一道2021年高三八省聯(lián)考試題的多解探究

摘要：解析幾何一直是高考中的重要內(nèi)容，常在選填題中考查直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線的定義與方程、圓錐曲線的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，此類問題綜合性較強，本文通過多種解法探究，以期培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：直線;圓;拋物線;八省聯(lián)考

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0095-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：謝新華（1979.8-），男，福建省莆田人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題2020年度教育教學(xué)改革專項課題“學(xué)科素養(yǎng)視域下‘讀思達’教學(xué)法的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)用研究”（項目編號：Fjjgzx20-077）.

[FQ）]

1 試題呈現(xiàn)

題目（2021年全國新高考適應(yīng)性考試暨八省聯(lián)考數(shù)學(xué)第7題）已知拋物線y2=2px上三點A（2，2），B，C，直線AB，AC是圓（x-2）2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為 （）.

A.x+2y+1=0B. 3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

2 試題解析

解法1因為A（2，2）在拋物線y2=2px上，

所以22=2p×2，即p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

設(shè)過點A（2，2）與圓（x-2）2+y2=1相切的直線的方程為y-2=kx-2，即kx-y+2-2k=0.

則圓心2，0到切線的距離

d=2k-0+2-2kk2+1=1，

解得k=±3.

如圖1，直線AB：y-2=3x-2，

直線AC：y-2=-3x-2.

聯(lián)立y-2=3x-2，y2=2x， 得

3x2+43-14x+16-83=0.

所以xAxB=16-833.

由xA=2，得xB=8-433.

所以yB=23-63.

聯(lián)立y-2=3x-2，y2=2x， 得

3x2-43+14x+16+83=0.

所以xAxC=16+833.

由xA=2，得xC=8+433.

所以yC=-23-63.

所以yB+yC=23-63+-23-63=-4.

又由B，C在拋物線上可知，直線BC的斜率為kBC=yB-yCxB-xC=yB-yC12y2B-12y2C=2yB+yC=2-4=-12.

所以直線BC的方程為

y-23-63=-12x-8-433.

即3x+6y+4=0.故選B.

解法2因為A（2，2）在拋物線y2=2px上，

所以22=2p×2，即p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），設(shè)直線AB，AC的方程為y-2=kx-2，聯(lián)立y2=2x消去x，得

ky2-2y-4（k-1）=0.

即（y-2）（ky+2k-2）=0.

所以y1，2=2k-2.

因為直線AB，AC是圓（x-2）2+y2=1的兩條切線，所以d=2k-0+2-2kk2+1=1.

解得k=±3.

所以B（（2-23）22，23-2）.

所以kBC=y1-y2x1-x2=y1-y212y21-12y22=2y1+y2=223-2+23+2=-12.

所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.故選B.

解法3因為A（2，2）在拋物線y2=2px上，

所以p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

設(shè)過點A（2，2）與圓（x-2）2+y2=1相切的直線的方程為y-2=kx-2，即kx-y+2-2k=0.

則圓心2，0到切線的距離

d=2k-0+2-2kk2+1=1，

解得k=±3.

不妨設(shè)直線AB的斜率為3，則2yB+2=3.

所以yB=23-2，

xB=4（13-23+1）2=4（2-3）3.

設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為點A′，由極限知識可知BC斜率與拋物線在點A′處切線斜率相同均為-12，所以直線BC的方程為

y=-12（x-8-433）+23-63.

即3x+6y+4=0.故選B.

解法4因為A（2，2）在拋物線y2=2px上，所以p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

如圖2可得直線AB，AC的斜率為±3.

設(shè)B（2b2，2b），C（2c2，2c），可得直線BC的方程為y-（b+c）=x-（b2+c2）b+c.

即x-（b+c）y+2bc=0.

又因為k2AB=（2b-22b2-2）2=3，

即3b2+6b+2=0.

同理可得3c2+6c+2=0.

即b，c是關(guān)于t的方程3t2+6t+2=0的兩根.

所以b+c=-2，bc=23.

所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.故選B.

解法5因為A（2，2）在拋物線y2=2px上，所以p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

如圖2可得切線的斜率為±3，

切線方程為y-2=±3x-2，

聯(lián)立（y-2）2=3x-22，y2=2x， 得

y-22=3（12y2-2）2.

即y+22=43.

所以y2+4y+83=0.

所以2x+4y+83=0.

即3x+6y+4=0.故選B.

解法6因為A（2，2）在拋物線y2=2px上，

所以22=2p×2，即p=1.

所以拋物線方程為y2=2x.

設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），

所以x1=12y21，x2=12y22.

所以kAB=y1-2x1-2=y1-212y21-2=2y1+2.

所以直線AB的方程為y-2=2y1+2x-2.

即2x-（y1+2）y+2y1=0.

因為AB是圓（x-2）2+y2=1的切線，

所以d=4+2y1（y1+2）2+22=1.

所以3y12+12y1+8=0.

所以6x1+12y1+8=0.

即3x1+6y1+4=0.

同理可得3x2+6y2+4=0.

所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.故選B.

3 試題變式

變式1設(shè)點F為拋物線y2=16x的焦點，A，B，C三點在拋物線上，且四邊形ABCF為平行四邊形，若對角線BF=5（點B在第一象限），則對角線AC所在的直線方程為（）.

A.8x-2y-11=0B.4x-y-8=0

C.4x-2y-3=0D.2x-y-3=0

變式2已知P是圓C：（x-2）2+（y+2）2=1上一動點，過點P作拋物線x2=8y的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB斜率的最大值為（）.

A.14B.34C.38D.12

變式3過拋物線x2=2pyp>0上兩點A，B分別作拋物線的切線，若兩切線垂直且交于點P1，-2，則直線AB的方程為（）.

A.y=12x+2B.y=14x+3

C.y=12x+3D.y=14x+2

參考文獻：

[1] 紀定春，夏逸天，周思波.一道三診試題的多解及推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2021（02）：34-36.

[2] 左效平.一道平幾賽題的多解[J].數(shù)理天地（初中版），2021（02）：34-35.

[3] 蔡海濤.著力一題多解 引領(lǐng)學(xué)生思考——以一道高三質(zhì)檢題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（01）：61-63.

[責(zé)任編輯：李璟]