,從而∠CAO=∠BCG,則△GBC∽△GCA；同理△DEC∽△DCA，這里∠BCG、∠DCE為⊙O的弦切角（弦切角等于弦與切線所夾弧所對的圓周角）.

研究3旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)

由于AC平分∠DAB，根據(jù)圓周角定理可知CB=CE，四邊形ABCE為對角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的特殊四邊形.

如圖4，過點(diǎn)C作CF⊥AB，根據(jù)AC平分∠DAB，知CD=CF，從 而Rt△CDE≌Rt△CFB(HL)（旋轉(zhuǎn)全等）.

圖4

如 圖5，過 點(diǎn)C作EC垂線，交AD延長線于點(diǎn)H，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知∠HEC=∠ABC,從 而可得△HCE ≌△ACB(ASA)（旋轉(zhuǎn)全等），則CH=CA,從而可得△CEB∽△CHA（旋轉(zhuǎn)相似）.

圖5

研究4對稱結(jié)構(gòu)

如圖6，延長BC交AD延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作AC的垂線交AB于點(diǎn)Q.由AC平分∠DAB，可得等腰△ABP、等腰△AQE，從而根據(jù)等腰三角形三線合一可知點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q.

圖6

評析課本一道簡約的題目蘊(yùn)含著豐富的幾何內(nèi)涵，在探究中尋找問題的增長點(diǎn)，在平時(shí)教學(xué)中善于挖掘課本習(xí)題，讓經(jīng)典習(xí)題的價(jià)值最大化，提煉出問題結(jié)構(gòu)本質(zhì)，使學(xué)生通過一道題的探究掌握一類題的解法.

3 考題應(yīng)用

如 圖7，AB是⊙O的直徑，C是弧AB上 一點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，連接AP，若AP平分∠CAB,AB=3,AC=1,連接BC、BP，則線段BP的長為.

圖7

分析根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=∠APB=90°,由勾股定理可得BC=

如圖8，連接PC，由AP平分∠CAB，根據(jù)圓周角定理可知PC=PB，連接OP，由垂徑定理可知OP垂直平分弦BC，圓內(nèi)接四邊形ABPC為對角互補(bǔ)，且有一鄰邊相等的四邊形.

圖8

據(jù)此分析可得以下精彩解法：

在Rt△BMP中由勾股定理得：BP=

解法2如圖9，設(shè)AP、BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，由AP平分∠BAC得DC=DE,可得△DEB∽△ACB，

圖9

解法3因?yàn)锳B為直徑，從而得∠APB為直角，即AP⊥BP，而AP平分∠BAC，延長AC交BP延長線于點(diǎn)N，如圖10，可得AP垂直平分BN，從而得：AN=AB=3.而AC=1，即CN=2，又 因ABPC為圓O的內(nèi)接四邊形，所以∠NCP=∠NBA，

圖10

得到△NCP∽△NBA，從而

解得PB=（負(fù)值舍去）.

注這里也可以在Rt△NCB中，由勾股定理可得BP=從而PB=

解法4觀察目標(biāo)線段BP所在“環(huán)境”——△ABP中，AB=3，考慮求解∠PAB的三角函數(shù)值即可計(jì)算出線段BP.而∠PAB=∠CAB，如圖11，延長CA，在CA的延長線上截取AM=AB，連接BM，由三角形外角可知∠CAB=2∠M，從而∠M=∠PAB.

圖11

解法5如圖12，過點(diǎn)C作AP垂線于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)G.由AP平分∠CAB，可證△CAH≌△GAH(ASA)，則AG=AC=1,HG=HC.

圖12

注此法也可這樣處理：如圖12-1，將△ACP沿著AP折疊.因?yàn)锳P平分∠CAB，從而點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)Q落在AB上，則AQ=AC=1,BQ=AB-AQ=2，PQ=PC=PB.

圖12-1

過 點(diǎn)P作PM⊥AB，則點(diǎn)M為QB的中點(diǎn)，即BM==1,在Rt△PAB中，射影定理得BP2=BM·BA，即BP=（負(fù)值舍去）.

解法6如圖13，過點(diǎn)P作AB,AC垂線交AB于點(diǎn)M，交AC的延長線于點(diǎn)N，

圖13

由AP平分∠CAB知PN=PM,可證Rt△PNC≌Rt△PMB(HL).

所以NC=MB,AN=AM，解得BM=NC=1,AM=2.

在Rt△PAB中，射影定理得BP2=BM·BA，即BP=（負(fù)值舍去）.

也可以這樣處理，如圖14，延長AB，使得BQ=AC=1，則AQ=AB+BQ=4,

圖14

由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)知∠PBQ=∠DCA,

所以△DCA≌△DBQ()SAS，則PA=PQ,

過點(diǎn)P作PM⊥AQ，則點(diǎn)M為AQ中點(diǎn)，所以

MQ=AQ=2,MB=MQ-BQ=1,

在Rt△PAB中，射影定理得BP2=BM·BA，

即BP=（負(fù)值舍去）.

解法7如圖15，連接OP，過 點(diǎn)P作OP的垂線，交AB的延長線于點(diǎn)H，由OP⊥PH，可知OP//AC,BC//HP，從 而,可得OH=3OP=則AH=AO+OH=6.

圖15

在Rt△OPH中，勾股定理得：

由∠BPH=∠OPA=∠PAO，

所以△BHP∽△PHA，從而

在Rt△DAB中，設(shè)BP=a,AD=2a，勾股定理得：AD2+BD2=AB2，解得a=（負(fù)值舍去），即BP=

4 思考

落實(shí)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)不再是具體的知識點(diǎn)，而是幫助運(yùn)用知識解決問題.中考題所運(yùn)用的知識不局限于一節(jié)課的內(nèi)容，可能是跨章節(jié)的，也可能是跨學(xué)段的.因此在平時(shí)的教學(xué)中教師需要提供給學(xué)生一定廣度的學(xué)習(xí)資源，從不同視角、不同層面提供素材，以啟發(fā)學(xué)生，全面分析問題，幫助學(xué)生解決問題.[1]教材是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、學(xué)生學(xué)習(xí)的重要資源，教材習(xí)題的選題凝聚著編者的智慧與心血，經(jīng)典習(xí)題，思考的角度不同，可得到不同的解答方法，充分挖掘題目的內(nèi)涵與外延，這樣的訓(xùn)練可以拓寬學(xué)生的解題思路，調(diào)動學(xué)生積極性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，教師的責(zé)任就在于如何設(shè)計(jì)教學(xué)、篩選資源、加工資源，用心幫助學(xué)生養(yǎng)成挖掘和研究習(xí)題的習(xí)慣，力爭每一道題目發(fā)揮最大的教育功效，讓學(xué)生脫離“題海”.“雙減”之下，教師更要做好“增壓”，通過一題多解、一題多變，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、技能提升、素養(yǎng)提高.