關(guān)于一道圓錐曲線題的分步探究與思考

吳春霞

[摘? 要] 圓錐曲線綜合題解析難度較大，解題探索要充分把握考點(diǎn)，思考思路構(gòu)建，同時(shí)反思常見的變式情形，以“一題”窺“全局”，充分發(fā)揮問題價(jià)值. 文章對一道圓錐曲線綜合題深入探究，分步突破，探索思路構(gòu)建，并進(jìn)行教學(xué)反思.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;雙曲線;直線;向量;變式

[?] 問題呈現(xiàn)，考點(diǎn)定位

問題：已知橢圓C的解析式為+y2=1，點(diǎn)F和F為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）求橢圓C的焦距;

（2）已知點(diǎn)Q

，

為橢圓C上的一點(diǎn)，與OQ相平行的直線l與橢圓C相交于點(diǎn)A和B，如果△QAB的面積為1，試求直線l的方程;

（3）已知橢圓C與雙曲線C：x2-y2=1在第一象限的交點(diǎn)為M（x，y），橢圓C與雙曲線C上滿足

x

≥

x

的所有點(diǎn)（x，y）組成了曲線C. 如果點(diǎn)N是曲線C上的一個(gè)動點(diǎn)，試求·的取值范圍.

考點(diǎn)解讀：本題為圓錐曲線綜合題，問題以橢圓、直線、雙曲線為背景，考查了圓錐曲線、幾何三角、平面向量等相關(guān)知識. 考題共設(shè)三問，考查側(cè)重點(diǎn)各有不同，且難度逐次遞增.

第（1）問為基礎(chǔ)問題：求橢圓的焦距，考查焦距的含義，以及求焦距的方法;

第（2）問為核心之問：以直線與橢圓的相交為基礎(chǔ)構(gòu)造三角形，求特定面積情形下直線的方程，實(shí)則考查圓錐曲線中面積模型的構(gòu)造方式;

第（3）問為壓軸之問：以橢圓與雙曲線相交為背景，由坐標(biāo)值的不等關(guān)系構(gòu)建了另類曲線，并引出了向量積，考查動點(diǎn)與向量的相關(guān)知識.

[?] 思路突破，變式拓展

上述圓錐曲線問題主干信息突出，各問又具有相應(yīng)條件，相互獨(dú)立互不干擾，問題解答建議采用分步突破的策略，即逐問分析條件，探索思路構(gòu)建. 下面進(jìn)行具體探究.

第一步：基礎(chǔ)鞏固，信息整合

第（1）問分析橢圓C的解析式，由+y2=1可直接確定橢圓C的特征參數(shù)，即a=2，b=1，c==. 焦距即橢圓兩焦點(diǎn)之間的距離，由解析式可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則焦距為2c=2.

評析與拓展：圓錐曲線的第（1）問通?？疾榈氖腔A(chǔ)知識，從上述考查思路來看，是正向考查的典型范例，即給出圓錐曲線的解析式，求其特征參數(shù)值. 高考中還常采用逆向考查的方式，對于上述問題可在特定條件下求橢圓的解析式，故可作如下變更：已知橢圓C：+=1的焦距為2，其右準(zhǔn)線方程為x=，試求C的解析式.

顯然這種變更涉及更多的橢圓特征，且推導(dǎo)過程具有一定的邏輯順序，難度有所提升，但基本的破解思路是一致的：先由“焦距為2”求特征參數(shù)c，再結(jié)合“右準(zhǔn)線方程x=”求特征參數(shù)a，最后綜合“a2-c2=b2”求特征參數(shù)b即可.

第二步：強(qiáng)化提升，模型構(gòu)建

第（2）問構(gòu)建了△QAB，在已知其面積的情形下求直線l的方程，其中點(diǎn)Q的坐標(biāo)已知，是橢圓C1上的定點(diǎn)，點(diǎn)A，B是直線l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn). 從該條件中可以得到兩個(gè)信息：①直線l的斜率可求——由點(diǎn)O和點(diǎn)Q的坐標(biāo)推導(dǎo);②聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，整理為一元二次方程，則方程的判別式Δ>0.

問題的思路構(gòu)建可分為如下三個(gè)階段：第一階段，處理?xiàng)l件，設(shè)定直線的方程;第二階段，構(gòu)建三角形的面積模型;第三階段，基于面積模型構(gòu)建關(guān)于直線參數(shù)的方程，求解直線方程. 具體如下：

①處理?xiàng)l件：已知點(diǎn)Q

，

，則直線l的斜率為k=，故可設(shè)l：y=x+m.

②構(gòu)建面積模型：可將△QAB視為以AB為底、點(diǎn)Q為頂點(diǎn)的三角形，若設(shè)點(diǎn)Q到AB的距離為d，則其面積可表示為S=d·

AB

.

③構(gòu)建關(guān)于直線參數(shù)的方程：聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的解析式，整理可得x2+2mx+2m2-2=0. 因兩者有兩個(gè)交點(diǎn)，故Δ=4m2-8（m2-1）=8-4m2>0，解得

m

<. 設(shè)交點(diǎn)A（x，y），B（x，y），由韋達(dá)定理得x+x=-2m，xx=2m2-2. 由弦長公式得AB=AB=·

x-x

=，由點(diǎn)到直線的距離公式得d=. 已知△QAB的面積為1，結(jié)合其面積模型可得S=d·

AB

=

m

·=1，解得m=±1，所以l：y=x±1.

評析與拓展：第（2）問是本題的核心之問，問題的綜合性較強(qiáng)，但難度適中，同時(shí)轉(zhuǎn)化的思路也較為清晰，顯然就是基于三角形的面積條件來構(gòu)建關(guān)于直線參數(shù)的方程. 高考考查還常以直線與橢圓相交為主體，融入動點(diǎn)，考查三角形面積的最值，故可作如下變更：設(shè)點(diǎn)Q是橢圓C上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于點(diǎn)A和B（點(diǎn)Q不在直線AB上），試求△QAB面積的最大值.

上述變更融入了動點(diǎn)，增加了直線l的不確定性，同時(shí)存在直線l斜率存在和不存在兩種情形，難度略有提升，但破解的基本思路一致：l垂直于x軸可直接求出三角形面積的最大值;不垂直則先將三角形底邊表示為與直線參數(shù)相關(guān)的代數(shù)式，再利用點(diǎn)到直線的距離表示三角形的高，進(jìn)而將三角形的面積表示為關(guān)于直線參數(shù)的函數(shù)式，利用函數(shù)性質(zhì)即可求最值.

第三步：綜合探究，思想綜合

第（3）問的信息量較大，大致分為兩部分：一是雙曲線與橢圓相結(jié)合，形成了曲線C;二是曲線C上的動點(diǎn)N與橢圓的焦點(diǎn)構(gòu)建了向量和. 顯然，求向量積·的取值范圍，需要參考上述內(nèi)容確定曲線C的具體軌跡，然后再分析向量積的取值范圍. 即第一階段，根據(jù)條件確定曲線C的軌跡;第二階段，構(gòu)建向量，轉(zhuǎn)化向量積，分析其取值范圍.

①軌跡分析：已知橢圓C：+y2=1，雙曲線C：x2-y2=1，曲線C為兩者上滿足

x

≥

x

的所有點(diǎn)（x，y），故可分為兩部分，且關(guān)于y軸呈對稱關(guān)系，如圖1的實(shí)線所示部分.

②向量分析：可設(shè)點(diǎn)N（x，y）是曲線C上的動點(diǎn)，又知焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（-，0），F(xiàn)（，0），可推得向量=（--x，-y），=（-x，-y），故·=x2+y2-3（

x

≥）. 根據(jù)圖像可知，點(diǎn)N可在橢圓C上，也可在雙曲線C上，故需要分兩種情形來討論：

當(dāng)點(diǎn)N在曲線x2+4y2=4（

x

≥

x

）上時(shí)，·=1-3y2. 分析可知，當(dāng)y=時(shí)，·取得最小值，且（·）=-;當(dāng)y=0時(shí)，·取得最大值，且（·）=1. 所以此時(shí)·的取值范圍為

-，1.

當(dāng)點(diǎn)N在曲線x2-y2=1（

x

≥

x

）上時(shí)，·=2y2-2. 分析可知，當(dāng)y=時(shí)，·取得最小值，且（·）= -;沒有最大值. 所以此時(shí)·的取值范圍為

-，+∞

.

綜上可知，·的取值范圍為

-，+∞

.

評析與拓展：上述是以曲線相交為背景的向量積取值范圍問題，問題的難點(diǎn)主要有兩個(gè)：一是確定曲線的軌跡，二是轉(zhuǎn)化向量積，分析最值. 數(shù)形結(jié)合、分類討論是突破該類問題的常用策略，數(shù)形結(jié)合可將抽象問題直觀化，尤其適用于軌跡問題;而分類討論則可以降低問題的思維難度，配合數(shù)形結(jié)合可直接定位切入點(diǎn)，快速構(gòu)建思路. 上述所呈現(xiàn)的也是向量范圍問題的常規(guī)破題思路，即將向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)性質(zhì)來研究最值或范圍，故解題時(shí)需要關(guān)注變量的取值范圍、曲線的軌跡變化. 另外，對于上述問題還可以從軌跡視角變更如下：將“橢圓C與雙曲線C上滿足

x

≥

x

的所有點(diǎn)（x，y）組成了曲線C”變?yōu)椤皺E圓C與雙曲線C上滿足

x

≤

x

的所有點(diǎn)（x，y）組成了曲線C”，其他條件不變，求·的取值范圍.

上述變了點(diǎn)（x，y）滿足的條件，結(jié)合圖像可知，曲線C的軌跡變成了圖1中的虛線部分，對應(yīng)的向量最值也就發(fā)生了變化. 點(diǎn)N在橢圓部分的最值情形變?yōu)椋寒?dāng)y=時(shí)取得最大值，y=1時(shí)取得最小值;相應(yīng)的，點(diǎn)N在雙曲線部分的最值情形變?yōu)椋寒?dāng)y=時(shí)取得最大值，y=0時(shí)取得最小值. 后續(xù)只需綜合結(jié)論即可.

[?] 解后思考，教學(xué)建議

上述對一道圓錐曲線問題進(jìn)行了逐問探究，變式拓展，其構(gòu)建思路、分析方法具有一定的參考價(jià)值，下面深入反思，提出相應(yīng)的建議.

1. 鞏固基礎(chǔ)，構(gòu)建體系

上述問題涉及了橢圓、雙曲線、直線、向量等眾多的基礎(chǔ)知識，通常突破問題的第一步是利用基礎(chǔ)知識整合信息條件，為后續(xù)解題做鋪墊. 如求曲線的特征參數(shù)，利用弦長公式、點(diǎn)到直線距離求三角形的底或高，以及將向量積轉(zhuǎn)化為函數(shù)，等等，基礎(chǔ)知識在解題中起到了極為重要的作用. 故教學(xué)中要鞏固學(xué)生的知識基礎(chǔ)，構(gòu)建完整的知識體系，讓學(xué)生理解所學(xué)，活用所知.

2. 總結(jié)方法，形成策略

總結(jié)、反思是解題探究的重要環(huán)節(jié)，即完成思路構(gòu)建后要注意深入思考問題，總結(jié)問題突破的關(guān)鍵，反思思路構(gòu)建過程，形成相應(yīng)的解題策略. 如上述逐問探究后對解法進(jìn)行了深入思考，并結(jié)合高考考點(diǎn)探討了問題的常規(guī)變式，對于拓展學(xué)生的解題視野極為有利. 教學(xué)中要立足考題開展解后反思，讓學(xué)生全面審視問題，思考問題解法，進(jìn)行解法優(yōu)化、問題變式.

3. 探究思想，提升素養(yǎng)

解題過程有助于培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，尤其是解析過程的思想方法可促進(jìn)學(xué)生的思想提升. 如上述第（3）問充分運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等思想，實(shí)現(xiàn)了抽象問題的直觀化，降低了思維難度，簡化了解析過程. 教學(xué)中要充分利用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).