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    數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題的有效解題突破研究

    2022-04-21 21:55:14張?jiān)?/span>
    科教創(chuàng)新與實(shí)踐 2022年4期
    關(guān)鍵詞:一題多變一題多解高中數(shù)學(xué)

    張?jiān)?/p>

    摘要:數(shù)列求和問(wèn)題是高中階段學(xué)生所要解決的一大重要問(wèn)題,如何幫助學(xué)生理解掌握數(shù)列求和常見(jiàn)的幾種方法,并讓其可以根據(jù)具體的解題情況進(jìn)行靈活選擇,就成為數(shù)學(xué)教師所要研究的內(nèi)容。本文對(duì)數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題的有效解題突破方法進(jìn)行了論證研究。

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);前n項(xiàng)和;一題多解;一題多變

    在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)列是教學(xué)的重難點(diǎn)章節(jié),這一部分內(nèi)容在邏輯理解和分析推理方面對(duì)學(xué)生有著較高的要求,學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)解題過(guò)程中也常常會(huì)反饋數(shù)列知識(shí)難以掌握、數(shù)列題目難以解答。教師若想幫助學(xué)生解決數(shù)列問(wèn)題,就需要能從解題教學(xué)入手。筆者重點(diǎn)針對(duì)數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題進(jìn)行具體的分析研究,嘗試著提出突破方法。

    一、數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題的價(jià)值分析

    數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題是數(shù)列問(wèn)題的重難點(diǎn),也是高考的易考點(diǎn),學(xué)生需要能通過(guò)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)行掌握這一類(lèi)問(wèn)題的求解方法。為了幫助學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)習(xí),達(dá)成高考的考察要求,作為高中教師就需要能?chē)@著數(shù)列前n項(xiàng)和進(jìn)行設(shè)計(jì),構(gòu)建有效的教學(xué)方案,幫助學(xué)生掌握數(shù)列求和問(wèn)題的基本解法。

    二、幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)問(wèn)題突破的方法

    (一)結(jié)合教學(xué)展示,解析常見(jiàn)解題方法

    在當(dāng)前,在數(shù)列求和問(wèn)題的解決上,常用的方法有六種,分別為公式法、分組化歸法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、這六種方法都可以達(dá)成數(shù)列求和問(wèn)題的解決,但其應(yīng)用情境也不同。若學(xué)生可以牢固的掌握這六種數(shù)學(xué)方法的概念及原理,并能靈活的使用其進(jìn)行解題,學(xué)生的解題能力就可以得到有效的發(fā)展。接下來(lái),筆者將對(duì)這六種方法進(jìn)行簡(jiǎn)要解析。

    1.公式法。公式法也可以被稱(chēng)為利用常用求和公式求和,這一方法是進(jìn)行數(shù)列求和問(wèn)題解決的最基本也是最重要的方法。若想實(shí)現(xiàn)這一方法的有效運(yùn)用,學(xué)生需要能對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行牢固的掌握。在教學(xué)實(shí)際中,教師就可以使用多媒體解析展示的方法,將其作為一種解題方式,為學(xué)生展示其應(yīng)用流程與注意事項(xiàng)。首先是公式的基礎(chǔ)展示,教師還要要求學(xué)生注意,在進(jìn)行等比數(shù)列前n項(xiàng)和求值時(shí),需要特別注意公比q是否為1.如果不能確定q的值,就需要能對(duì)其進(jìn)行分情況討論。

    2.分組化歸法。這一求和方法主要面對(duì)一系列特殊的數(shù)列,這些數(shù)列既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若直接對(duì)其進(jìn)行計(jì)算是難以得出結(jié)果的。而這些數(shù)列的特殊指出在于將其適當(dāng)拆開(kāi)時(shí),可以將其劃分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列。此時(shí)再利用公式法將其分別求和,而后將公式相加,幾何求解出最終結(jié)果。在面向這一方法進(jìn)行展示解析時(shí),教師可以給出題目,引導(dǎo)學(xué)生觀察分析。

    3.并項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。這一方法是在數(shù)列求和的過(guò)程中,將某些項(xiàng)分組合并后再轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列再求和的方法。使用這一方法進(jìn)行解題時(shí),需要注意對(duì)所分項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行討論。教師在進(jìn)行這一解題方法的展示時(shí),需要能給出例題,引導(dǎo)學(xué)生觀察思考解題的具體流程,進(jìn)而加深學(xué)生的印象。

    4.倒序相加法。該方法即教材中推理等差數(shù)列求和公式所使用的方法,從特征上來(lái)描述,可以理解為:若果一個(gè)數(shù)列,與首項(xiàng)和末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和,則可以用把正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加,就得到了一個(gè)常數(shù)列的和,這一求和方法被稱(chēng)為倒序相加法。從數(shù)列特征上來(lái)分析,其可以表示為a1+an=a2+an-1。

    5.錯(cuò)位相減法。這一方法可以用來(lái)進(jìn)行數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和,其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列(公差不為0)和等比數(shù)列(公比不為1).簡(jiǎn)而言之,這一方法是與解決哪些有等差和等比數(shù)列通過(guò)相乘或相除關(guān)系組成的新數(shù)列的求和問(wèn)題。

    6.裂項(xiàng)相消法。這一方法的應(yīng)用是分解組合思想的應(yīng)用延伸,其實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每一項(xiàng)進(jìn)行分解,而后再通過(guò)組合的方式消去一些項(xiàng),進(jìn)而達(dá)成求和的目的。在教學(xué)實(shí)際中,為了幫助學(xué)生理解掌握這一方法,教師可以為學(xué)生展現(xiàn)幫助學(xué)生進(jìn)行分析

    在完成具體求和方法的展示之后,教師需要能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)六種方法進(jìn)行對(duì)比分析,研究其具體差異性,加深其認(rèn)識(shí)。

    (二)精選練習(xí)題目,引導(dǎo)學(xué)生解答分析

    解題是一個(gè)實(shí)踐的過(guò)程,為了幫助學(xué)生真正的掌握數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題的解答方法,教師在教學(xué)實(shí)際中需要能精選數(shù)列求和的練習(xí)題目,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目的解答方法進(jìn)行研究,進(jìn)而幫助其進(jìn)行掌握。在題目資源的獲取上,教師可以通過(guò)校內(nèi)資源檢索的方式將輔導(dǎo)書(shū)運(yùn)用起來(lái),也可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)檢索的方式訪問(wèn)一些資源站點(diǎn),獲取教學(xué)所需的資源。需要注意的是,為了讓學(xué)生更好的認(rèn)識(shí)到數(shù)列求和的問(wèn)題,加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力,教師可以選擇一些高考題目,運(yùn)用這些題目讓學(xué)生在獲得解題能力發(fā)展的同時(shí),認(rèn)識(shí)到高考對(duì)于數(shù)列求和問(wèn)題的考察頻次,提升學(xué)生的知識(shí)重視程度。

    1.并項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。在進(jìn)行這一方法的解題運(yùn)用時(shí),教師要能讓學(xué)生明確該方法在運(yùn)用過(guò)程中對(duì)n進(jìn)行分情況討論的必要性,可以出兩個(gè)變式題目,通過(guò)這兩個(gè)題目的解決,學(xué)生就可以實(shí)現(xiàn)并項(xiàng)轉(zhuǎn)換法的基本掌握。

    2.倒序相加法。教師在進(jìn)行倒序相加法的教學(xué)時(shí),可以先為學(xué)生展示例題,引導(dǎo)學(xué)生觀察例題的特點(diǎn),在此基礎(chǔ)上,教師再?gòu)牡剐蛳嗉臃ǖ膽?yīng)用入手引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考,分析運(yùn)用其進(jìn)行解答的方法。

    3.錯(cuò)位相減法。設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

    設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足,n∈N*,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

    通過(guò)這一題目的展示與引導(dǎo)解答,教師就可以讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法進(jìn)行感悟,進(jìn)而達(dá)成有效的知識(shí)掌握。

    4.裂項(xiàng)相消法。求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。

    面對(duì)這一題目,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從化簡(jiǎn)入手,將這一復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為較為清晰的通項(xiàng)格式,而后再使用裂項(xiàng)相消的方法達(dá)成解答。

    (三)設(shè)置一題多解,拓展學(xué)生解題思維

    對(duì)于部分?jǐn)?shù)列題目而言,其可以使用多種方法進(jìn)行解答,而學(xué)生通過(guò)對(duì)多種解法進(jìn)行思考的過(guò)程,其能力也就可以得到有效的發(fā)展培養(yǎng),解題思維也能得到拓展。相應(yīng)的,教師在教學(xué)實(shí)際中,就可以選擇一些一題多解的習(xí)題,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行解答感悟。

    綜上所述,數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題是學(xué)生所要面對(duì)的重要高考考點(diǎn),為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)相應(yīng)內(nèi)容的突破,發(fā)展學(xué)生的能力,教師在教學(xué)實(shí)際中需要能對(duì)自己的教學(xué)做出調(diào)整,將對(duì)應(yīng)解題方法的教學(xué)重視起來(lái)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]楊春猛.差比型數(shù)列前n項(xiàng)和公式[J].數(shù)理化解題研究,2018(04):26-27.

    [2]王云龍.漫談等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法[J].數(shù)學(xué)大世界(上旬),2018(02):70.

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