問題解法探索，多樣變式探究

馬東松

[摘 ?要] 多函數(shù)幾何題是初中數(shù)學(xué)的重要題型，建議充分把握函數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián)，結(jié)合問題特征進(jìn)行突破. 教學(xué)中應(yīng)合理拓展解法及變式問題，使學(xué)生充分認(rèn)識問題，掌握解題策略. 文章將對一道多函數(shù)幾何題展開探究，并進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐反思，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 多函數(shù);幾何;分步;解法;變式

函數(shù)綜合是中考和?？汲Ｒ姷膲狠S題命題形式，往往將曲線與直線、圖形融合在一起，綜合考查函數(shù)圖像的位置關(guān)系及函數(shù)背景下的幾何模型構(gòu)建，下面深入探究.

問題呈現(xiàn)，分步探究

1. 問題呈現(xiàn)

問題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=-x+3的圖像與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B. 拋物線的解析式為y=-x2+bx+c，點(diǎn)A和B位于拋物線上.

（1）試求拋物線的解析式;

（2）如圖1所示，點(diǎn)M（m，y1），N（n，y2）是第一象限且位于拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有m<n. 分別過點(diǎn)M和N作MC和ND垂直于x軸，設(shè)與直線AB的交點(diǎn)分別為C和D.

①若四邊形MNDC為平行四邊形，試求m與n之間的關(guān)系;

②在①條件成立的前提下，設(shè)四邊形MNDC周長為L，試求L的最大值;

（3）如圖2所示，設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A′，分析在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APA′=∠ABO？若存在，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

2. 分步探究

本題目為二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，其中融合了平行四邊形，問題解析要把握函數(shù)圖像上的關(guān)鍵點(diǎn)，由交點(diǎn)作為突破口求解析式，利用點(diǎn)距離探求線段長，把握線段、圖形中的幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化角度模型.

第（1）問求拋物線的解析式，核心解法是待定系數(shù)法，由一次函數(shù)解析式可求點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式即可求解. 可求得點(diǎn)A（4，0），B（0，3），代入y=-x2+bx+c中，可得-42+4b+c=0，

c=3， 解得b=，c=3，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+x+3.

第（2）問構(gòu)建了平行四邊形MNDC，其中邊MC和ND平行于y軸，所涉兩問分別探究坐標(biāo)參數(shù)m和n的關(guān)系，以及周長的最大值，解析時(shí)要構(gòu)建點(diǎn)坐標(biāo)、線段、幾何特性之間的關(guān)聯(lián)，利用函數(shù)性質(zhì)分析最值.

①四邊形MNDC為平行四邊形，已知MC∥ND，則MN∥CD. 如圖3，過點(diǎn)N作MC的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E，可證△NEM∽△AOB，由相似性質(zhì)可得=. 設(shè)點(diǎn)Mm，-m2

+m+3，點(diǎn)Nn，-n2

+n+3，可推得線段ME=-m2+n2+（m-n），NE=n-m，代入比例關(guān)系可得=，解得m+n=4.

②平行四邊形MNDC的周長可表示為L=2（NM+MC），需分別求NM和MC的線段長. 在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5. 可知∠MNE=∠OAB，則cos∠MNE=cos∠OAB，在對應(yīng)三角形中構(gòu)造三角函數(shù)值模型，則=，代入線段長可得=，則MN=（2-m），而MC=-m2+m+3-

-m+3=-m2+4m，所以L=2（NM+MC）=-2m2+3m+10= -2

m-2+. 分析可知，當(dāng)m=時(shí)，L可取得最大值，且最大值為.

第（3）問為等角存在性問題，總體上采用“假設(shè)—驗(yàn)證”法. 其中∠ABO為定角，點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，則其橫坐標(biāo)xP=. 點(diǎn)A′是拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，由條件可得點(diǎn)A′

-，0，對于其中的等角關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為所涉三角形的相似關(guān)系. 需要討論點(diǎn)P位于x軸上方和x軸下方兩種情形.

①當(dāng)點(diǎn)P位于x軸的上方時(shí)，過點(diǎn)A作A′P的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E，如圖4所示. 由于∠APA′=∠ABO，∠AOB=∠AEP=90°，則△AOB∽△AEP，由相似性質(zhì)可得==. 令PE=3m，AE=4m，則AP=A′P=5m，A′E=2m. 在Rt△AEA′中使用勾股定理，可得A′E2+AE2=A′A2，代入線段長則有（2m）2+（4m）2=

4+2，整理可得m2=×

2，所以yp==.

②根據(jù)對稱性可知，在x軸的下方有對稱的點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-.

綜上可知，在拋物線的對稱軸上存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)分別為

，和

深度探究，拓展變式

上述對一道多函數(shù)綜合題進(jìn)行了解法探究，所涉三問涉及函數(shù)與幾何的眾多考點(diǎn)，問題具有代表性，深入探究有助于解題能力的提升. 下面對核心之問開展解法拓展及變式探究.

1. 把握性質(zhì)定理，構(gòu)建多樣思路

上述考題的第（2）問中構(gòu)建了四邊形，屬于函數(shù)背景下的四邊形探究題，其中①問分析四邊形為平行四邊形時(shí)參數(shù)m與n之間的數(shù)量關(guān)系，實(shí)則考查的核心是平行四邊形性質(zhì)定理. 原解法構(gòu)建了相似三角形，串聯(lián)線段長與點(diǎn)坐標(biāo)，其核心定理是“平行四邊形的對邊分別平行”，即其中的平行關(guān)系，以及由平行衍生的等角是思路構(gòu)建的核心. 故對于本題目，還可以把握函數(shù)背景中與平行、等角關(guān)聯(lián)的知識來構(gòu)建思路.

（1）構(gòu)建思路1：平行線函數(shù)解析式的k相等

四邊形MNDC為平行四邊形，則MN所在直線與直線y=-x+3相平行，即兩直線解析式的k值相等，可設(shè)MN的解析式為y=kx+b，則k=-. 設(shè)點(diǎn)Mm，-m2

+m+3，點(diǎn)Nn，-n2

+n+3，結(jié)合公式可知=-，解得m+n=4.

（2）構(gòu)建思路2：等角的三角函數(shù)值相等

參考原解法的構(gòu)圖思路，根據(jù)其中的平行關(guān)系可推知∠NME=∠MCB=∠ABO，則等角的三角函數(shù)值相等，顯然tan∠NME=tan∠ABO. 在Rt△ABO中，有tan∠ABO=. 設(shè)點(diǎn)Mm，-m2

+m+3，點(diǎn)Nn，-n2

+n+3，在Rt△NME中，ME=-m2+n2+（m-n），NE=n-m，則tan∠NME===，同樣可解得m+n=4.

2. 把握問題本質(zhì)，探索多樣變式

上述考題的第（3）問為等角存在性問題，上述基于等角構(gòu)建了相似直角三角形模型，并結(jié)合勾股定理來構(gòu)建線段關(guān)系，本質(zhì)上就是函數(shù)與幾何問題中的相似關(guān)系. 對于該問題還可以依托知識核心進(jìn)行拓展變式.

（1）拓展變式1——構(gòu)建相似圖形

變式1：設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A′，點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接A′P，再過點(diǎn)A作A′P的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E，如圖5所示. 分析是否存在點(diǎn)P使得△AOB∽△AEP？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

點(diǎn)撥：變式1為相似三角形存在性問題，與原問題本質(zhì)上是一致的，且相對較為簡單，可根據(jù)△AOB的邊長比例來設(shè)定△AEP的邊長，進(jìn)而結(jié)合勾股定理完成求解.

（2）拓展變式2——構(gòu)建面積比例

變式2：設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A′，點(diǎn)P是拋物線的對稱軸上的點(diǎn)，連接A′P，再過點(diǎn)A作A′P的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E. 若△AOB∽△AEP，試求△AEP的面積.

點(diǎn)撥：變式2中構(gòu)建了相似三角形，求△AEP的面積，是對原問題的深度變式. 顯然需要確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，推導(dǎo)相似三角形的面積比，進(jìn)而求出三角形的面積. 故分步突破：確定點(diǎn)P坐標(biāo)→構(gòu)建面積比→求三角形面積.

解后反思，教學(xué)建議

上述深度探究了一道多函數(shù)綜合題的解法，并進(jìn)行了多解探究和問題變式，有助于深度認(rèn)識問題，掌握問題的突破思路，同時(shí)探究策略有一定的參考價(jià)值，下面基于教學(xué)進(jìn)一步反思.

1. 關(guān)注問題本質(zhì)，定位知識考點(diǎn)

上述是一道多函數(shù)綜合題，其中涉及了一次函數(shù)、二次函數(shù)，并融合了平行四邊形、三角形等基本圖形. 總體來看，所涉三問立足函數(shù)與幾何的聯(lián)系，充分開展問題探究. 對于該類型壓軸題，解析過程中要關(guān)注問題本質(zhì)，定位知識考點(diǎn). 以上述第（2）問為例，分別探究四邊形為平行四邊形時(shí)的坐標(biāo)參數(shù)關(guān)系以及圖形周長的最值，前一問本質(zhì)就是點(diǎn)坐標(biāo)與線段平行的關(guān)系，后一問則是構(gòu)建線段函數(shù). 把握問題本質(zhì)，準(zhǔn)確定位考點(diǎn)，有利于分析破題方法.

2. 深度探索解法，變式拓展思考

解題探究的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是探索解法，變式思考，即立足考題思考破題方法，并適度拓展，包括對解法的拓展和問題變式的拓展. 如上述探究平行四邊形中坐標(biāo)參數(shù)關(guān)系時(shí)，從平行與三角形相似、平行與函數(shù)解析式k值的關(guān)系、平行等角與三角形函數(shù)值三大視角進(jìn)行了探究，形成了不同的突破思路;同時(shí)對第（3）問的等角存在性問題進(jìn)行了合理變式，形成了函數(shù)與幾何的典型問題. 解題教學(xué)時(shí)建議引導(dǎo)學(xué)生深度反思問題及解法，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角認(rèn)識問題，總結(jié)解題方法，可結(jié)合“一題多解”“多題一解”“一題多變”來開展解題教學(xué)，充分發(fā)揮考題價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

3. 關(guān)注數(shù)學(xué)思想，提升綜合素養(yǎng)

多函數(shù)幾何題的破解過程往往需要利用眾多的數(shù)學(xué)思想，如上述問題總體上使用了數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化，求平行四邊形中的參數(shù)關(guān)系時(shí)涉及方程思想，求平行四邊形周長最值時(shí)用到了函數(shù)思想和模型思想. 正是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下學(xué)生完成了條件轉(zhuǎn)化、思路構(gòu)建. 數(shù)學(xué)思想是解法方法的精髓所在，對于提升學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著極大的幫助. 教學(xué)中建議立足問題解法，反思數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在解題中感悟思想方法，理解方法內(nèi)涵. 同時(shí)可依托考題指導(dǎo)學(xué)生掌握思想方法的使用技巧，如數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)釋形”“數(shù)形對照”，模型思想中的構(gòu)建幾何模型、函數(shù)模型等.