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    二維不可壓Navier-Stokes-Landau-Lifshitz-Bloch方程的整體弱解的存在性

    2022-04-22 07:50:46申會玲
    關(guān)鍵詞:正則方程組常數(shù)

    申會玲

    (廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

    0 引 言

    本文研究不可壓Navier-Stokes-Landau-Lifshitz-Bloch方程:

    ?tρ+div(ρu)=0

    (1)

    ?t(ρu)+div(ρu?u)+?p=μΔu-λ?·(?d⊙?d)

    (2)

    ?td+u·?d+α1d×Δd=α2Δd-α3(1+|d|2)d

    (3)

    divu=0

    (4)

    其中,(x,t)∈Ω×(0,T),Ω={x=(x1,x2)||xi|0,α1<0;運算符號?是梯度算子;?·是散度算子;?d⊙?d是一個2×2階矩陣?id·?jd(1≤i,j≤2)。

    其初始條件:

    (ρ,u,d)|t=0=(ρ0,u0,d0)

    (5)

    在式(1)~(4)中,若d是常向量,則原方程是一個常粘性非齊次不可壓Navier-Stokes方程?,F(xiàn)在對于一般的Navier-Stokes方程組的研究相對成熟,Lions[1]對不可壓Navier-Stokes方程組作了比較系統(tǒng)性的研究,對可壓縮的Navier-Stokes方程組的研究主要見Lions[2]和Feireisl等[3- 4]。但是對于三維Navier-Stokes方程組的弱解的正則性和唯一性問題至今仍未解決。

    若取式(1)~(4)中u=0,ρ是一個常數(shù),并且如果式(3)中α2Δd-α3(1+|d|2)d項是d×(d×Δd),則式(1)~(4)變?yōu)長andau-Lifshitz方程[5-6]

    ?td=d×Δd-λd×(d×Δd)

    (6)

    式(6)無耗散項時為

    ?td=d×Δd

    (7)

    對于式(7),Alouges等[7]和Sulem等[8]討論了在一定條件下該方程的弱解的存在性及唯一性問題;郭柏靈等[6]、Zhou等[9-11]和You等[12]證明了在一維情況下的整體弱解的存在性、非線性初邊值問題整體弱解的存在性,及多維情況下整體弱解的存在性。對于式(6)的解的存在性問題,Guo等[13]在1997年已經(jīng)討論,在文中證明了式(6)局部弱解的存在性,又通過拓展得到整體解的存在性。

    當(dāng)不考慮速度和密度時,式(1)~(4)就是Landau-Lifshitz-Bloch方程[14-15]

    ?td=Δd+d×Δd-λ|d|2d,

    對此方程的研究近年有顯著進展:2016年Le[16]證明了方程弱解的存在性,并討論了弱解的正則性;2019年Ayouch等[17]討論了一類含Caputo分數(shù)階弱導(dǎo)數(shù)的時空Landau-Lifshitz-Bloch方程弱解的整體存在性并推導(dǎo)出在一維空間情況下的唯一性;近兩年Jia和Guo等[18-20]研究了m維閉黎曼流形上的Landau-Lifshitz-Bloch方程局部解的存在性、一維可壓縮Landau-Lifshitz-Bloch方程初值問題的整體光滑解的存在唯一性、具有周期初始值的Landau-Lifshitz-Bloch方程在二維和三維空間中其光滑解的存在唯一性。

    本文參考Wang等[21]證明二維Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程弱解的存在性的Feado-Galerkin方法,研究二維不可壓Navier-Stokes-Landau-Lifshitz-Bloch方程的整體弱解的存在性。

    下面給出本文的主要結(jié)果:

    定理1(存在性) 假設(shè)初始數(shù)據(jù)滿足以下條件:

    (8)

    u0∈L2(Ω), ?d0∈L2(Ω),divu0=0

    (9)

    則對任意的T>0,式(1)~(4)存在弱解(ρ,u,d)且滿足:

    (10)

    u∈L∞([0,T];L2(Ω))∩L2([0,T];H1(Ω))

    (11)

    d∈L∞([0,T];H1(Ω))∩L2([0,T];H2(Ω))

    (12)

    1 預(yù)備知識

    在這里先給出一些符號表示。在本文中C是變常數(shù);Wk,p和Hs是Sobolev空間,Lp([0,T];Lq(Ω))是帶有時間的Sobolev空間,其中的元素關(guān)于時間變量p次可積,關(guān)于空間變量q次可積。

    引理1(Gagliardo-Nirenberg不等式)[22]假設(shè)Ω?Rd(d≥1)是一個有界開集,且滿足?Ω∈C0,1,m∈N,1≤p,q,r≤∞,那么存在常數(shù)C>0使得?u∈Wm,p(Ω)∩Lq(Ω)有

    其中,0≤|α|≤m-1,θ=|α|/m且|α|-d/r=θ(m-d/p)-(1-θ)d/q;若m=|α|-d/p?N0,θ∈[|α|/m,1]上述不等式也成立。

    引理2(Sobolev嵌入定理)[23]Sobolev空間Wk,p(Rn),若k>l且1≤p

    Wk,p(Rn)?Wl,q(Rn)

    并且此嵌入連續(xù)。在k=1且l=0的特殊情況下有

    W1,p(Rn)?Lp*(Rn),

    其中,p與p*是Sobolev共軛:1/p*=1/p-1/n.

    特別地,由引理1與引理2有下列不等式在n=2的情況下成立,且將在下節(jié)中用到:

    若u∈L2(Ω)且?u∈L2(Ω),則有

    (13)

    引理3(Aubin-Lions引理)[24]假設(shè)Banach空間X,Y,Z滿足X?Y?Z并且X→→Y,則有

    Lq([0,T];X)∩{φ:?tφ∈L1([0,T];Z)}→→Lq([0,T];Y),?1≤q≤∞,

    L∞([0,T];X)∩{φ:?tφ∈Lr([0,T];Z)}→→C([0,T];Y),?1≤r≤∞。

    2 存在性證明

    在本節(jié)中通過構(gòu)造逼近解,說明了其局部存在性,又對逼近解做一致整體的線性估計,從而證明弱解的整體存在性。

    首先構(gòu)造一個逼近解序列:

    V={h∈L2}

    (14)

    -Δw=λjw,

    -Δη=δjη,

    對于?m,n,式(1)~(4)有近似解umn和dmn:

    (15)

    (16)

    那么就有

    ?tρmn+umn·?ρmn=0

    (17)

    (18)

    (19)

    ρmn(x,0)=ρ0mn(x),umn(x,0)=u0mn(x),

    dmn(x,0)=d0mn(x)

    (20)

    其中,j=1,2,…m。式(17)~(20)是關(guān)于gjmn和hjmn的常微分系統(tǒng),根據(jù)常微分方程組存在性理論可以得到?T0>0,使得常微分系統(tǒng)式(17)~(20)有光滑解(gjmn,hjmn),并且可以將解延拓到區(qū)間[0,T]。

    下面對上述的逼近解進行先驗估計。

    引理4假設(shè)定理1的條件成立,則式(17)~(20)的解滿足如下估計:

    (21)

    (22)

    證明根據(jù)式(17)由特征線法易證得式(21),現(xiàn)證式(22)。

    在式(18)中選取umn為測試函數(shù)

    (23)

    在此用到由式(17)得到的一個事實

    (ρmnumn·?umn)·umndx。

    類似地,式(19)中選取Δdmn為測試函數(shù)

    α3|dmn|2|?dmn|2+

    (24)

    同時又注意到,通過分部積分有

    式(23)~(24)的λ倍相加得

    (25)

    根據(jù)引理4,用Gronwall不等式易得下列推論。

    推論1下列不等式成立

    ‖umn‖L∞([0,T];L2(Ω))+‖umn‖L2([0,T];H1(Ω))≤C

    (26)

    ‖dmn‖L∞([0,T];H1(Ω))+‖dmn‖L2([0,T];H2(Ω))≤C

    (27)

    引理5下列估計成立

    ‖?tumn‖L2 ([0,T];H-1(Ω))≤C

    (28)

    證明由式(18)、式(13)和分部積分可得

    |μ|‖?umn‖L2([0,T];L2(Ω))‖?φj‖L2([0,T];L2(Ω))+

    c‖umn‖L∞([0,T];L2(Ω))‖?umn‖L2([0,T];L2(Ω))

    ‖?φj‖L2([0,T];L2(Ω))+c‖?dmn‖L∞([0,T];L2(Ω))

    ‖Δdmn‖L2([0,T];L2(Ω))‖?φj‖L2([0,T];L2(Ω)),

    即‖?tumn‖L2([0,T];H-1(Ω))≤C得證。

    引理6

    ‖?tdmn‖L2([0,T];H-1(Ω))≤C

    (29)

    證明由式(19)知

    通過分部積分可得

    因此,

    ‖umn‖L∞([0,T];L2(Ω))‖dmn‖L2([0,T];L∞(Ω))

    ‖?ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+

    |α1|‖dmn‖L2([0,T];L∞(Ω))‖?dmn‖L∞([0,T];L2(Ω))

    ‖?ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+|α2|‖?dmn‖L2([0,T];L2(Ω))

    ‖?ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+

    |α3|‖dmn‖L2([0,T];L2(Ω))‖ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+

    ‖ψj‖L2([0,T];L2(Ω))。

    由Sobolev嵌入易得

    ‖?tdmn‖L2([0,T];H-1(Ω))≤C。

    上述所有估計的界與m和n無關(guān),根據(jù)Sobolev嵌入定理和Aubin-Lions引理知可選擇 (ρmn,umn,dmn)的子序列(仍記為(ρmn,umn,dmn)),使得當(dāng)m→∞或n→∞時

    umn?u,弱收斂,在L2([0,T];H1(Ω))中

    (30)

    umn?u,弱*收斂,在L∞([0,T];L2(Ω))中

    (31)

    umn→u,強收斂,在L2([0,T];L2(Ω))中

    (32)

    umn→u,幾乎處處收斂,在L2([0,T];L2(Ω))中

    (33)

    類似可得

    dmn→d,弱收斂,在L2([0,T];H2(Ω))中

    (34)

    dmn→d,弱*收斂,在L∞([0,T];H1(Ω))中

    (35)

    dmn→d,強收斂,在L2([0,T];H1(Ω))中

    (36)

    dmn→d,幾乎處處收斂,在L2([0,T];H1(Ω))中

    (37)

    由上述收斂,易得下列收斂

    (38)

    (39)

    (40)

    (41)

    (42)

    接下來考慮其余非線性項:

    因為在L2([0,T];L2(Ω))中,umn→u,強收斂且?guī)缀跆幪幨諗?,且在L2([0,T];H1(Ω))中,umn?u,據(jù)弱收斂引理有下列收斂

    (43)

    類似地有

    (44)

    u·?d)·ψjdxdt=

    在m→∞或n→∞時,|I1|→0,|I2|→0,即

    (45)

    類似可得

    (46)

    ψjdxdt

    (47)

    因為φj和ψj是單位正交基,所以對?φ∈H,ψ∈V,φ(·,T)=ψ(·,T)=0,下式成立

    (48)

    (49)

    至此,方程(1)~(4)的弱解的整體存在性證明完畢。

    3 總結(jié)與展望

    本文首先通過經(jīng)典的Faedo-Galerkin方法構(gòu)造出了方程的近似解,接著對近似解進行先驗估計,得到與近似解相關(guān)的一致有界估計,最后由緊性理論有相應(yīng)的收斂性,從而證明整體弱解的存在性。

    本文只是該方程的解的適定性的初步研究,僅證明了該方程在二維空間上弱解的存在性,對于弱解的唯一性及正則性等適定性問題還沒有做出相應(yīng)的研究,而且關(guān)于更高維空間里的相應(yīng)問題也是值得研究的。后續(xù)研究將繼續(xù)致力于解決上述問題。

    致謝感謝廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教師王光武、蒲學(xué)科對本論文的悉心指導(dǎo)。

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