聯結歷史與現實,溝通數學與人文*
——以初中“函數的概念”教學為例

上海市新楊中學(200331)李德虎

華東師范大學數學科學學院(200241)余慶純

1 引言

基于數學史的數學文化,是指基于數學史闡釋數學的思想、精神、語言、方法、觀點及其演進過程,還包括數學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展等方面的貢獻與意義;其主要分為知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂與多元文化五個維度[1].研究表明,基于數學史的數學文化課例教學,溝通了歷史與現實、數學與人文兩座橋梁,有效地改善HPM 實踐中“高評價、低運用”的教學困境.

函數概念是數學學科大概念(big ideas)之一,其指向培育數學學科核心素養(yǎng)的關鍵內容知識與思想方法,貫穿初、高中數學課程的學習,是描述客觀世界中變量關系與變化規(guī)律的數學語言與工具.初中“函數的概念”是滬教版數學教科書八年級上冊第18 章第1 節(jié)的內容,主要通過實例學習變量、常量、函數等相關概念,領會函數的意義,初步感知函數的表示方法[2].《上海市中小學數學課程標準》指出: 通過身邊事例與生活實例,具體認識變量以及變量之間的相依關系,展示函數概念的形成過程,體會函數的意義[3].可見,初中“函數的概念”是從常量過渡到變量、初步建構函數概念的啟蒙課,引導學生形成動態(tài)的數學觀,為后續(xù)學習正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等內容以及高中階段不同類型的函數、數列、導數等內容打下認知的基礎.

教材方面,通過對現行的滬教版、人教版、北師大版教科書的比較,發(fā)現三個版本的教科書對“函數概念”的內涵界定、引例內容等方面存在異同(見表1)[2][4-5].首先,不同版本的教科書對于“函數概念”的內涵界定存在差異: 滬教版教科書介紹“變量依賴關系”的函數概念,而人教版、北師大版的教科書則闡述“變量對應關系”的函數概念.其次,在“函數概念”的引例內容上,普遍引用實際生活實例,突出“數學來源于生活,服務于生活”的本質.其中,滬教版的教科書基于問題情境,引出學習長度、面積、體積、質量、溫度、時間、速度等常見的數量;再通過“環(huán)繞地球飛行的同心圓”問題,引入常量、變量的概念;

表1 “函數的概念”在不同版本教科書中的比較

接著以“汽車行駛的路程x(千米)與油箱里剩余的油量y(升)之間的變化關系”引出函數的概念.人教版教科書則通過圓的面積、人口統計圖等實例,解析函數的概念.北師大版教科書通過高度與時間、層數與總數等實例引入函數的概念.

函數是培育數學抽象、邏輯推理、數學建模等數學核心素養(yǎng)的必要抓手.一線教學實踐發(fā)現,三版教科書的引例內容普遍沒有回答清楚學習函數概念的必要性,且依據前期調查,學生對函數概念的理解存在一定的認知困難.

鑒于此,本研究通過梳理“函數概念”相關的數學史,分析其蘊含的數學文化內涵維度并運用于課堂教學中,旨在追尋數學家們的火熱思考,建構歷史與現實、數學與人文兩座橋梁,引導學生突破函數概念學習的認知障礙,加深對函數概念本質的理解,回答清楚函數概念學習的必要性,進一步揭示數學史的教育價值,感悟數學文化之魅.因此,擬定初中“函數的概念”教學目標如下:

(1)通過“滴滴打車”計費、“嫦娥一號”飛行等現實問題,初步理解變量、常量的概念; 基于“石子計數”、“雞兔同籠”、“炮彈軌跡”等數學史料的問題情境,初步感知、抽象出函數的概念;通過回顧函數概念的歷史演變過程,感悟變化過程中兩個變量之間存在的確定關系,理解“變量依賴關系”的函數定義,了解“變量對應關系”的函數定義,培養(yǎng)動態(tài)的數學觀;

(2)通過微視頻、趣味漫畫和交流討論等形式,了解歐拉、狄利克雷等數學家在不同時期的函數定義,感悟函數演變的數學本質,理解“函數”中文譯名的來源,體會在函數概念演變中呈現的多元數學文化,培育批判求實的理性精神.

2 史料運用

在歷史長河中,人類對“函數”的感知由來已久.早在古希臘時期,畢達哥拉斯學派常常借助小石子來計數或演示不同類型的“形數”,建立了一種事物計數的有效方式.曾經在一場古代戰(zhàn)爭中,幾個部隊的士兵不斷地聚集前往戰(zhàn)場,為了解士兵參戰(zhàn)的情況,指揮官要求每位參戰(zhàn)的戰(zhàn)士兵留下一個石子,這樣通過計算石子的數量得到參戰(zhàn)的士兵數量.大約在1500年前,我國古代數學典著《孫子算經》中記載了一個歷史名題“雞兔同籠”: 今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何? 這已經滲透了函數的思想.1615年,天文學家、數學家開普勒(Johannes Kepler,1571-1630年)在婚禮上思考酒桶體積算法時,推導出圓的面積計算公式:.17世紀,近代物理學奠基人伽利略(Galileo Galilei,1564-1642年)在研究“拋物線運動的規(guī)律”時,證實了以任何角度發(fā)射的炮彈,其運動路徑都是拋物線[6].

不同時期、不同地域的數學家在“函數的概念”這一主題上做出了許多的貢獻,推動函數概念不斷演進[7],展現函數概念發(fā)展的知識源流與多元文化.

17世紀,德國數學家萊布尼茲(G.W.Leibniz,1646-1716年)提出函數的“冪”定義.1673年,萊布尼茨在其手稿“反切線或函數方法”中創(chuàng)用“functio(英文function)”一詞,表示具有特殊作用的某個幾何量,如一個圖形中的線段.1694年,他在《博學者雜志》中進一步界定“functio”為曲線相關的幾何變量,并將其與對應點的橫坐標建立關系,由此演變出函數的“冪”定義[7].

18世紀初,瑞士數學家約翰·伯努利(J.Bernoulli Ⅰ,1667-1748年)界定函數的“代數式”定義: 一個變量的函數是由該變量和一些常量,以任何方式組成的量[7].

18世紀中葉至19世紀30年代,教科書普遍采用瑞士數學家歐拉(L.Euler,1707-1783年)給出的“解析式”定義的函數概念: 一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何方式組成的解析式[7].因“解析式”的函數概念更加易于理解,故廣泛受到人們的喜愛.

18世紀40年代后,歐拉進一步更新函數概念的界定,改進為“變量依賴關系”定義,逐漸為人們所接受.1755年,歐拉在《微分基礎》更新了函數的定義: 如果某些量依賴于另一些量,當后面這些量變化時,前面這些變量也隨之變化,則前面的量稱為后面的量的函數[7].

19世紀中葉前,德國數學家狄利克雷(L.Dirichlet,1805-1859年)修正了的函數概念,給出“變量對應關系”定義(1837年),其被公認為經典的“函數現代定義”,簡要表述為: 在某區(qū)間上,對于每一個確定的值x,都有唯一確定的值y與其對應,使得當x在區(qū)間變化時,y也逐漸變化,則稱y是該區(qū)間上x的一個連續(xù)函數.同時,在整個區(qū)間上,y不一定按照同一規(guī)律依賴于x,也不一定考慮用數學運算來表示兩者的關系[7].

20世紀,法國布爾巴基學派提出“集合對應關系”的新定義.綜合對1718-1855年45 本西方數學文獻、21世紀至今國內現行三版初中教科書的梳理與分析[6],有如下重要的發(fā)現.

(1)19世紀中葉前,函數概念的定義基本上以歐拉的“解析式”定義、“變量依賴關系”定義為范本,其主要有兩段變化趨勢: 19世紀30年代前,歐拉的“解析式”函數概念定義獨領群芳; 19世紀40年代后,歐拉改進的“變量依賴關系”的函數定義逐漸受到追捧,呈現后來居上的趨勢[7].

(2)國內現行的三版初中教科書中,滬教版教科書與歐拉的“變量依賴關系”定義相近;人教版、北師大版教科書與狄利克雷的“變量對應關系”定義相似,且沒有強調該函數為“連續(xù)函數”.

在“函數概念”演變歷程中,“函數(function)”一詞的中文譯名蘊含著一段中西方數學家合作交流的奇妙故事,至今在中小學數學教材中仍保留著這一譯名.可見,古今中外數學文化是互融互通的.

我國清代數學家李善蘭與英國傳教士偉烈亞力(A.Wylie,1815-1887年)在翻譯《代數學》(1859年)時指出:“凡式中含天,為天之函數”.他們在合譯《代微積拾級》(1859年)時寫道:“凡此變數中函彼變數,則此為彼之函數”.這兩部著作均將“function”翻譯為“函數”,因“函”與“含”同義,因此“函數”意思是“含有變數的表達式”,這與函數的“解析式”定義相近[7].

3 教學實踐

初中“函數的概念”課例主要圍繞“創(chuàng)設情境—講解新知—交流討論—課堂小結”的主線展開教學.

3.1 創(chuàng)設情境

創(chuàng)設“滴滴打車”計費、“嫦娥一號”飛行等問題情境,引出教學主題,通過分析多個實例,講解常量、變量等新知內容.

師: 同學們,在日常生活中使用過“滴滴打車”軟件嗎?

生: 使用過,外出打車的時候會用到.

師: 假如汽車以一定速度行駛,現以我們學校為出發(fā)地,通過軟件任意輸入上海某一目的地(教師借助希沃投影,展示“滴滴打車”軟件,輸入東方明珠塔、上海虹橋車站、浦東機場等地址),大家仔細觀察,你能發(fā)現什么?

生: 目的地不同,打車的車費也發(fā)生了變化.

師: 很好! 出發(fā)地不變,目的地不同.當汽車速度一定時,隨著出發(fā)地與目的地之間的距離發(fā)生變化,行駛的時間、車費也在發(fā)生變化.此時,在速度、兩地之間的距離、行駛的時間、車費等量中,哪些量不變,哪些量在變化呢?

生: 速度不變,距離、時間、車費都在變化.

師:“嫦娥一號”是我國首顆繞月飛行的人造衛(wèi)星.當“嫦娥一號”奔向月球時,在指定軌道飛行的過程中,這個行程與時間(如200 千米、51000 千米、16 小時、48 小時等)會變化嗎?

生: 不會變化.

師: 在“嫦娥一號”奔月時,從離開地面那一刻起,時間t和嫦娥一號離地球的距離S會變化嗎?

生: 發(fā)生變化.

師: 在研究過程中,保持數值不變的量叫做“常量”,可以取不同數值的量叫做“變量”.

3.2 講解新知

通過“上海市數字教材”平臺,借助“插入”、“流轉筆記”等功能推送函數的相關數學史料,創(chuàng)設數史情境,幫助學生感知函數,逐步抽象函數的概念.

師: 早在古希臘時期,畢達哥拉斯學派就學會用石子進行計算或推演.例如一個石子用數字1 來表示,兩個石子用數字2 來表示,三個石子用數字3 來表示,現在有很多石子,如何表示呢?

生: 用字母n來表示.

師: 這個n是常量還是變量?

生: 變量.

師: 石子的數量與數字之間是否存在確定的關系?

生: 存在確定的關系.

師: 在一場古代戰(zhàn)爭中,幾個部隊的士兵不斷地聚集前往戰(zhàn)場,指揮官想知道有多少士兵參戰(zhàn),于是他要求每位到達的士兵留下一個石子,這樣他就可以通過計算石子的數量,得到參戰(zhàn)士兵的數量.在這個過程中,士兵的數量與石子的數量是否存在確定的關系?

生: 士兵的數量依賴于石子的數量來確定,他們之間存在確定的關系.

師: 很好! 假設石子數量為x個,士兵數量為y名,能否表示出這種確定的依賴關系?

生:y=x.

師: 17世紀,物理學家在研究地球上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度時,發(fā)現了如下規(guī)律: 炮彈距離地面的高度h(單位: 米)隨時間t(單位: 秒)變化的規(guī)律為:在這個運動過程中,常量、變量分別是什么?

師:(幾何畫板演示炮彈運動形成的拋物線,見圖2)時間t的取值范圍是什么?

生: 0 ≤t≤6.

師: 炮彈距離地面的高度h與時間t之間是否存在確定的依賴關系? 如果存在,怎么表示?

圖1

師: 上述問題,都是在一個變化過程中,它們都有哪些共同的特點?

生1: 有兩個變量x與y.

生2: 在x特定范圍內,y隨著x的變化而變化.

生3:y與x之間存在著確定的依賴關系.

師: 很好! 這就是今天要學習的主要內容——函數的概念.在某個變化過程中有兩個變量,設為x和y,如果在變量x的允許取值范圍內,變量y隨著x的變化而變化,它們之間存在確定的依賴關系,那么變量y叫做變量x的函數,x叫做自變量.

3.3 交流討論

播放微視頻,介紹函數概念的演變發(fā)展史(見圖2),闡述萊布尼茨、約翰·伯努利、歐拉、狄利克雷等數學家對函數概念的定義、“函數(function)”中文翻譯的由來,品味數學文化之魅.通過趣味漫畫、小組討論等形式,引發(fā)學生對函數概念本質的思考;同時基于常值函數,引導學生從歐拉的“變量依賴關系”的定義過渡到狄利克雷的“變量對應關系”定義,為高中數學學習做好鋪墊.此過程中,師生借助“數字教材”平臺,通過“流轉筆記”等方式進行實時分享,促進跨組之間的交流討論.

圖2

師: 通過微視頻,你有什么發(fā)現?

生1: 函數概念的演變經歷了漫長曲折的發(fā)展歷程,不同的數學家對函數概念的界定也不一樣.

生2: 原來“函數”是“含有變數的表達式”的意思,是數學家李善蘭與偉烈亞力翻譯時的一種說法.當時,他們采用的是函數的“解析式”定義.

師: 你最喜歡哪位數學家對函數概念的定義? 為什么?

生3: 我最喜歡數學家歐拉的“解析式”函數概念,如y=x等.

生4: 我贊成歐拉“變量依賴關系”的函數定義,因為他提到了兩個變量之間存在的依賴關系,容易理解.

生5: 我印象最深刻的是狄利克雷的“變量對應關系”定義,他指明了兩個變量之間的對應關系.

師: 接下來,通過這幅“函數機器(function machine)”的趣味漫畫(見圖3),你又能發(fā)現什么?(教師借助平板,實時推送學習材料)

圖3

生: 是一個函數,通過輸入一個x值,就能得到唯一確定的y值.

師: 很好! 那么y=0 是不是函數?

生6: 不是函數,沒有兩個變量.

師: 如果把y=0 看作y=0x是不是函數?

生7: 不是函數,兩個變量沒有確定的依賴關系.

生8: 在歐拉的定義下,y=0 不是函數.但在狄利克雷的定義下,y=0 就是函數.

師: 很好! 在不同的定義下,y=0 是否為函數,均有不同的理解.進一步來看,狄利克雷的“變量對應關系”定義比歐拉的“變量依賴關系”函數定義更加完善,比如常值函數y=0、y=1.

3.4 課堂小結

師: 通過本節(jié)課的學習,你有什么收獲?

生1: 我學習到了什么是常量、什么是變量,也學習到了函數的概念,它刻畫了兩個變量之間存在的確定關系.

生2: 函數可以通過解析式法、列表法和圖像法三種方式來表達.

生3: 這節(jié)課,我了解到在生活、數學史發(fā)展中都有函數的影子,數學與我們的生活息息相關.

生4: 通過微視頻、趣味漫畫,我們交流討論了歐拉、狄利克雷等數學家對函數概念做出的重要貢獻,原來函數概念不是一成不變的,還學習到李善蘭與偉烈亞力對“函數(function)”的中文翻譯.

4 學生反饋

在“函數的概念”課例教學前、后,對學生的學習情況進行問卷調查與深度訪談.

4.1 教學前

通過問卷前測與訪談,了解到大部分學生對函數概念的了解停留在“解析式”定義上,初步認識到“函數是刻畫某個變化過程中兩個變量之間的關系”,且對函數概念演變的數學文化知之甚少.

4.2 教學后

通過本節(jié)課的學習,幾乎全部學生能理解且辨析常量、變量的概念異同.

許多學生對不同數學家界定的“函數概念”有不同的喜好與理解:大部分學生喜歡函數的“變量依賴關系”定義,認為其能夠較好地刻畫出兩個變量之間的變化情況;僅有7.9%的學生支持函數的“變量對應說”,理解常值函數中的變量關系,認為“變量對應關系”的函數定義更加完善、全面.

超過一半的學生表示印象最深的是“函數概念的發(fā)展史”的微視頻、對不同數學家函數概念界定的交流討論.

許多學生表示“會通過列舉生活例子、數學史例子來講述兩個變量之間的關系,數學與生活息息相關”、“會講述函數概念的演變歷史與數學家界定函數概念的故事”,還有學生談到“函數”名稱的來源,發(fā)現古今、中外的數學是相互聯系的,表示“原來數學是生動有趣的”.

可見,通過課例教學,學生不僅突破函數學習的認知障礙,加深對函數概念本質的理解,而且對函數的知識源流、社會角色等有更加深刻的認識,對函數發(fā)展的多元文化更加感興趣.這有效地回答了學習函數概念的必要性,為培育學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等數學核心素養(yǎng)做好鋪墊.

5 結語

實踐表明,“函數的概念”課例教學展現數學文化內涵,體現數學史的重要教育價值,彰顯信息技術輔助課例教學與評價的有效性、便捷性.

5.1 扎根數史素材,展現數學文化

初中“函數的概念”課例教學扎根數史素材,展現知識源流、社會角色、審美娛樂、多元文化等維度的數學文化內涵,具體如下:

(1)知識源流.借鑒數學史例,展現早期人類對函數的初步感知,幫助辨析常量與變量; 通過歷史時間軸,展現函數概念從“冪”定義——“代數式”定義——歐拉的“解析式”定義——歐拉的“變量依賴關系”定義——狄利克雷的“變量對應關系”定義的不斷演變,同時介紹我國清代數學家李善蘭與英國傳教士偉烈亞力對“函數(function)”中文翻譯的緣由,追本溯源,展現函數概念發(fā)展的知識源流.

(2)社會角色.創(chuàng)設“石子計數”、“雞兔同籠”和“炮彈軌跡”等歷史情境,共同探尋函數的概念及其刻畫的變量關系,引導學生感悟“數學來源于生活,應用于生活”的社會角色.

(3)審美娛樂.函數的概念凝結著數學家的智慧結晶,其通過“解析式法”、“圖象法”、“列表法”三種方式來表達函數,展現數學的簡潔美、統一美;以趣味漫畫版“函數機器”來幫助學生理解函數概念,提升數學學習興趣.

(4)多元文化.不同時空的數學家在“函數的概念”這一主題上做出各自獨特的貢獻,通過古今對照,中外比較,展現了函數概念演進過程中的豐富人文活動,揭示多元數學文化的相互交融.

5.2 交匯兩座橋梁,滲透教育價值

本節(jié)課溝通了歷史與現實、數學與人文兩座橋梁,體現了數學史知識之諧、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效的重要價值.

(1)知識之諧.本節(jié)課基于學生的基本學情,有效地將函數概念的數史文化融入教學中,引導學生以批評性思維來交流討論,了解歐拉、狄利克雷等數學家在不同時期的函數定義,厘清函數概念不斷演進、完善的數學本質,理解函數是刻畫變化過程中兩個變量之間的確定關系,體現知識之諧.

(2)探究之樂.借助數史情境,引導學生以“概念建構者”的身份,經歷不同時代人們對函數的感知與建構的過程,逐漸抽象出函數的概念;接著通過微視頻,了解函數概念發(fā)展過程中的代表性經典定義,交流討論函數概念的本質異同,且通過辨析常值函數,體會“變量對應關系”的函數定義是“變量依賴關系”定義的又一次“質的飛躍”.

(3)能力之助.通過生活情境、歷史情況,鍛煉學生發(fā)現問題、分析問題的能力,學會運用函數的眼光來觀察、用函數的思維來思考、用函數的語言來表達,為后續(xù)培育學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等數學學科核心素養(yǎng)做好鋪墊.

(4)文化之魅.本節(jié)課追尋數學家們的火熱思考,展現函數概念建構過程中的數學本質,如歐拉對函數概念的兩次修正、李善蘭與偉烈亞力對“函數”一詞的合作翻譯,還原函數概念演進過程中的人文情懷,彰顯出數學的文化價值.

(5)德育之效.以“滴滴打車”計費、“嫦娥一號”飛行等生活情境、“雞兔同籠”、“石子計數”等歷史情境,感悟我國科技的蓬勃進步、古人智慧的傳承發(fā)展.其次,函數概念演變史彰顯了數學“以文化人”的教育價值,有效地引導學生“穿越時空,與數學家對話”,幫助學生親近數學、探究數學、理解數學,了解不同時空下數學家的獨特貢獻,形成動態(tài)的數學觀.回顧李善蘭對“函數(function)”中文翻譯的貢獻,增強文化自信.

5.3 融入信息技術,助力教學評價

本節(jié)課借助上海市教研室研發(fā)的“數字教材”平臺,將相關史料插入“數字教材”,借助“插入”、“云筆記”等功能輔助教學,有利于推送每節(jié)課相關知識的數學史料、微視頻等學習資料,幫助學生了解函數概念的相關歷史,理解函數概念的演變動因.同時,借助“反饋練習”、“流轉筆記”等功能,在課前、課后及時測評,在課中保障師生交流互動、實時共享.可見,融入信息技術的數學文化課例教學,大大推動了數學“教—學—評”的系統化,助力數學學科“立德樹人”的教育實證.