基于反步滑模法的四旋翼飛行器的軌跡跟蹤

管錫敏,張 會(huì),吳昭景

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 山東 煙臺(tái) 264005)

隨著飛行器行業(yè)的快速發(fā)展及其應(yīng)用范圍的逐漸擴(kuò)大, 不同領(lǐng)域均引進(jìn)了不同類型的旋翼機(jī), 其中應(yīng)用最廣泛的是四旋翼飛行器。四旋翼飛行器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、垂直起降、穩(wěn)定性高等特點(diǎn), 被廣泛地運(yùn)用到軍事偵察、作戰(zhàn)以及商業(yè)科研等領(lǐng)域[1]。由于四旋翼飛行器具有欠驅(qū)動(dòng)、非線性和強(qiáng)耦合性等動(dòng)力學(xué)特性, 使得四旋翼飛行器比其他飛行器更難控制, 且四旋翼在飛行過(guò)程中會(huì)受到系統(tǒng)不確定性, 未知干擾等諸多問(wèn)題的影響, 這啟發(fā)我們對(duì)四旋翼的軌跡跟蹤控制策略展開(kāi)研究。

在實(shí)際工程的應(yīng)用中, 四旋翼飛行器早期的研究大部分集中在線性控制上。例如文獻(xiàn)[2-3]設(shè)計(jì)比例-微分(PD)控制器來(lái)鎮(zhèn)定四旋翼姿態(tài)。文獻(xiàn)[4-8]提出了比例-積分-微分(PID)和線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)控制方法, 其中PID控制器運(yùn)行簡(jiǎn)單且穩(wěn)定性較高, LQR控制是一種成熟的最優(yōu)控制方法, 但是該方法設(shè)計(jì)的控制器對(duì)外界干擾的魯棒性、跟蹤精度等性能較差。隨著控制技術(shù)的發(fā)展, 越來(lái)越多的非線性控制方案得到開(kāi)發(fā)與應(yīng)用。例如XIONG等[9]提出將四旋翼模型分為全驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)和欠驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng), 通過(guò)利用平移和旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)的級(jí)聯(lián)特性來(lái)鎮(zhèn)定四旋翼系統(tǒng)。MADANI等[10]提出了一種反步控制法來(lái)鎮(zhèn)定四旋翼飛行器。文獻(xiàn)[11]討論了四旋翼非線性控制器的反步控制法, 利用該方法, 導(dǎo)出了一個(gè)具有外部運(yùn)動(dòng)學(xué)位置控制回路和內(nèi)部力學(xué)姿態(tài)控制回路的直觀結(jié)構(gòu)控制器。

滑模控制是一種特殊的非線性控制, 具有響應(yīng)速度快和強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[12]將系統(tǒng)分為全驅(qū)子系統(tǒng)和欠驅(qū)子系統(tǒng), 針對(duì)欠驅(qū)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)了滑?？刂破? 將該控制器與全驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)控制器結(jié)合使四旋翼飛行器達(dá)到一個(gè)期望的位置和偏航角, 同時(shí)保持俯仰和滾轉(zhuǎn)角度為零。文獻(xiàn)[13-14]提出了一種滑?？刂品椒▉?lái)鎮(zhèn)定欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng), 設(shè)計(jì)的控制器對(duì)模型的不確定性有著較強(qiáng)的魯棒性, 且使閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定。文獻(xiàn)[15]在考慮外界干擾的情況下, 采用滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)姿態(tài)子系統(tǒng)控制器, 使得姿態(tài)子系統(tǒng)以指數(shù)收斂速率快速跟蹤到參考輸入信號(hào)及中間指令信號(hào)。BOUABDALLAH等[16]設(shè)計(jì)了反步滑模控制器來(lái)鎮(zhèn)定四旋翼飛行器的姿態(tài)子系統(tǒng)。

本文針對(duì)四旋翼飛行器的軌跡跟蹤控制問(wèn)題, 將整個(gè)控制系統(tǒng)劃分為姿態(tài)子系統(tǒng)和位置子系統(tǒng), 并進(jìn)行了分層控制。受到文獻(xiàn)[17-18]的啟發(fā), 設(shè)計(jì)以反步滑模法為基礎(chǔ)的跟蹤控制。本文結(jié)構(gòu)內(nèi)容如下: 第1節(jié)根據(jù)經(jīng)典的6-DOF四旋翼飛行器模型, 建立受干擾的動(dòng)力學(xué)方程, 并提出控制目標(biāo)。 第2節(jié)根據(jù)系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)方程, 對(duì)姿態(tài)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)了反步滑?？刂撇呗? 對(duì)位置子系統(tǒng)設(shè)計(jì)了反步控制策略。第3節(jié)基于控制器的設(shè)計(jì), 對(duì)閉環(huán)誤差系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。第4節(jié)通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文中提出控制器的有效性。最后, 第5節(jié)給出結(jié)論。

符號(hào)說(shuō)明:對(duì)于向量x∈n,xT表示為向量x的轉(zhuǎn)置;|x|表示x的歐幾里得范數(shù);m×n為m×n實(shí)矩陣空間;+表示非負(fù)實(shí)數(shù)集合;In×n表示n×n單位矩陣;sign(·)為符號(hào)函數(shù);E(·)是數(shù)學(xué)期望;λmin(·)為矩陣的最小特征值;K∞類函數(shù)表示+→+的連續(xù)函數(shù), 是嚴(yán)格遞增且K(0)=0, K(∞)=∞;Ci表示具有i階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)集。

1 問(wèn)題提出與準(zhǔn)備知識(shí)

1.1 問(wèn)題提出

建立動(dòng)力學(xué)模型(圖1)是對(duì)四旋翼飛行器進(jìn)行飛行控制的基礎(chǔ)。 由于四旋翼飛行器可能會(huì)受到機(jī)體形變、氣流間相互干擾及彈性振動(dòng)等因素的影響, 這導(dǎo)致想要建立完整的動(dòng)力學(xué)模型是很困難的, 且對(duì)應(yīng)的控制也難以實(shí)現(xiàn)。 所以, 為了便于推導(dǎo), 本文給出如下假設(shè):

假設(shè)1 四旋翼飛行器為均勻?qū)ΨQ的剛體;四旋翼飛行器的重力和所受阻力不受飛行速度和高度等因素影響;由四個(gè)轉(zhuǎn)子分別產(chǎn)生的升力和扭轉(zhuǎn)力矩與轉(zhuǎn)速的平方成正比。

圖1 四旋翼飛行器模型

如圖1, 首先建立慣性坐標(biāo)系(Og-XgYgZg)和機(jī)體坐標(biāo)系(Ob-XbYbZb)。ξ=[x,y,z]T表示慣性坐標(biāo)系下的四旋翼位置,η=[φ,θ,ψ]T表示四旋翼的姿態(tài)歐拉角, 其中φ,θ和ψ代表四旋翼飛行器的翻滾角、俯仰角和偏航角。V=[u,v,w]T表示慣性坐標(biāo)系下的線速度,Ψ=[p,q,r]T表示機(jī)體坐標(biāo)系下的角速度。Rgb是慣性坐標(biāo)系到機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣, 表達(dá)式為

(1)

其中,s*和c*分別為sin(*)和cos(*)。T(η)是歐拉角矩陣, 表達(dá)式為

(2)

根據(jù)牛頓動(dòng)力學(xué)分析[19], 四旋翼飛行器在慣性坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)模型為

(3)

考慮四旋翼飛行器受到隨機(jī)擾動(dòng)d=[dξ,dη]T∈6的影響,其中dξ=[dx,dy,dz]T∈3是位置擾動(dòng)加速度,dη=[dφ,dθ,dψ]T∈3是姿態(tài)擾動(dòng)加速度。結(jié)合經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)模型(3), 可以獲得受隨機(jī)擾動(dòng)的四旋翼動(dòng)力學(xué)模型為

(4)

為了使得隨機(jī)擾動(dòng)在物理上更容易實(shí)現(xiàn),將隨機(jī)擾動(dòng)加速度dx,dy,dz,dφ,dθ,dψ作為有色噪聲。

定義四旋翼飛行器(4)有四個(gè)控制輸入量, 分別為升力控制量U1、翻滾角控制量U2、俯仰角控制量U3和偏航角控制量U4。根據(jù)模型(4), 得到慣性坐標(biāo)系下帶有隨機(jī)擾動(dòng)的四旋翼方程為

(5)

由于四旋翼系統(tǒng)是欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng), 要設(shè)計(jì)四個(gè)控制, 使六個(gè)狀態(tài)跟蹤到六個(gè)期望的位姿很難實(shí)現(xiàn)。為了實(shí)現(xiàn)全狀態(tài)軌跡跟蹤, 我們通過(guò)將四旋翼系統(tǒng)改寫(xiě)為全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng), 設(shè)計(jì)全驅(qū)控制使全狀態(tài)位姿跟蹤到全狀態(tài)期望軌跡。

下面, 引入兩個(gè)虛擬控制輸入ux和uy為

(6)

根據(jù)式(6)反解出兩個(gè)期望的翻滾角和俯仰角為

(7)

由式(6), 將受隨機(jī)擾動(dòng)的四旋翼飛行器(5)化簡(jiǎn)為

(8)

其中,U1,U2,U3,U4是四個(gè)實(shí)際控制,ux和uy是兩個(gè)虛擬控制,[x,y,z,φ,θ,ψ]是四旋翼的六個(gè)位姿。

本文的主要目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制器[ux,uy,U1,U2,U3,U4],使得四旋翼系統(tǒng)的全狀態(tài)[x,y,z,φ,θ,ψ]盡可能地跟蹤到期望軌跡[x*,y*,z*,φd,θd,ψ*],其中,φd,θd是表達(dá)式(7)給出的兩個(gè)期望的姿態(tài)(不是任給的參考軌跡), [x*,y*,z*,ψ*]是四個(gè)期望的位姿(可自由選擇的參考軌跡), 并且x*,y*滿足四階連續(xù)可導(dǎo),z*,ψ*滿足二階連續(xù)可導(dǎo)。

1.2準(zhǔn)備知識(shí)

本文中四旋翼系統(tǒng)(4)的隨機(jī)擾動(dòng)dx,dy,dz,dφ,dθ,dψ是有色噪聲, 這里用二階矩平穩(wěn)過(guò)程來(lái)刻畫(huà)。 為了便于在物理系統(tǒng)上可實(shí)現(xiàn), 要求有色噪聲的二階矩必須具有有界性, 所以, 給出以下假設(shè)條件。

假設(shè)2 隨機(jī)過(guò)程d(t)∈r是Ft自適應(yīng)且分段連續(xù)的, 存在常數(shù)D>0, 滿足

(9)

(10)

則系統(tǒng)存在全局唯一解, 且系統(tǒng)是m次矩噪聲-狀態(tài)穩(wěn)定(NSS-m-M)。

引理2[22-23](Bellman-Gronwall引理) 若函數(shù)y(t)在t>t0上是絕對(duì)連續(xù)并且滿足

這里k(t)和h(t)在每個(gè)有限區(qū)間是幾乎處處連續(xù)的可積函數(shù), 則對(duì)所有的t>t0, 有

引理3[24](Young不等式) 對(duì)任意的兩個(gè)向量x,y∈n, 有

2 控制器設(shè)計(jì)

上一節(jié)將系統(tǒng)分為姿態(tài)子系統(tǒng)(內(nèi)環(huán)系統(tǒng))和位置子系統(tǒng)(外環(huán)系統(tǒng))。本節(jié)分別對(duì)不同子系統(tǒng)提出控制策略。對(duì)于姿態(tài)子系統(tǒng)提出反步滑?？刂撇呗? 確保系統(tǒng)的姿態(tài)信號(hào)η=[φ,θ,ψ]T跟蹤到期望的姿態(tài)η*=[φd,θd,ψ*]T。針對(duì)位置子系統(tǒng), 提出反步控制策略, 使得位置信號(hào)ξ=[x,y,z]T跟蹤到給定的參考位置ξ*=[x*,y*,z*]T。

2.1 姿態(tài)子系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)模型(4), 得到受擾動(dòng)的姿態(tài)子系統(tǒng)為

(11)

針對(duì)式(11), 設(shè)計(jì)控制器MB=[U2,U3,U4]T, 使姿態(tài)角η=[φ,θ,ψ]T跟蹤到期望的姿態(tài)角η*=[φd,θd,ψ*]T。

首先, 定義姿態(tài)角跟蹤誤差

eη=η*-η,

(12)

其中,eη=[eφ,eθ,eψ]T∈3,η*是η的期望姿態(tài)。 對(duì)式(12)求導(dǎo)

(13)

選取Lyapunov函數(shù)

(14)

對(duì)式(14)求導(dǎo), 然后將式(13)代入, 得到

(15)

其中,A1∈3×3是待設(shè)計(jì)的正定對(duì)角矩陣。 由式(15)選取滑模面

(16)

對(duì)式(16)求導(dǎo)

(17)

選取Lyapunov函數(shù)

(18)

對(duì)式(18)求導(dǎo)

(19)

將式(11),(16),(17)代入式(19), 整理得

(20)

根據(jù)Young不等式, 有

(21)

其中,c1>0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。 將式(21)代入式(20)得

(22)

最后, 選取姿態(tài)控制扭矩

(23)

其中,ε1>0是待設(shè)計(jì)參數(shù),K1∈3×3是待設(shè)計(jì)的正定對(duì)角矩陣。 將式(23)代入式(22)中, 因此

-2min{λmin(A1),λmin(K1)+ε1}V2(t)+

(24)

2.2 位置子系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

由式(5)可知, 位置子系統(tǒng)是欠驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng), 只存在一個(gè)控制輸入和三個(gè)狀態(tài)。所以, 通過(guò)引入虛擬控制(6), 將位置子系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為全驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)。下面, 將位置子系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為高度子系統(tǒng)和水平子系統(tǒng)。首先, 對(duì)于高度子系統(tǒng), 利用反步控制方法設(shè)計(jì)控制器U1, 使得z跟蹤到z*。然后, 針對(duì)水平子系統(tǒng), 設(shè)計(jì)反步控制器ux,uy, 使得x,y分別跟蹤到給定的信號(hào)x*,y*。

2.2.1 高度子系統(tǒng)的反步控制器設(shè)計(jì) 根據(jù)方程(8), 得到受擾動(dòng)的高度子系統(tǒng)

(25)

為了實(shí)現(xiàn)高度子系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制, 下面設(shè)計(jì)控制器U1, 使?fàn)顟B(tài)z跟蹤到z*。

首先, 引入高度跟蹤誤差

ez1=z*-z,

(26)

其中,z*是z的期望高度, 對(duì)式(26)求導(dǎo)

(27)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(28)

對(duì)式(28)求導(dǎo), 然后將式(27)代入, 得到

(29)

其中,rz1>0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。 由式(29)構(gòu)造一個(gè)新的誤差

(30)

對(duì)式(30)求導(dǎo)

(31)

選取Lyapunov函數(shù)

(32)

對(duì)式(32)求導(dǎo), 然后將式(25),(30),(31)代入, 整理得

(33)

根據(jù)Young不等式, 有

(34)

其中,c2>0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。 將式(34)代入式(33)得

(35)

選取高度子系統(tǒng)的控制律

(36)

其中,rz2>0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。 將式(36)代入式(35), 因此

(37)

2.2.2 水平子系統(tǒng)的反步控制器設(shè)計(jì) 根據(jù)方程(8), 得到受擾動(dòng)的水平子系統(tǒng)

(38)

(39)

為了使得x,y分別跟蹤到給定的信號(hào)x*,y*, 下面設(shè)計(jì)虛擬控制ux,uy。

首先, 定義軌跡跟蹤誤差

ex1=x*-x。

(40)

對(duì)式(40)求導(dǎo)

(41)

選取Lyapunov函數(shù)

(42)

對(duì)式(42)求導(dǎo), 然后將式(41)代入, 得到

(43)

其中,rx1>0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。 由式(43)引入一個(gè)新的誤差

(44)

對(duì)式(44)求導(dǎo)

(45)

選取Lyapunov函數(shù)

(46)

對(duì)式(46)求導(dǎo), 并將式(38),(44),(45)代入, 然后根據(jù)Young不等式, 整理得到

(47)

其中,c3>0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。由前面的討論可知,U1在高度子系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)中已經(jīng)給出具體表達(dá)式, 因此選取虛擬控制律

(48)

其中,rx2>0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。 將式(48)代入式(47), 整理得

(49)

同理, 對(duì)于y子系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制, 定義跟蹤誤差

ey1=y*-y。

(50)

對(duì)式(50)求導(dǎo)

(51)

選取Lyapunov函數(shù)

(52)

對(duì)式(52)求導(dǎo), 然后將式(51)代入, 整理得

(53)

其中,ry1>0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。 由式(53)引入一個(gè)新的誤差變量

(54)

對(duì)式(54)求導(dǎo)

(55)

選取Lyapunov函數(shù)

(56)

對(duì)式(56)求導(dǎo), 然后將式(39),(54),(55)代入, 并根據(jù)Young不等式, 整理得

(57)

其中,c4>0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。 由式(57)設(shè)計(jì)虛擬控制律

(58)

其中,ry2>0是待設(shè)計(jì)的參數(shù)。 將式(58)代入式(57)得

(59)

3 閉環(huán)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

定理1 考慮受隨機(jī)干擾的四旋翼系統(tǒng)(8), 誤差系統(tǒng)(13),(17),(27),(31),(41),(45),(51),(55)和控制律(23),(36),(48),(58)組成的閉環(huán)誤差系統(tǒng), 使得

(1)閉環(huán)誤差系統(tǒng)是NSS-m-M的。

(2)跟蹤誤差eη=η*-η,ez1=z*-z,ex1=

x*-x,ey1=y*-y可調(diào)節(jié)到零的任意小鄰域內(nèi)。

證明針對(duì)閉環(huán)誤差系統(tǒng), 選取Lyapunov函數(shù)

V(t)=V2(t)+V4(t)+V6(t)+V8(t),

(60)

-2min{λmin(A1),λmin(K1)+ε1}V2(t)-

2min{rz1,rz2}V4(t)-2min{rx1,rx2}V6(t)-

(61)

根據(jù)引理2, 可得

(62)

結(jié)合式(60),(62)和假設(shè)2, 跟蹤誤差滿足不等式

(63)

4 仿真分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性, 需要對(duì)具有隨機(jī)擾動(dòng)的四旋翼系統(tǒng)(4)進(jìn)行仿真。首先, 給定參考位置和參考偏航角x*=2cos(t)+0.1t+2,y*=2sin(t)+1,z*=0.4t+4,ψ*=sin(0.5t);選取初始位姿[x0,y0,z0,φ0,θ0,ψ0]=[2, 2, 0, 1, 1, 1];系統(tǒng)的參數(shù)m=1,g=9.8,J=diag[0.01, 0.08, 0.07];然后對(duì)姿態(tài)子系統(tǒng), 選取控制器參數(shù)ε1=0.05,c1=10,A1=diag[0.5, 0.4, 0.7],K1=diag[0.3, 0.3, 0.3];對(duì)于位置子系統(tǒng), 選取控制器參數(shù)rx1=ry1=3,rx2=ry2=4,rz1=1,rz2=2,c2=0.01,c3=6,c4=10;最后, 隨機(jī)擾動(dòng)[25]di(t)滿足

(64)

其中pi>0是一個(gè)常數(shù),w(t)∈為零均值白噪聲, 且其中Bi>0為噪聲功率,tc為采樣時(shí)間。選取Bi=0.1,pi=2(i=1, 2, 3, 4, 5, 6),tc=0.08。

利用Simulink進(jìn)行仿真, 得到4個(gè)仿真圖。圖2表明了實(shí)際軌跡[x,y,z,φ,θ,ψ]可以很好地跟蹤到參考軌跡[x*,y*,z*,φd,θd,ψ*]。圖3表明系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差趨于零的任意小鄰域內(nèi)。此外, 控制輸入U(xiǎn)1,U2,U3,U4的變化如圖4所示。為了更直觀地了解控制方案的優(yōu)越性, 三維空間的實(shí)際軌跡跟蹤如圖5所示。綜上所述，圖2—圖5表明了本文所提出控制策略的有效性。

圖 2 軌跡跟蹤

圖3 軌跡跟蹤誤差

圖4 控制輸入

圖5 三維位置的軌跡跟蹤

5 結(jié) 論

本文研究了四旋翼飛行器的軌跡跟蹤控制問(wèn)題。 基于動(dòng)力學(xué)模型的相關(guān)知識(shí)建立帶有擾動(dòng)的四旋翼飛行器方程。 然后將系統(tǒng)分為姿態(tài)子系統(tǒng)和位置子系統(tǒng), 并對(duì)不同的子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)控制器, 保證所有的閉環(huán)誤差系統(tǒng)都是NSS-m-M。 最后, 通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出控制策略的有效性。