基于波利亞“怎樣解題表”的習(xí)題教學(xué)案例研究

孟彩彩 鞏鎧瑋

[摘? 要] 本研究從波利亞“怎樣解題表”出發(fā)，以“函數(shù)的零點(diǎn)”習(xí)題教學(xué)為例，探析波利亞“怎樣解題表”在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用，并提出相應(yīng)的解題教學(xué)優(yōu)化策略：趣味性啟發(fā)教學(xué)，幫助學(xué)生弄清問(wèn)題;系統(tǒng)性設(shè)計(jì)教學(xué)，助力學(xué)生擬定計(jì)劃;發(fā)展性實(shí)施教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生執(zhí)行計(jì)劃;針對(duì)性反思教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生回顧要領(lǐng).

[關(guān)鍵詞] 怎樣解題表;解題教學(xué);核心素養(yǎng);函數(shù)的零點(diǎn)

[?] 引言

數(shù)學(xué)思考是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備素養(yǎng)，而解題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的首要路徑，故在解題教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要借助于適切載體、恰當(dāng)方法、靈動(dòng)處理等方式讓學(xué)生猜想與數(shù)學(xué)問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而多角度、深層次探求數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思路方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、敏捷性及批判性，助推學(xué)生思維方式和創(chuàng)新精神的發(fā)展，從而深度實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 波利亞的解題理論強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，其“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”是解題理論的核心內(nèi)容，正如他所說(shuō)：沒(méi)有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方. 可見(jiàn)，波利亞視解題為一種手段，通過(guò)解題教學(xué)啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，掌握包括函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想等在內(nèi)的數(shù)學(xué)思想和解題技巧，明晰系統(tǒng)性、實(shí)踐性等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本原則，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

所謂“啟發(fā)法（探索法）”，波利亞在《怎樣解題》中指出：發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法及規(guī)律，即對(duì)思維規(guī)則的明確描述. 那么，如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具體落實(shí)波利亞的解題思想呢？為此，本研究從波利亞“怎樣解題表”出發(fā)，結(jié)合蘭州市A教師開(kāi)展的“函數(shù)的零點(diǎn)”習(xí)題教學(xué)，探析波利亞解題思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用，并提出相應(yīng)的解題教學(xué)優(yōu)化策略，以期為一線高中數(shù)學(xué)教師的有關(guān)解題教育教學(xué)工作提供一些理論借鑒和實(shí)踐參考.

[?] 波利亞“怎樣解題表”的基本內(nèi)涵

波利亞積極倡導(dǎo)運(yùn)用“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”，其著作《怎樣解題》以“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”為核心內(nèi)容，充分肯定了解題的一般教育價(jià)值，為探析一般性的解題方式或模式，波利亞對(duì)解題過(guò)程中最富有特征性的智力活動(dòng)進(jìn)行了分析和歸納，凝練出了“怎樣解題表”，進(jìn)而提煉出了分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的四個(gè)階段，即弄清題目、擬訂計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃、回顧. 每一階段又提出了一系列問(wèn)題啟發(fā)聯(lián)想，其充分應(yīng)用了類比、歸納、化歸、特殊化、一般化等思維方法和技巧，構(gòu)成了波利亞“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”思想的核心內(nèi)容[1]，具體如表1所示.

四個(gè)階段共同組成了一個(gè)完整的解題教學(xué)系統(tǒng). 其中，“弄清問(wèn)題”是認(rèn)識(shí)問(wèn)題且問(wèn)題表征的過(guò)程，它是成功解題的必要前提;“擬訂計(jì)劃”是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，它是成功解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié);“執(zhí)行計(jì)劃”是“擬定計(jì)劃”的實(shí)施過(guò)程，它是成功解題的核心內(nèi)容;“回顧”是解題的魅力所在，它是成功解題的必要環(huán)節(jié).

[?] 基于波利亞“怎樣解題表”的習(xí)題教學(xué)案例的解析

波利亞“怎樣解題表”是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中的重要理論依據(jù)，筆者在蘭州市的一次數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)過(guò)程中有幸聆聽(tīng)了A教師運(yùn)用“怎樣解題表”這個(gè)模式開(kāi)展的“函數(shù)的零點(diǎn)”高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，現(xiàn)將具體的教學(xué)過(guò)程重現(xiàn)并開(kāi)展一定的教學(xué)評(píng)價(jià).

1. 教學(xué)過(guò)程重現(xiàn)

2. 教學(xué)評(píng)價(jià)

整體來(lái)看，A教師在解題教學(xué)中運(yùn)用“怎樣解題表”模式是完整的，即完成了弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃、回顧四個(gè)階段. 然而，仔細(xì)推敲，發(fā)現(xiàn)A教師的習(xí)題教學(xué)存在諸多不足，具體如下：

（1）引導(dǎo)不夠聚焦，啟發(fā)流于形式.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：高中數(shù)學(xué)課程要具有基礎(chǔ)性、選擇性和發(fā)展性[2]. 對(duì)于A教師而言，未充分體現(xiàn)新課標(biāo)的基本要求，如開(kāi)始提出的問(wèn)題：“已知量、未知量是什么？已知量與未知量存在哪些聯(lián)系？能否通過(guò)已知條件直接得出問(wèn)題的答案？若已知量與未知量不存在直接聯(lián)系，那么連接它們的橋梁是什么？”這些問(wèn)題沒(méi)有從學(xué)生的基礎(chǔ)出發(fā)，問(wèn)題設(shè)置一般化，沒(méi)有聚焦具體的相關(guān)知識(shí). 具體而言，解題過(guò)程中最基本的心理操作包括引入概念、推出性質(zhì)、重新理解[3]，函數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)是學(xué)生剛學(xué)習(xí)的新概念，若學(xué)生沒(méi)有完全消化新概念，則解題的第一個(gè)心理操作就會(huì)受阻，將直接影響問(wèn)題的解決. 因此，教師應(yīng)首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，深度理解并掌握數(shù)學(xué)概念. 此外，學(xué)生第一次接觸“怎樣解題表”這樣的解題模式，教師的引導(dǎo)應(yīng)著眼于學(xué)生的思維發(fā)展方向. 總之，A教師并未充分了解學(xué)情，其教學(xué)節(jié)奏偏快，引導(dǎo)不夠聚焦，只是滿足了解題的四個(gè)步驟，使得教學(xué)啟發(fā)流于形式.

（2）問(wèn)題跨度較大，學(xué)生思維被動(dòng).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》強(qiáng)調(diào)：教師要整體把握教學(xué)內(nèi)容，情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)要有利于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[2]. A教師第三次提出問(wèn)題：“再次細(xì)心觀察方程，并回憶之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)是怎樣處理的？”此問(wèn)題的設(shè)計(jì)是為了提醒學(xué)生對(duì)復(fù)雜的函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造，但這部分知識(shí)內(nèi)容對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是困難的，并且此過(guò)程是“怎樣解題表”模式的第二個(gè)階段，即“擬定計(jì)劃”階段，它是成功解題的關(guān)鍵階段. 因此，教師不僅要有語(yǔ)言層面的提醒，還要幫助學(xué)生深刻回憶，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)之前學(xué)過(guò)的函數(shù)構(gòu)造問(wèn)題進(jìn)行梳理，借助于典型例題回顧并掌握其中蘊(yùn)含的思想方法，為解決新問(wèn)題做好鋪墊. 其次，教師直接讓學(xué)生觀察（5x+3）5+（5x+3）=-（x5+x）的特征，并未考慮一些抽象思維較弱或思維處于具體化的學(xué)生，他們難以將5x+3整體化，對(duì)于構(gòu)造函數(shù)g（x）=x5+x更是一知半解，以致學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出了形式而固化的狀態(tài)，學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展也受到了極大遏制.

（3）運(yùn)用“題海戰(zhàn)術(shù)”，本質(zhì)回歸不足.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：教師要啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)[2]. 即教師不僅要指導(dǎo)學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，更要教會(huì)學(xué)生如何積累解題經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)明晰解題策略及經(jīng)驗(yàn)的積累主要在回顧的過(guò)程中獲得[4]. 對(duì)于本次課例而言，A教師只是讓學(xué)生闡述了問(wèn)題解決的整個(gè)思路，檢驗(yàn)過(guò)程是否正確、結(jié)果是否有誤，最后出示了4個(gè)例題及一些課后習(xí)題進(jìn)行大量練習(xí)，并未引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)、總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，感知數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等思想方法，以及積累反思性學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，而這必然不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展. 因此，數(shù)學(xué)教師要深刻領(lǐng)會(huì)波利亞的解題思想，要多維度、新角度、高層次審視解題教學(xué)的目標(biāo)、內(nèi)容和方法，從而實(shí)現(xiàn)深度教學(xué).

[?] 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的優(yōu)化策略

波利亞“怎樣解題表”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維層層遞進(jìn)的過(guò)程. 基于此，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以從以下幾方面加強(qiáng)對(duì)學(xué)生解題思維的引導(dǎo)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和思維習(xí)慣，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效落實(shí).

1. 趣味性啟發(fā)教學(xué)，幫助學(xué)生弄清問(wèn)題

課堂教學(xué)成功的關(guān)鍵在于學(xué)生具備積極的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)和濃厚的學(xué)習(xí)興趣，而富有趣味性的啟發(fā)教學(xué)可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維邏輯的發(fā)展[5]. 數(shù)學(xué)解題教學(xué)，是學(xué)生持續(xù)積累解題經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)過(guò)程，波利亞指出教師在教學(xué)時(shí)要遵循的三大學(xué)習(xí)原則——主動(dòng)學(xué)習(xí)、最佳動(dòng)機(jī)、循序漸進(jìn)，其中的“最佳動(dòng)機(jī)”指學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)要倍感興趣，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中伴隨歡樂(lè)[6]. 因此，教師在解題教學(xué)時(shí)要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行加工、設(shè)計(jì)，選擇性地預(yù)設(shè)各類問(wèn)題，同時(shí)運(yùn)用多媒體教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，把問(wèn)題融入相關(guān)情境，賦予啟發(fā)教學(xué)的趣味性，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的緊密聯(lián)系，在趣味中分析問(wèn)題要點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的已知和未知，從而理解問(wèn)題，為深度實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)提供有力保障. 如“函數(shù)的零點(diǎn)”習(xí)題教學(xué)，教師可借助于幾何畫(huà)板、希沃白板等軟件開(kāi)展趣味性啟發(fā)教學(xué)，進(jìn)而幫助學(xué)生分析問(wèn)題、弄清問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 系統(tǒng)性設(shè)計(jì)教學(xué)，助力學(xué)生擬定計(jì)劃

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立的“點(diǎn)”，數(shù)學(xué)教師要從整體上把握彼此聯(lián)系的基本命題或概念體系等[7]，而數(shù)學(xué)解題教學(xué)的關(guān)鍵目的在于將所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化，讓學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題. 對(duì)此，教師在運(yùn)用“怎樣解題表”模式啟發(fā)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生能快速地從大腦中提取以往所學(xué)的相關(guān)聯(lián)的知識(shí)至關(guān)重要，知識(shí)的有效提取直接影響著問(wèn)題的高效解決. 因此，教師要系統(tǒng)化設(shè)計(jì)教學(xué)，有效解決課時(shí)的零散性與知識(shí)的孤立性、單元的割裂性與學(xué)科的無(wú)整體性等問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生梳理解題思路、發(fā)展思維方式的能力，進(jìn)而以整體性、全局性看待問(wèn)題的意識(shí)擬定計(jì)劃，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移類推，為學(xué)生的自我發(fā)展奠定基礎(chǔ). 如“函數(shù)的零點(diǎn)”習(xí)題教學(xué)中，教師要建立舊知與新知的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，進(jìn)而剖析問(wèn)題的核心點(diǎn)及關(guān)鍵點(diǎn)，助力學(xué)生擬定計(jì)劃，從而實(shí)現(xiàn)深度教學(xué).

3. 發(fā)展性實(shí)施教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生執(zhí)行計(jì)劃

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：高中數(shù)學(xué)課程要注重發(fā)展性，同時(shí)以學(xué)生的發(fā)展為本[2]. 對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，發(fā)展性主要體現(xiàn)在問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展. 具體而言，教師在備課選擇教學(xué)策略時(shí)，發(fā)展性體現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題的性質(zhì)、內(nèi)容的深度分析，對(duì)學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的深入了解等方面;在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體過(guò)程中，發(fā)展性體現(xiàn)在學(xué)生思維的清晰性、活躍性及具體實(shí)施時(shí)思維的準(zhǔn)確性等方面. 因此，教師發(fā)展性實(shí)施教學(xué)，可以幫助學(xué)生掌握問(wèn)題蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想方法以及解題的技能技巧，從而有效地執(zhí)行解題計(jì)劃，解決相關(guān)問(wèn)題. 如“函數(shù)的零點(diǎn)”習(xí)題教學(xué)，教師要借助于典型案例，通過(guò)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)等方式，提煉其中蘊(yùn)含的解題思路、思想方法，提升學(xué)生執(zhí)行解題計(jì)劃的有效性，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

4. 針對(duì)性反思教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生回顧要領(lǐng)

在“怎樣解題表”模式中，“回顧”階段具有舉足輕重的地位. 因此，數(shù)學(xué)教師要針對(duì)性反思教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生回顧課程內(nèi)容的關(guān)鍵及要領(lǐng)，從而有效提高學(xué)生元認(rèn)知水平. 所謂“元認(rèn)知”，即學(xué)習(xí)主體對(duì)自身活動(dòng)的過(guò)程與結(jié)果進(jìn)行自我評(píng)價(jià)、自我調(diào)節(jié)、自我監(jiān)控等，其包括元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知策略、元認(rèn)知體驗(yàn)、元認(rèn)知監(jiān)控[8]. 對(duì)此，教師通過(guò)及時(shí)的回顧反思，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)結(jié)果以及在認(rèn)知活動(dòng)中所使用的探究方法，實(shí)現(xiàn)探究方法的提煉和外化，助推學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 如“函數(shù)的零點(diǎn)”習(xí)題教學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等進(jìn)行回顧，在總結(jié)中探析出通式通法，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維多元化、深層次發(fā)展，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，增強(qiáng)解題教學(xué)的實(shí)效性.

[?] 結(jié)語(yǔ)

總之，高中數(shù)學(xué)教師要靈活運(yùn)用波利亞“怎樣解題表”模式，從注重知識(shí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的整體性、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解性、思想方法的滲透性等方面精準(zhǔn)設(shè)計(jì)解題教學(xué)，并有針對(duì)性地選擇提問(wèn)，將抽象問(wèn)題具體化，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題的相關(guān)條件，梳理解題思路、挖掘思想方法、及時(shí)回顧反思等，最終有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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