具有Ricci孤立子的仿Kenmotsu流形*

潘全香

(河南工學院 理學部,河南 新鄉(xiāng)453003)

0 引言

20世紀80年代,Hamilton提出了Ricci流的概念[1],實際上Ricci流的最初引進是為了解決三維流形著名的Poincarē猜想(任意單連通的三維完備閉流形同胚于三維閉球面)。Ricci孤立子是Ricci流的自相似解且經(jīng)常出現(xiàn)在Ricci流方程的奇異點經(jīng)伸縮變換后的極限中。一方面,Ricci孤立子的研究有助于更好地理解Ricci流的奇異結(jié)構(gòu),從而結(jié)合幾何手術(shù)的方法得到一些重要的幾何和拓撲結(jié)構(gòu);另一方面,Ricci孤立子是愛因斯坦度量的自然推廣(也稱為quasi-Einstein度量),在規(guī)范場論與超弦理論中有重要的應(yīng)用[2]。因此,Ricci孤立子的幾何性質(zhì)及幾何不變量對于數(shù)學及物理學的發(fā)展均具有重要的研究意義。

1972年，Kenmotsu研究了一類滿足某些特殊條件的切觸黎曼流形，即著名的Kenmotsu流形[3]。仿切觸流形的重要性主要來自仿Kahler流形的理論。最近幾年，隨著仿切觸度量流形研究的興起，幾何學者開始研究仿Sasaki流形、仿Kenmotsu流形、仿余辛流形上的幾何結(jié)構(gòu)。由于在切觸幾何框架下對Ricci孤立子的研究很有趣且較完善[4-9]，因此，許多幾何學者在相關(guān)領(lǐng)域繼續(xù)進行了大量的研究。Calvaruso-Perrone研究了三維近仿切觸度量流形上的Ricci 孤立子，并且給出許多例子[10]。Bejan Crassmareanu 研究了三維規(guī)范仿切觸度量流形上的Ricci孤立子[11]。另外，Blaga研究了仿Kenmotsu流形上的η-Ricci孤立子[12]。受此啟發(fā)，本文在Ricci recurrent 和φ-recurrent的條件下研究具有Ricci孤立子的仿Kenmotsu流形并給出其分類定理。第一部分給出仿切觸度量流形仿Kenmotsu流形的一些概念與結(jié)論；第二部分給出Ricci-recurrent 仿Kenmotsu流形的分類定理；第三部分得到φ-recurrent仿Kenmotsu流形的分類定理。

1 仿切觸度量流形

這一部分，給出關(guān)于仿切觸度量流形的一些概念、性質(zhì)與結(jié)論，更多細節(jié)與例子參見文獻[13]。

設(shè)光滑流形M，若它具有(1-1)型張量場φ，向量場ξ，1-形式η滿足如下條件：φ2=I-η?ξ，φ(ξ)=0，η·φ=0，η(ξ)=1。那么稱組合(φ，ξ，η)是一個近仿切觸結(jié)構(gòu)，稱組合(M，φ，ξ，η)為仿切觸度量流形。另外，若存在偽黎曼度量g，使得對任意向量場X，Y，都有g(shù)(φX，φY)=-g(X,Y)+η(X)η(Y)成立，稱組合(M，φ，ξ，η，g)為仿切觸度量流形，此時稱g為可容度量。仿切觸度量結(jié)構(gòu)上的基本2-形式Φ定義為：Φ(X，Y)=g(X,φY)。若Φ=dη，那么流形(M，φ，ξ，η，g)稱為仿切觸度量流形。近仿切觸度量流形M上，若(?Xφ)Y=η(Y)φX+g(X,φY)，則稱M為仿Kenmotsu流形。

仿Kenmotsu流形上，下列式子成立：

?Xξ=-X+η(X)ξ

R(X，Y)ξ=η(X)Y-η(Y)X

Qξ=-2nξ

(Lξg)(Y,Z)=-2{g(Y,Z)-η(Y)η(Z)}

命題1 設(shè)(g,ξ,λ)是仿Kenmotsu流形M2n+1上的Ricci孤立子，則M2n+1是η-Einstein 流形且r=2n(1+λ)+λ。

M2n+1是η-Einstein 流形。又由QX=(λ+1)X-η(X)ξ，由數(shù)量曲率的定義有

利用與文獻[14]類似的方法可得如下引理:

引理1 設(shè)(M,g)為φ-recurrent 仿Kenmotsu流形,ξ是特征向量場，A是M上的非零1-形式，α是其對應(yīng)的向量場，這里A(W)=η(α)η(W)。

2 Ricci-recurrent 仿Kenmotsu流形

定義1 仿Kenmotsu流形M上若存在非零1-形式A，使得

(?Wρ)(Y,Z)=A(W)ρ(Y,Z)

(1)

則稱M為Ricci-recurrent 仿Kenmotsu流形。

這一部分我們考慮Ricci-recurrent 仿Kenmotsu流形M。利用Ricci曲率張量ρ沿任意方向的協(xié)變導數(shù)為

(?Wρ)(Y,ξ)=?Wρ(Y,ξ)-ρ(?WY,ξ)-ρ(Y,?Wξ)

在式(1)中令Z=ξ,經(jīng)過直接的代數(shù)計算可得

(?Wρ)(Y,ξ)=?Wρ(Y,ξ)-ρ(?WY,ξ)-ρ(Y,?Wξ)

=?W(-2nη(Y))+2ng(?WY,ξ)+ρ(Y,W-η(X)ξ)

=2ng(W,Y)+ρ(W,Y)

由Ricci-recurrent 仿Kenmotsu流形定義知：

(?Wρ)(Y,ξ)=A(W)ρ(Y,ξ)=-2nA(W)η(Y)

所以

ρ(W,Y)=-2nA(W)η(Y)-2ng(W,Y)

(2)

在式(2)中令Y=ξ，得

ρ(W,ξ)=-2nA(W)-2nη(W)

令W=ξ，得

λ=ρ(ξ,ξ)=-2nA(ξ)-2n=-2n(A(ξ)+1)

由以上討論可得：

定理1 設(shè)(g,ξ,λ)是Ricci-recurrent仿Kenmotsu流形M2n+1上的Ricci孤立子，A是流形上的1-形式。則當A(ξ)<-1時Ricci孤立子是擴張的。當A(ξ)=-1時Ricci孤立子是穩(wěn)定的。當A(ξ)>-1時Ricci孤立子是收縮的。

推論1 設(shè)(g,ξ,λ)是Ricci-recurrent仿Kenmotsu流形M2n+1上的Ricci孤立子，若1-形式A=η，則M2n+1是η-Einstein流形，且此時a=b=-2n。

3 φ-recurrent仿Kenmotsu流形

定義2 仿Kenmotsu流形M上若存在非零1-形式A，使得對任意切向量場X,Y,Z,W滿足

φ2((?WR)(X,Y)Z)=A(W)R(X,Y)Z

(3)

則稱M為φ-recurrent 仿Kenmotsu流形。

設(shè)M為φ-recurrent 仿Kenmotsu流形，由定義可得：

(?WR)(X,Y)Z-η((?WR)(X,Y)Z)ξ=A(W)R(X,Y)Z

(4)

上式與U做內(nèi)積得

g((?WR)(X,Y)Z,U)-η((?WR)(X,Y)Z)η(U)=A(W)g(R(X,Y)Z,U)

(5)

設(shè){ei}(i=1,…,2n+1)是流形上任一點的切空間上的一組平行規(guī)范基。在式(5)中取X=U=ei并關(guān)于i求和，容易得到

(?Wρ)(Y,Z)=A(W)ρ(Y,Z)

(6)

在式(6)中用ξ代替Z且利用式(1)，有

(?Wρ)(Y,ξ)=-2nA(W)η(Y)

(7)

又

(?Wρ)(Y,ξ)=?Wρ(Y,ξ)-ρ(?WY,ξ)-ρ(Y,?Wξ)=2ng(W,Y)+ρ(W,Y)

所以

ρ(W,Y)=-2nA(W)η(Y)-2ng(W,Y)

(8)

綜上討論可得：

定理2 設(shè)(g,ξ,λ)是φ-recurrent仿Kenmotsu流形M2n+1上的Ricci孤立子，A是流形上的1-形式，則當A(ξ)<-1時Ricci孤立子是擴張的，當A(ξ)=-1時Ricci孤立子是穩(wěn)定的，當A(ξ)>-1時Ricci孤立子是收縮的。

推論2 設(shè)(g,ξ,λ)是φ-recurrent仿Kenmotsu流形M2n+1上的Ricci孤立子，若1-形式A=η，則M2n+1是η-Einstein流形，且此時a=b=-2n。