二元差分域上一階差分方程的多項(xiàng)式解*

關(guān)新雨，侯慶虎

（天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300350）

0 引 言

1 差分方程σ(f)±f=g的多項(xiàng)式解

1.1 σ(f)±f=g的多項(xiàng)式解存在的性質(zhì)

1.2 σ(f)±f=g的多項(xiàng)式解的次數(shù)

2 差分方程aσ(f)+bf=g(deg a＞0，deg b＞0）的多項(xiàng)式解

2.1 差分方程多項(xiàng)式解存在

2.2 差分方程多項(xiàng)式解不存在

定理3和定理4只給出了aσ()f+bf=g存在多項(xiàng)式解時(shí)的性質(zhì)，差分域（F(α，β)，σ）上并不是所有的差分方程aσ()f+bf=g都存在多項(xiàng)式解，下面例4就是多項(xiàng)式解不存在的一個(gè)簡(jiǎn)單例子.

例4差分方程σ(f)+f=α2的多項(xiàng)式解不存在，具體如下：

a=1，b=1，由定理2，若此差分方程存在多項(xiàng)式解，那么一定存在次數(shù)為2的多項(xiàng)式解.因方程右邊為二次齊次多項(xiàng)式，故f應(yīng)該是二次齊次的，設(shè)f=c1α2+c2β2+c3αβ，待定系數(shù)法求多項(xiàng)式f的各項(xiàng)系數(shù)c1、c2、c3，即

此方程組無解，差分方程多項(xiàng)式解不存在.

同樣地，βσ(f)+ αf=α2，(α+β)σ(f)+βf=α2也不存在多項(xiàng)式解 .表明，差分域（F(α，β)，σ）上差分方程aσ()f+bf=g存在多項(xiàng)式解的條件仍需進(jìn)一步研究.在用待定系數(shù)法求解多項(xiàng)式解各項(xiàng)未知系數(shù)時(shí)，可用矩陣方程理論中系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩這一充要條件判斷多項(xiàng)式解是否存在.

3 應(yīng)用及符號(hào)求和

利用這類差分方程的多項(xiàng)式解和伸縮法，計(jì)算斐波那契序列與Apéry數(shù)的不定和，重點(diǎn)計(jì)算了斐波那契數(shù)列的求和.本節(jié)采用的方法需要選取恰當(dāng)?shù)腶、b，求得對(duì)應(yīng)差分方程aσ(f)+bf=g的多項(xiàng)式解，得到關(guān)于Fk、Fk+1或Ak、Ak+1的不定和，優(yōu)越性在于只需求得特定差分方程的多項(xiàng)式解，便可直接得出求和結(jié)果.具體如下：

3.1 方程式（9）應(yīng)用

3.2 方程式（10）應(yīng)用

3.3 方程式（11）應(yīng)用

3.4 符號(hào)求和

4 結(jié)束語(yǔ)

Karr考慮差分域（F，σ）的延拓（F(t)，σ），滿足一階（非齊次）遞推的序列可用該模型來描述.本文引入二元差分域(F(α，β)，σ)，σ是域F(α，β)上滿足σ(α) =β，σ(β)=uα+vβ的域同構(gòu)，其中u、v≠ 0，來描述滿足二階線性遞推關(guān)系的序列.因?yàn)椴罘址匠痰挠欣斫馔ㄟ^估計(jì)萬有分母可轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式解，所以研究差分域(F(α，β)，σ)上差分方程的多項(xiàng)式解是研究其有理解、超幾何解等的基礎(chǔ).后續(xù)將繼續(xù)研究一般差分方程aσf+bf=g的多項(xiàng)式解次數(shù)上界，以及一般情形（dega≠0，degb≠0）的應(yīng)用.