高中數(shù)學數(shù)列試題的解題技巧

劉鵬

摘要：本文分析了公式法、數(shù)列分組法、裂項相消法、錯位相減法、累加累乘等方法以及變式練習題在數(shù)列解題中的應用，以期為促進高中數(shù)學數(shù)列教學，提高學生數(shù)列解題能力提供借鑒.

關(guān)鍵詞：數(shù)列分組法;錯位相減法;裂項相消法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）07-0007-03

數(shù)列是高中數(shù)學的重點、難點，習題情境復雜多變，部分習題技巧性較強.為提高解答數(shù)列試題的能力，既要總結(jié)常見的數(shù)列習題類型，又要注重深入研究經(jīng)典例題，掌握題型特點，總結(jié)相關(guān)解題技巧.

1 數(shù)列試題解題技巧之公式法的應用

例1在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1，數(shù)列{bn}滿足bn=2log2（an+1-n），則數(shù)列{bn}的前n項和Sn為（）.

A.n2B.n2-nC.n2+nD.n2+n+1

解題技巧高中數(shù)學數(shù)列部分涉及很多公式，解題時直接套用公式可大大提高解題效率.解答該題需要從給出的已知條件出發(fā)通過構(gòu)造新的數(shù)列求解出數(shù)列{an}，通過計算得出數(shù)列{bn}的通項公式，而后直接套用等差數(shù)列前n項和計算公式.

因為an+1=an+2n+1，

所以an+1-2n+1=an+2n+1-2n+1=an-2n+1.

所以（an+1-2n+1）-（an-2n）=1.

因為a1=2，所以a1-2=2-2=0.

則數(shù)列{an-2n}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列.

所以an-2n=n-1，即an=n-1+2n.

因為bn=2log2（an+1-n），

所以bn=2log2（n-1+2n+1-n）=2n.

所以Sn=b1+b2+…+bn=2（1+2+…+n）=2×n（1+n）2=n2+n，故選C.

2 數(shù)列試題解題技巧之數(shù)列分組法的應用

例2已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*，且bn=ancos2nπ3，設Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，則S2020的值為（）.

A.1B.12C.-12D.-1

解題技巧解答數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合的試題不僅要運用數(shù)列相關(guān)知識，而且需要運用相關(guān)的誘導公式.該題中需根據(jù)已知條件求出數(shù)列{an}的通項公式，得出數(shù)列{bn}的通項公式，結(jié)合三角函數(shù)，找到數(shù)列{bn}中不同項數(shù)的通項公式.

因為nan+1=（n+1）an+n（n+1），

所以an+1n+1=ann+1，即an+1n+1-ann=1.

因為a1=1，所以數(shù)列{ann}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即ann=n，an=n.

所以bn=ncos2nπ3.

b3k-2=（3k-2）cos（2kπ-4π3）=-12（3k-2）;

b3k-1=（3k-1）cos（2kπ-2π3）=-12（3k-1）;

b3k=3kcos2kπ=3k;

所以b3k-2+b3k-1+b3k=32.

因為2020=3×674-2，

所以b2020=-12（3×674-2）=-1010.

又因為2020=3×673+1，

故S2020=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b2017+b2018+b2019）+b2020=32×673-1010=-12.3 數(shù)列試題解題技巧之裂項相消法的應用

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=43，an+1-1=an（an-1）（n∈N*），且Sn=1a1+1a2+1a3+…+1an，則Sn的整數(shù)部分可能構(gòu)成的集合是（）.

A.{0，1，2}B.{0，1，2，3}C.{2}D.{0，2}

解題技巧部分數(shù)列習題，需要運用遞推關(guān)系研究相關(guān)項數(shù)之間的聯(lián)系，對分析以及推理能力要求較高.該題中需根據(jù)已知條件尋找相關(guān)的遞推關(guān)系，采用裂項相消法求出Sn.根據(jù)已知條件判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，而后通過分類討論進行解答.

因為an+1-1=an（an-1），兩邊取倒數(shù)，得

1an+1-1=1an-1-1an.

即1an=1an-1-1an+1-1.

故Sn=1a1+1a2+1a3+…+1an=1a1-1-1a2-1+1a2-1-1a3-1+…+1an-1-1an+1-1=3-1an+1-1.

又因為an+1-1=an（an-1），

所以an+1-an=（an-1）2.

因為an≠1，所以（an-1）2>0，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.

因為a1=43，故a2=139，a3=13381，a4=134776561.

所以1a3-1=8152>1，1a4-1=65616916<1.

當n=1時，S1=1a1=34，整數(shù)部分為0;

當n=2時，S2=1a1+1a2=34+913=1+1352，整數(shù)部分為1;

當n=3時，S3=1a1+1a2+1a3=34+913+81133=2+3556561，整數(shù)部分為2;

當n≥4時，3-1an+1-1∈（2，3），其整數(shù)部分為2.

綜上可知，Sn的整數(shù)部分可能構(gòu)成的集合是{0，1，2}，故選A.

4 數(shù)列試題解題技巧之累加、累乘法的應用

例4對于數(shù)列{an}，若存在常數(shù)M，使得對任意的n∈N*，都有|an|

A.an+an+1=1+nB.an+1-an=1-1n21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E

C.anan+1=1+2nD.an+1an=1+1n2

解題技巧解答數(shù)列新定義類問題的關(guān)鍵在于能夠構(gòu)建新定義與所學知識的聯(lián)系，對要求解的問題進行靈活轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉，尤其需要靈活運用多種解題方法進行嚴謹?shù)赝评?

對于A，C兩項，設數(shù)列{an}有界，根據(jù)定義可知，an

而1+n→+∞，1+2n →+∞，因此，兩項均錯誤.

對于B項，當n≥2時，an+1-an=1-1n≥12，所以a3-a2≥12，a4-a3≥12，…，an-an-1≥12.

累加得到：an-a2≥12（n-2）.

因為a2-a1=0，所以a1=a2=1.

所以an≥n2，不是有界的.

對于D項，a2=1+1=2，an+1an=1+1n2=n2+1n2

所以an<4成立.故選D.

5 數(shù)列解題技巧之錯位相減法的應用

例5已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，已知a1=1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，b1=2，bn=Sn-1+2（n≥2，n∈N*），設an=bncn.

（1）求數(shù)列{cn}的通項公式;

（2）記Tn為數(shù)列{cn}的前n項和，若對于任意的n∈N*，不等式bn·Tn>（-2）np-n恒成立，求實數(shù)p的取值范圍;

解題技巧遇到數(shù)列求和時應注重先觀察求和數(shù)列的通項公式，尤其當通項公式為等差數(shù)列與等比數(shù)列的復合形式時常采用錯位相減法.

該題中首先根據(jù)已知條件求出數(shù)列{an}，{bn}的通項公式，而后借助“an=bncn”求出數(shù)列{cn}的通項公式.求{cn}的前n項和Tn時需要運用錯位相減法.

問題（1）因為{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列.

所以a22=a1a4.

設公差為d，則（1+d）2=1×（1+3d）.

整理，得d（d-1）=0.則d=1，an=n.

因為當n≥2時，bn=Sn-1+2，則bn+1=Sn+2.兩式相減，得bn+1-bn=Sn-Sn-1=bn.

所以bn+1=2bn.

當n=2時，b2=S1+2=b1+2=4，故b2=2b1.

所以數(shù)列{bn}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列.所以bn=2×2n-1=2n.

因為an=bncn，所以cn=n2n.

問題（2）因為cn=n2n，所以Tn=1×12+2×122+3×123+…+（n-1）×12n-1+n×12n.①

所以12Tn=1×122+2×123+3×124+…+（n-1）×12n+n×12n+1.②

①-②，得

12Tn=12+122+123+…+12n-n×12n+1=12[1-（12）n]1-12-n×12n+1=1-n+22n+1.

所以Tn=2-n+22n.

因為不等式bn·Tn>（-2）np-n恒成立，

即2n·（2-n+22n）>（-2）np-n恒成立.

所以（-1）np<2-22n.

當n為偶數(shù)時，p<2-22n恒成立，則n=2，此時p<2-12=32;

當n為奇數(shù)時，-p<2-22n，p>22n-2，則n=1，p>-1.

綜上可知，p的取值范圍為（-1，32）.

參考文獻：

[1] 胡見畬.淺談數(shù)列試題解題方法與技巧[J].高中數(shù)學教與學，2019（06）：46-47.

[2] 劉克江.淺析高中數(shù)學數(shù)列試題的解題方法與技巧[J].課程教育研究，2020（19）：142.

[責任編輯：李璟]21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E