核心素養(yǎng)觀下的解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)
——以設(shè)點與設(shè)線問題研究為例

浙江金華第一中學(xué)(321015)金建軍 方家鴻

自2017 屆高考數(shù)學(xué)文理合科以來,努力提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已成為我們每位教師應(yīng)盡的任務(wù),幫助學(xué)生能學(xué),會學(xué),樂學(xué)數(shù)學(xué),以期提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運算能力、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)設(shè)計問題,加強變式,重視“加強學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo),體會數(shù)學(xué)的研究方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的研究思路,使學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會用數(shù)學(xué)思維思考世界,會用數(shù)學(xué)語言表達世界”.在解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)有關(guān)問題時,我們經(jīng)常會遇到研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,根據(jù)題目的所給條件設(shè)出點的坐標(biāo)或者直線斜率來尋找切入點.研究發(fā)現(xiàn),有些問題可以設(shè)點坐標(biāo)(x,y)解決,有些可以設(shè)直線斜率k解決,有的既可以設(shè)點又可以設(shè)線解決.遇到這樣的情況,該如何進行選擇? 高考試題凝聚了命題者的智慧,體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的靈魂,下面我們從2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試題第21 題為例進行研究分析,以期探尋解決方法,提高運算核心素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

如圖,已知點F(1,0)為拋物線y2=2px(p ＞0)焦點,過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在拋物線上,使得ΔABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點Q(點Q在點F點右側(cè)).記ΔAFG,ΔCQG的面積分別為S1,S2.

(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程;

(2019年浙江省高考數(shù)學(xué)第21 題)

2 問題解析

對于第一問,

關(guān)鍵在于第二問(ⅠⅠ),如何進行分析解決?題的本質(zhì),內(nèi)化知識,有利于知識的遷移,提升思維品質(zhì)[2].因此,在教學(xué)中,要精選例題,典型例題可以源于課本,也可以來源于歷年真題,通過對例題深層次的剖析,注重一題多解,引導(dǎo)學(xué)生變式探究,多題一解,多解歸一,找到此類問題的通性通法,從而達到“解一題,會一類,通一片”的效果[3],實現(xiàn)從解題之“術(shù)”走向解題之“道”的飛躍,提升學(xué)生的核心素養(yǎng)與解題能力.

方法一常規(guī)思考,設(shè)線解決.

主要步驟為方程聯(lián)立,韋達定理,判別式或等價判別式(題設(shè)可得的不等式),運用弦長公式(或焦半徑公式),面積公式(或進行面積割補),利用已知條件幾何關(guān)系(如對稱,兩直線平行垂直等)轉(zhuǎn)化翻譯為進行復(fù)雜的代數(shù)式運算.

評析設(shè)線解決可一下解決直接關(guān)系的兩點坐標(biāo)關(guān)系,對于直線和橢圓和雙曲線位置關(guān)系常選用設(shè)線解決.

方法二相關(guān)點法,設(shè)點解決.

主要步驟為以單個動點(或未知點,也可能雙動點為參)的坐標(biāo)為參量,由已知條件發(fā)現(xiàn)點的特殊位置也即相關(guān)點(如中點,重心,對稱,旋轉(zhuǎn)等)進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化代入,利用已知條件幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化翻譯為進行復(fù)雜的參數(shù)代數(shù)式運算.

評析設(shè)點解決可解決相關(guān)點的兩點坐標(biāo)關(guān)系,對于直線和拋物線位置關(guān)系有時選用設(shè)點解決,會遇到多個點時表示較繁瑣.

方法三點線結(jié)合,并駕齊驅(qū).

在解決圓錐曲線相關(guān)問題時,不要一味追求設(shè)點或設(shè)線斜率解決問題,而是要仔細(xì)審題,分析題中所給的條件關(guān)系點線結(jié)合,并駕齊驅(qū).

評析對于圓錐曲線,一般情況給了點的相關(guān)關(guān)系就設(shè)點,給了線的直接關(guān)系就設(shè)線.線的關(guān)系主要是過定點或者斜率,有的是縱截距與斜率的關(guān)系.若牽涉到的幾何關(guān)系比較少,而且只有兩個未知點,就設(shè)線.若題中有三個未知點,其中兩個之間有比較簡單的關(guān)系,比如有的題目會說兩個點中心對稱,這個時候就設(shè)線,當(dāng)然設(shè)點也可以做,但是如果關(guān)系比較復(fù)雜,還是設(shè)點比較好.

回顧歷年各省市考題,不難用設(shè)點或設(shè)線解決解析幾何問題,關(guān)鍵在于如何合理設(shè)點、設(shè)線,這將直接決定后續(xù)的思路與運算量.

4 教學(xué)啟示

4.1 注重本質(zhì),落實課標(biāo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“平面解析幾何的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中,認(rèn)識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征,建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程;運用代數(shù)方法進一步認(rèn)識圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系,運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題,感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想.”這里“用代數(shù)方法來研究幾何問題”通過坐標(biāo)與方程將形化為數(shù).教師在教學(xué)中要樹立坐標(biāo)思想,強化形數(shù)結(jié)合,合理設(shè)點或設(shè)線,幾何問題代數(shù)化,從而優(yōu)化解題過程.

4.2 注重算理,培育素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)運算“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能進一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.”教師在解析幾何教學(xué)中,既要對問題“解”與“析”,更要注重“算理”,理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,求得運算結(jié)果,使數(shù)學(xué)課堂成為運算素養(yǎng)培育的主陣地.

4.3 一題多解,深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是一種回歸學(xué)生本性的整合式學(xué)習(xí)方式,是在人的大腦中形成新的網(wǎng)絡(luò)知識結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí).教師在解析幾何習(xí)題教學(xué)中應(yīng)該幫助學(xué)生掌握真實情境下解決復(fù)雜問題的能力: 主動理解與批判接受、激活經(jīng)驗與建構(gòu)新知、知識整合與深層加工、把握本質(zhì)與滲透思想、有效遷移與問題解決,最終體現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)本源性、整體性、聯(lián)系性和建構(gòu)性的特點.讓一題多解、一題多變等變式、發(fā)散、拓展成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種思維習(xí)慣,有效地運用幾何直觀解決問題.教師要引在重點上、導(dǎo)在關(guān)鍵處、扶在需要時,并適當(dāng)?shù)剡M行拓展和延伸,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),提高課堂教學(xué)的實效.