二次曲線系在圓錐曲線四點共圓問題中的應用

摘要：常規(guī)方法處理圓錐曲線中的四點共圓問題，運算量比較大，若能巧妙運用二次曲線系來處理，可大大簡化運算.

關鍵詞：圓錐曲線;四點共圓;二次曲線系

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0092-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：李鴻昌，從事高中數(shù)學教學研究.[FQ）]

1 預備知識

1.1 二次曲線系

兩個二次曲線通常有四個交點（這些交點中可能有重合的，也可能有虛的）.如果這兩個二次曲線的方程分別為f1（x，y）=0和f2（x，y）=0（fi（x，y）=0是x，y的二次式），那么過它們交點的二次曲線束可寫成λf1（x，y）+μf2（x，y）=0，其中λ，μ為實數(shù)且不全為0.

當二次曲線退化為直線時，即得到直線束方程.

1.2 直線系方程

設直線l1：m1x+n1y+c1=0與直線l2：m2x+n2y+c2=0相交于點P，則過點P的直線束方程可寫成λ（m1x+n1y+c1）+μ（m2x+n2y+c2）=0，其中λ，μ為實數(shù)且不全為0.

特別地，過點P的曲線束方程為（m1x+n1y+c1）（m2x+n2y+c2）=0.

1.3 圓系方程

過兩條直線f1=0，f2=0與一條二次曲線f（x，y）=0的4個交點的二次曲線束方程為f（x，y）+λf1f2=0（λ為參數(shù)），僅當此方程中x2與y2的系數(shù)相同時表示圓.

2 典例分析

例1（2021年新高考Ⅰ卷）在平面直角坐標系xOy中，已知點F1（-17，0），F(xiàn)2（17，0），點M滿足MF1-MF2=2. 記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設點T在直線x=12上，過點T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

解析（1）因為MF1-MF2=2，所以M的軌跡C為雙曲線的右支，且

c2=17，2a=2，c2=a2+b2，

解得a=1，b=4.

故C的方程為x2-y216=1（x≥1）.

（2）由TA·TB=TP·TQ，得

TATP=TQTB，且∠ATQ=∠PTB.

所以△ATQ∽△PTB.

從而∠ABP=∠AQP.

因此A，B，Q，P四點共圓.

由題意知，直線AB和PQ的斜率均存在且不等于0，則直線AB的方程為

y-n=k1（x-12）.

即k1x-y+n-12k1=0.

同理直線PQ的方程為

k2x-y+n-12k2=0.

則過A，B，Q，P四點的二次曲線系方程為

x2-y216-1+λ（k1x-y+n-12k1）（k2x-y+n-12k2）=0.

即（1+λk1k2）x2+（-116+λ）y2-λ（k1+k2）xy+λ[（k1+k2）n-k1k2]x

-λ（2n-k1+k22）y+（n-k12）（n-k22）=0.（*）

因為A，B，Q，P四點共圓，所以該圓也是曲線（*）中的一條曲線.

方程（*）為圓的充要條件是

1+λk1k2=-116+λ，且λ（k1+k2）=0.

因為λ≠0，

所以k1+k2=0.

因此直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和等于0.

點評根據(jù)雙曲線方程及直線AB和PQ的方程，可寫出過A，B，Q，P四點的二次曲線系方程. 再由條件“TA·TB=TP·TQ”得到A，B，Q，P四點共圓，所以二次曲線系方程中x2與y2的系數(shù)相同，從而得到k1+k2=0.

例2（2014年大綱卷）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為點F，直線y=4與y軸的交點為點P，與C的交點為點Q，且QF=54PQ.

（1）求C的方程;

（2）過點F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程.

解析（1）設Q（x0，4），代入y2=2px，得

x0=8p.

所以PQ=p8，

QF=p2+x0=p2+8p.

由題意，得p2+8p=54×8p，

解得p=2.

所以C的方程為y2=4x.

（2）由題意知直線l與x軸不垂直，故可設l的方程為x=my+1.

故可設AB的垂直平分線l′的方程為

x=-1my+c.

于是過A，M，B，N四點的二次曲線系方程為

y2-4x+λ（x-my-1）（x+1my-c）=0.

即（1-λ）y2+λx2+λ（1m-m）xy-[4+λ（c+1）]x+λ（mc-1m）y+λc=0.

因為A，M，B，N四點共圓，

所以有1-λ=λ，且λ（1m-m）=0.

即λ=12，m=±1.

故直線l的方程為

x-y-1=0或x+y-1=0.

點評由題意可設出l和l′的方程，然后寫出過A，M，B，N四點的二次曲線系方程，根據(jù)A，M，B，N四點共圓，知方程中x2與y2的系數(shù)相同且xy的系數(shù)為0，從而得到l的方程.

3 應用

題1（2002年江蘇卷）設A，B是雙曲線x2-y22=1上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點.

（1）求直線AB的方程;

（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C，D兩點，那么A，B，C，D四點是否共圓，為什么？

解析（1）由中點弦公式，kON·kAB=b2a2，得

2kAB=21，即kAB=1.

所以直線AB的方程為y-x-1=0.

（2）易知直線CD的方程為y+x-3=0.

所以過A，B，C，D四點的二次曲線系方程為

x2-y22-1+λ（y-x-1）（y+x-3）=0.

即（1-λ）x2+（λ-12）y2+2λx-4λy+3λ-1=0.

該曲線方程表示圓的充要條件是

1-λ=λ-12，即λ=34.

此時圓的方程為x2+y2+6x-12y+5=0.

因此A，B，C，D四點在圓x2+y2+6x-12y+5=0上，即A，B，C，D四點共圓.

題2（2005年湖北卷）設A，B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C，D兩點.

（1）確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程;

（2）試判斷是否存在這樣的λ，使得A，B，C，D四點共圓？并說明理由.

解析（1）由于點N（1，3）是線段AB的中點，

所以N（1，3）在橢圓3x2+y2=λ內(nèi).

故3×12+32<λ，

即λ>12.

因此λ的取值范圍是λ∈（12，+

SymboleB@

）.

由中點弦公式，kON·kAB=-b2a2，得

3kAB=-3，即kAB=-1.

所以直線AB的方程x+y-4=0.

（2）易知直線CD的方程為x-y+2=0.

所以過A，B，C，D四點的二次曲線系方程為

3x2+y2-λ+μ（x+y-4）（x-y+2）=0.

即（3+μ）x2+（1-μ）y2-2μx+6μy-8μ-λ=0.

該曲線方程表示圓的充要條件是

3+μ=1-μ，即μ=-1.

此時圓的方程為

x2+y2+x-3y+4-λ2=0.

即（x+12）2+（y-32）2=λ-32.

由（1）知，當且僅當λ>12時，A，B，C，D四點在圓（x+12）2+（y-32）2=λ-32上，即A，B，C，D四點共圓.

參考文獻：

[1]?單墫.解析幾何的技巧[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2009.

[2] 孔令輝，匡瑩萍.利用曲線系方程證明圓錐曲線上四點共圓[J].數(shù)理化解題研究，2013（06）：27.

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