初中數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)建模背后的模型教學(xué)意蘊(yùn)

萬霞

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)建模與核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力之間存在著一些需要厘清的關(guān)系. 數(shù)學(xué)教師有一個(gè)重要的任務(wù)，那就是運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想去認(rèn)識(shí)并把握模型教學(xué)的意蘊(yùn). 數(shù)學(xué)建模的落地與數(shù)學(xué)建模是一個(gè)結(jié)果與過程的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到這種關(guān)系的存在，那么數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有模型教學(xué)的思路. 考慮到數(shù)學(xué)建模過程的復(fù)雜性，模型教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)以數(shù)學(xué)建模要素引領(lǐng)、以學(xué)生體驗(yàn)為主的數(shù)學(xué)建模過程. 模型教學(xué)對(duì)于學(xué)生的意義分為宏觀與微觀兩個(gè)層面：從宏觀層面上來看，模型教學(xué)能夠更加充分地凸顯學(xué)生的主體性;從微觀層面上來看，模型教學(xué)能夠?qū)?shù)學(xué)要素更加完整地體現(xiàn)出來，學(xué)生所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程也就是數(shù)學(xué)思想方法更加充分運(yùn)用以及數(shù)學(xué)思維更加充分激活的過程.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;模型教學(xué)

當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)明確數(shù)學(xué)建模是其組成要素之一后，數(shù)學(xué)教師一般不會(huì)感覺意外，這是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)教學(xué)中，歷來就有重視數(shù)學(xué)建模的傳統(tǒng). 但是將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與核心素養(yǎng)結(jié)合起來看，在認(rèn)識(shí)到后者是前者的上位概念的同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)建模與核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力之間存在著一些需要厘清的關(guān)系. 數(shù)學(xué)教師只有厘清這種關(guān)系，才能把握數(shù)學(xué)建模的精髓，才能認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模背后有一個(gè)重要的意蘊(yùn)，那就是模型教學(xué).

在傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)中，模型教學(xué)是教師普遍采用的一種教學(xué)方法（這在客觀上說明模型教學(xué)其實(shí)是可以作為教學(xué)方式方法存在的），這種方法可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)思維能力. 更有一線的實(shí)踐者總結(jié)出了教師在實(shí)施模型教學(xué)時(shí)應(yīng)注重的幾個(gè)地方，即數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，感悟數(shù)學(xué)模型與實(shí)際的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)要講清模型特點(diǎn)并且讓學(xué)生體會(huì)從多角度思考問題，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)教師在實(shí)施模型教學(xué)時(shí)應(yīng)該抓住數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，不可讓學(xué)生生搬硬套，偏離數(shù)學(xué)本質(zhì). 將這樣的觀點(diǎn)放置在核心素養(yǎng)的視角下，筆者以為數(shù)學(xué)教師有一個(gè)重要的任務(wù)，那就是運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想去認(rèn)識(shí)并把握模型教學(xué)的意蘊(yùn).

數(shù)學(xué)建模的落地依賴模型教學(xué)

所謂數(shù)學(xué)建模，說得通俗一點(diǎn)就是建立數(shù)學(xué)模型. 當(dāng)然在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，還涉及其他一些要素，比如數(shù)學(xué)抽象，且必然涉及一些數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，除此之外，還涉及數(shù)學(xué)語言的理解與運(yùn)用. 因此數(shù)學(xué)建模實(shí)際上是一個(gè)綜合性非常強(qiáng)的過程. 要想將數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中變成實(shí)際，首先依賴的就是模型教學(xué). 如果教師不能給學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)建模要素相對(duì)齊全的學(xué)習(xí)過程，那么學(xué)生自然就無法經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素之一，也就不可能真正落地.

數(shù)學(xué)建模的落地與數(shù)學(xué)建模是一個(gè)結(jié)果與過程的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到這種關(guān)系的存在，那么數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中就應(yīng)當(dāng)有模型教學(xué)的思路. 考慮到數(shù)學(xué)建模過程的復(fù)雜性，模型教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)以數(shù)學(xué)建模要素引領(lǐng)、以學(xué)生體驗(yàn)為主的數(shù)學(xué)建模過程. 與此同時(shí)，教師還要認(rèn)識(shí)到初中數(shù)學(xué)已經(jīng)日益重視培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力，這種能力也可以理解為核心能力. 而基于這些能力培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)建模也可以成為一種很好的學(xué)習(xí)方法. 通過數(shù)學(xué)建模將生活中的案例轉(zhuǎn)變成具體的數(shù)學(xué)問題，然后建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問題，這就可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

應(yīng)當(dāng)說數(shù)學(xué)建模的落地過程，是一個(gè)日積月累的過程，在選擇不同的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型教學(xué)時(shí)，教師可以側(cè)重通過數(shù)學(xué)建模過程中的不同重點(diǎn)來優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)建模過程中的重要環(huán)節(jié). 這樣的一個(gè)過程，本質(zhì)上也是模型教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的過程，而在這個(gè)過程中存在的邏輯關(guān)系客觀上也證實(shí)了數(shù)學(xué)建模的落地必然依賴模型教學(xué).

從數(shù)學(xué)建模思想到模型教學(xué)實(shí)踐

在核心素養(yǎng)的視角下，理解數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位，可以從兩個(gè)層面進(jìn)行：從數(shù)學(xué)思想方法的角度來看，模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的核心理念之一，其作為一種基本思想，與數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)、內(nèi)容密切相關(guān). 因此作為初中數(shù)學(xué)教師，必須準(zhǔn)確把握課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)模型思想的要求，并且落實(shí)到課堂教學(xué)之中. 從教學(xué)方法與策略的角度來看，模型教學(xué)是借助具體的數(shù)學(xué)概念或規(guī)律（從廣義的數(shù)學(xué)建模概念的角度來看，數(shù)學(xué)概念與規(guī)律的教學(xué)，本質(zhì)上也屬于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)）而生成知識(shí)體系的過程，先讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，然后讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言去概括數(shù)學(xué)現(xiàn)象或規(guī)律，進(jìn)而形成一種模型化認(rèn)識(shí)的過程. 有了這兩個(gè)層面的理解，那么在具體的教學(xué)過程中就可以走出一條從數(shù)學(xué)建模思想到模型教學(xué)的實(shí)踐過程.

例如，“一元一次方程”在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，具有重要的基礎(chǔ)性地位. 當(dāng)學(xué)生掌握了一元一次方程的精髓后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其是解決很多生活問題與數(shù)學(xué)問題的基本工具;當(dāng)學(xué)生遇到相關(guān)問題，大腦就會(huì)下意識(shí)地想到一元一次方程，這實(shí)際上就是一種模型化的存在. 因此可以將一元一次方程的教學(xué)，設(shè)計(jì)成一個(gè)模型教學(xué)的過程. 具體來說，應(yīng)當(dāng)有這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：

第一環(huán)節(jié)：借助生活問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象.

比如：甲乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)沿同一路徑出發(fā)，甲的速度是每小時(shí)7千米，乙的速度是每小時(shí)6千米. 如果甲比乙早一個(gè)小時(shí)經(jīng)過某地，那么出發(fā)點(diǎn)距離該地的路程是多少？

這既是一個(gè)生活問題，又是一個(gè)數(shù)學(xué)問題. 部分學(xué)生在解決這個(gè)問題時(shí)，最先想到的是算術(shù)方法，盡管這個(gè)方法比方程來得復(fù)雜，但是教師完全可以讓學(xué)生先用算術(shù)方法解決這個(gè)問題，再與運(yùn)用方程解決問題的過程相比較. 在比較過程中，學(xué)生就容易發(fā)現(xiàn)方程的優(yōu)越性. 而運(yùn)用方程解決問題時(shí)，學(xué)生基于原有的經(jīng)驗(yàn)會(huì)設(shè)所求路程為x千米，然后借助“時(shí)間等于路程除以速度”這樣一個(gè)關(guān)系，得出-=1以求解.

第二環(huán)節(jié)：反思解決問題的過程，認(rèn)識(shí)方程在解決問題過程中的價(jià)值.

反思可以在比較的過程中進(jìn)行，比較的對(duì)象就是算術(shù)方法與方程方法. 通過比較，學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到在類似的問題中，如果設(shè)出一個(gè)未知數(shù)，再借助一個(gè)等量關(guān)系，就可以較順利地解決問題. 而且這種解決問題的方法往往更加“合理”（這是學(xué)生判斷時(shí)的原話）. 學(xué)生的話，反映出他們更加認(rèn)同運(yùn)用方程解決問題這一思路，也反映出他們認(rèn)識(shí)到了方程在解決問題的過程中體現(xiàn)的價(jià)值.

第三環(huán)節(jié)：通過變式訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一元一次方程的模型認(rèn)識(shí).

變式訓(xùn)練主要指對(duì)不同問題的解決，初中學(xué)生依據(jù)自己的判斷比較能力，能夠在解決不同問題的過程中，強(qiáng)化對(duì)一元一次方程的認(rèn)識(shí). 這種認(rèn)識(shí)有可能使得學(xué)生將一元一次方程當(dāng)成解決類似問題的基本工具. 從“實(shí)際問題”到“設(shè)未知數(shù)”，再到“列方程”，也就容易成為一種相對(duì)固定的思路，這種“固定”就是直覺，就是模型化的體現(xiàn).

模型教學(xué)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想落地

在上述例子中，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是比較順暢的. 從問題的提出到問題的解決，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等過程. 數(shù)學(xué)抽象主要體現(xiàn)在實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程中，邏輯推理則主要體現(xiàn)在運(yùn)用未知數(shù)列方程并對(duì)方程進(jìn)行求解的過程中. 尤其是在學(xué)生總結(jié)出解決類似問題的基本模式后，再用數(shù)學(xué)語言描述出這樣的過程，這實(shí)際上就是一個(gè)一元一次方程的模型得以成型的過程. 因此這是一個(gè)數(shù)學(xué)建模要素比較齊全的模型教學(xué).

模型教學(xué)對(duì)學(xué)生的意義分為宏觀與微觀兩個(gè)層面：從宏觀層面上來看，建模教學(xué)能夠更加充分地發(fā)揮學(xué)生的主體性，可以讓學(xué)生走出機(jī)械的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與解題的窠臼，從而更加準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，這奠定了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的基礎(chǔ);從微觀層面上來看，模型教學(xué)能夠?qū)?shù)學(xué)要素更加完整地體現(xiàn)出來，學(xué)生所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程也就是數(shù)學(xué)思想方法更加充分運(yùn)用以及數(shù)學(xué)思維充分激活的過程. 很多容易模糊的認(rèn)識(shí)在這樣的模型教學(xué)中都會(huì)變得更加清晰——這尤其體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用上. 作為數(shù)學(xué)建模的臨門一腳，學(xué)生能否用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來概括自己的發(fā)現(xiàn)，從而讓模型變得準(zhǔn)確、精煉，這是數(shù)學(xué)模型教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要評(píng)價(jià)因素.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué).”數(shù)學(xué)教學(xué)的成功，很大程度上取決于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感知，而這又決定于教師提供給學(xué)生的學(xué)習(xí)過程. 由此來看，初中數(shù)學(xué)教師在把握數(shù)學(xué)建模思想的基礎(chǔ)上，立足模型教學(xué)，可以為核心素養(yǎng)的培育探尋出一條有效的路徑.