尋找動(dòng)點(diǎn)中的全等三角形

文／張君翔

（作者單位：江蘇省太倉市雙鳳中學(xué)）

全等三角形和動(dòng)點(diǎn)相結(jié)合往往會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果，這時(shí)，只知道全等三角形的5 種判定方法已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足解題的需要。因此，本文選取兩個(gè)例題來進(jìn)行探究，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。

例1如圖1 所示，△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，點(diǎn)D為AB邊上的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在BC邊上以3cm/s 的速度由B向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在CA邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)。

圖1

（1）若點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，1 秒鐘時(shí)，△BPD和△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；

（2）若點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P不相等，點(diǎn)Q的速度為多少時(shí)，△BPD和△CQP全等？

【解析】本題是以一個(gè)等腰三角形為背景，在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，產(chǎn)生三角形全等。題目已經(jīng)明確了要證明的全等三角形，接下來就是要分析兩個(gè)三角形中的相等條件。

（1）如圖1，因?yàn)樵诘妊鰽BC中，AB=AC，所以∠B=∠C，這是本題中始終存在的相等條件，和動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。1 秒鐘時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)P的速度和點(diǎn)Q的速度相等，所以我們可以求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程，即線段BP和線段CQ的長度，均為3cm，線段PC的長度是6cm，因此可以得到全等的三個(gè)相等條件，即BD=PC，∠B=∠C，BP=CQ，所以△BPD≌△CQP。

（2）首先∠B=∠C是仍然成立的，但是此時(shí)與第（1）問中不同的是點(diǎn)Q和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不同，那就說明BP≠CQ，那如果三角形△BPD和△CQP全等，則必然會(huì)有對(duì)應(yīng)相等的關(guān)系。根據(jù)“相等即對(duì)應(yīng)”，我們可以分析得出B點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)，P點(diǎn)和Q點(diǎn)是不對(duì)應(yīng)的，那么只可能是點(diǎn)P與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)，點(diǎn)D與點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)，即△BPD≌△CPQ，則有BP=CP，BD=CQ，通過這兩組邊相等，先求出BP=4.5cm，t=1.5s，CQ=6cm，所以點(diǎn)Q的速度為4cm/s。

例2如圖2，在四邊形ABCD中，BC=AD=10cm，AB=CD，BD=14cm。點(diǎn)E從D出發(fā)，以2cm/s 的速度沿著DA向終點(diǎn)A勻 速 運(yùn) 動(dòng)，點(diǎn)F從 點(diǎn)C出 發(fā)，以5cm/s 的速度沿著C→B→C勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G從B點(diǎn)出發(fā)，向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)。三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。

圖2

（1）證明AD∥BC。

（2）在移動(dòng)的過程中，有沒有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)？請(qǐng)?zhí)骄窟@樣的情況會(huì)出現(xiàn)幾次，分別求出此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度。

【解析】本題是在一個(gè)平行四邊形背景中的動(dòng)點(diǎn)問題。題目中一共有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要證明△DEG與△BFG全等，首先分析這兩個(gè)三角形中已經(jīng)存在的相等條件，然后討論這兩個(gè)三角形全等分類的標(biāo)準(zhǔn)，從而確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。

（1）要證明AD∥BC，只要證明四邊形ABCD是平行四邊形即可。

（2）由（1）可得∠GBC=∠ADB，那么△DEG與△BFG就有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，圍繞這一對(duì)角相等產(chǎn)生的全等，考慮是“SAS”全等的情況，也就是在BG、BF和DE、DG中出現(xiàn)兩組邊相等，那就有2 種可能，即①BG=DE，BF=DG或者②BG=DG，BF=ED。設(shè)G點(diǎn)的速度為xcm/s，則BG=xt，DG=14-xt，DE=2t，因?yàn)镃點(diǎn)是從C→B→C，所以BF=10-5t（0≤t≤2）或BF=5t-10（2＜t≤4）。