超越“單元”：數(shù)學單元整體教學的應有之義

許衛(wèi)兵

【摘 要】站在更為宏觀的視角，單元整體教學既要基于“單元”又要超越“單元”。通過高階勾連，實現(xiàn)知識領(lǐng)域、板塊的貫通;通過高屋建瓴，凸顯課程的整體性，分清層次，以大馭小，突出重點，以主帶次，用“結(jié)構(gòu)”的力量促成簡教深學;通過高層引領(lǐng)，不斷錘煉思維品性，引導思維自覺，逐步學會學習。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學 單元整體教學 建構(gòu) 結(jié)構(gòu)性思維

近年來，單元整體教學的研究熱度很高，這項研究的基礎(chǔ)理論是整體性思想、結(jié)構(gòu)性認識、全局性觀念等。

“單元”是教材編寫的基本單位。翻看每一冊的數(shù)學教材，通常都有6～10個單元，每個單元分屬“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個不同的領(lǐng)域，但同一單元往往是同一領(lǐng)域的知識內(nèi)容相對集中教學，由多個課時組成，課時內(nèi)容之間存在起承轉(zhuǎn)合的密切關(guān)聯(lián)，因而，單元整體教學十分重視這種關(guān)聯(lián)性，以凸顯單元教學的整體感。比如：東北師范大學附屬小學劉仙玲老師所進行的“小學數(shù)學單元模塊式教學的實踐研究”，以系統(tǒng)論為指導，以單元為知識模塊，將單元中的新授課、練習課、復習課、考查課和講評課作為一個整體，進行系統(tǒng)研究和教學設計，追求“整體大于部分之和”的教學效應。四川省特級教師鄭大明老師及其團隊，借鑒了國內(nèi)語文“大單元”教學模式的思路，將單元教學分為單元課、學時課、整合課三個層面，變“茅屋式”建筑的散點教學設計為“大廈式”建筑的框架結(jié)構(gòu)教學設計，實現(xiàn)資源整合與課程再造。

應該說，單元整體教學的價值和意義遠遠不只是進行知識整合，它十分有利于破解長期且普遍存在的“想得不深、教得太散、學得太碎”的教學頑疾，克服由此帶來的學業(yè)負擔重、效率低下等教育弊端。當然，如果立足某一年級、某個學段、某個領(lǐng)域或整個教材體系來思考，不難發(fā)現(xiàn)，每個單元其實只是某個知識板塊、鏈條或領(lǐng)域中一個小小的組成部分而已。這就意味著，單元整體教學又不能純粹地局限在“單元”之內(nèi)，而要用更加宏大的視野和系統(tǒng)性思維來跳出“單元”、超越“單元”，以更好地彰顯整體建構(gòu)的教學特色。

一、高階勾連，整體建構(gòu)課程

所謂高階勾連，就是將每個單元都置于整個小學的內(nèi)容體系中，以“大觀念”統(tǒng)攝知識板塊和領(lǐng)域，建立一種“全景”視域。實現(xiàn)高階勾連，需要從上位的視角居高臨下地尋找與某單元教學內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的學習板塊的共同特質(zhì)，如關(guān)聯(lián)要素、通用方法、內(nèi)在邏輯、核心思想方法等。

如“厘米和米”“分米和毫米”“時、分、秒”“年、月、日”“千克、克、噸”“面積”“角的度量”等單元，分別學習長度、時間、質(zhì)量、面積、角度的計量，這部分內(nèi)容在教材中占比較大，由于涉及不同計量類型，每一種計量單位都有不同的規(guī)定，相互間的進率也具有很大的差別，總體感覺類別多、零散細碎。但是，從計量的角度來看這些教學內(nèi)容，它們之間又存在著統(tǒng)一性，那就是：都用計量標準去度量某一個事物的屬性，得到一個數(shù)值，用這個數(shù)值和計量單位組合起來就產(chǎn)生計量結(jié)果，概括起來講，就是“定標準、去度量、得結(jié)果”。尋找到這樣的統(tǒng)一性，這些看似散亂的內(nèi)容就有了主線和“靈魂”。

把這種建構(gòu)思路遷移到“數(shù)的認識”板塊，可以做出同樣的理解，即整數(shù)就是自然數(shù)“1”的疊加（也可以做更細的思考，即“一”“十”“百”……的組合疊加），小數(shù)是以0.1（或0.01、0.001……）為計數(shù)單位得到的，分數(shù)是由它的分數(shù)單位（幾分之一）疊加形成的結(jié)果。也就是說，與計量相同，計數(shù)過程也是“定標準（計數(shù)單位）、去度量（包含多少個計數(shù)單位）、得結(jié)果”的過程。這樣一來，計數(shù)和計量兩大板塊的課程就整合到了三大層面上：一是計量（數(shù)）單位的學習，二是應用計量（數(shù)）單位去度量的方法（數(shù)一數(shù)、估一估、算一算等）掌握，三是計數(shù)結(jié)果的表示（含數(shù)的組成、意義理解等）。

再如：“數(shù)據(jù)的搜集和整理”“數(shù)據(jù)的整理和表示”“數(shù)據(jù)的表示和分析”“復式統(tǒng)計表”“條形統(tǒng)計圖”“折線統(tǒng)計圖”“扇形統(tǒng)計圖”等單元都是“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的教學內(nèi)容?？傮w看來，“統(tǒng)計與概率”的核心是“數(shù)據(jù)分析”，“數(shù)據(jù)分析”的完整過程是“收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、表達數(shù)據(jù)、應用數(shù)據(jù)”。從表面上看，統(tǒng)計學習就是通過不同的方式來刻畫與描述數(shù)據(jù)。但是，不管是用哪種方式來描述數(shù)據(jù)，整個統(tǒng)計知識的學習都是以數(shù)據(jù)為核心，圍繞數(shù)據(jù)的收集、整理、表達和應用這條主線展開的。第一學段（一至二年級），主要是讓學生形成數(shù)據(jù)意識，即能依據(jù)事物特征，按照一定的標準進行分類;能用語言簡單描述分類的過程，運用文字、圖畫或表格等方式記錄并描述分類后的結(jié)果，體會分類的價值;感知事物的共性和差異，形成初步的數(shù)據(jù)意識。第二學段（三至四年級），主要是讓學生經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)收集、整理、分析和描述的過程，了解簡單的收集數(shù)據(jù)的方法，會呈現(xiàn)數(shù)據(jù)整理的結(jié)果;能用一些圖表合理表示數(shù)據(jù)，初步感受數(shù)據(jù)分析的過程，說明數(shù)據(jù)的現(xiàn)實意義。第三學段（五至六年級），學生能根據(jù)問題的需要，通過合適的方式獲取數(shù)據(jù)，能把數(shù)據(jù)整理成多種形式的統(tǒng)計圖，會解釋統(tǒng)計圖表達的意義，能根據(jù)結(jié)果做出簡單的預測和判斷;知道隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性，并初步感受數(shù)據(jù)對可能性的影響。雖然三個學段側(cè)重點不同，但相互滲透、相互交融，由一根主線串聯(lián)。

數(shù)學教材中，還有一些小單元，如“探索規(guī)律”“數(shù)學廣角”等，大多在一兩個課時完成。這些內(nèi)容也比較零散，且思維要求高，我們可以從核心的數(shù)學思想方法或者學習方法的視角來進行整體建構(gòu)。以蘇教版數(shù)學教材中的探索規(guī)律為例，在一、二年級的習題中穿插編排了綜合相關(guān)內(nèi)容探索簡單的數(shù)和圖形的變化規(guī)律，進行找規(guī)律的滲透，從三年級開始分別學習間隔排列（對應關(guān)系）、有趣的乘法計算（運算關(guān)系）、簡單的周期（重復關(guān)系）、多邊形的內(nèi)角和（推演關(guān)系）、釘子板上的多邊形（轉(zhuǎn)換關(guān)系）、和與積的奇偶性（擴展關(guān)系）、表面涂色的正方體（空間位置關(guān)系）、面積的變化（比例關(guān)系）等內(nèi)容，有涉及圖形的，也有涉及運算的，看似每個內(nèi)容的側(cè)重點都不同，但總體上都按照“猜想—探索—發(fā)現(xiàn)—檢驗—應用”的學習路徑來進行。此外，數(shù)學是一門“關(guān)系”學，從“關(guān)系”的視角來審視這些小單元，可以充分發(fā)掘隱藏在知識背后的關(guān)聯(lián)性，將數(shù)學思想、思維發(fā)展和數(shù)學知識的學習有機結(jié)合起來。

總之，高階勾連就是以整體建構(gòu)數(shù)學六年課程為載體，用居于最頂層的數(shù)學思想方法來統(tǒng)領(lǐng)知識單元、結(jié)構(gòu)、板塊、領(lǐng)域，形成一種“單元貫通，立體互通，課課融通，一通百通”的大格局。

二、高屋建瓴，推進學習進程

當我們將每個知識點、每節(jié)課、每個單元都置于整個小學數(shù)學的內(nèi)容體系中，并連成線、組成面、架成體之后，單元整體教學就要充分凸顯課程的整體性，注重分清層次、以大馭小，突出重點、以主帶次，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)統(tǒng)整的思路，達到“四兩撥千斤”的境界。課堂教學的操作流程和要領(lǐng)有：

（一）逆著發(fā)展線索倒回去，推到所屬大概念

如教學“千米”時，一開始板書出的課題是它的上位概念“長度單位”，讓學生在新知學習之前先回顧已經(jīng)學過的長度單位以及相互間的進率。教學“年、月、日”時，一開始板書出的課題是“時間單位”，讓學生先回顧已經(jīng)學過的時間單位“時、分、秒”和各自表示的“時長”以及相互間的進率。

（二）順著意義關(guān)聯(lián)拉出來，析出核心新知識

退，是為了更好地“進”。如教學“千米”，當學生回顧已經(jīng)學過的四個長度單位“米、分米、厘米、毫米”以及它們之間的進率，繪制出結(jié)構(gòu)圖后，讓學生思考：“如果人們在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造出了第五個長度單位，你覺得這個長度單位可能在什么位置？它跟已經(jīng)學過的這幾個長度單位之間的關(guān)系是什么？”借助已有的長度單位及其十進制的關(guān)系，學生就會猜想出“十米”“百米”“千米”“絲米”等長度單位，新知學習自然產(chǎn)生。當然，意義關(guān)聯(lián)并不只限于知識的關(guān)聯(lián)，還包括技能、思想、方法等的關(guān)聯(lián)。

（三）借助深入思考立起來，提煉新知大道理

當新知從原有的知識結(jié)構(gòu)中生長出來后，就可以通過前后關(guān)聯(lián)，尋找到共同的本質(zhì)要素或者提煉出新知和舊知中蘊含的“大觀念”“大道理”。如教學完“年、月、日”后，跟“時、分、秒”的學習相比較，得出：所有時間單位的學習都需要掌握兩個方面：每個單位的時長和相互間的進率，由此可以進一步提煉出：所有計量單位的學習都需要掌握兩個核心，即每個單位的量值（大?。┖拖嗷ラg的關(guān)系（進率）。再如，學習“2、3、5”的倍數(shù)特征，不能只是記住了判斷一個數(shù)是否為2、3、5的倍數(shù)的特征，更要明白其中的“大道理”，即2、5去除某一個兩位數(shù)，先用十位上的數(shù)除以2、5，所得的余數(shù)正巧都是0，所以只要看個位能否被2、5整除即可。而3去除某一個兩位數(shù)，先用十位上的數(shù)去除以3，再將余數(shù)與個位數(shù)相加，看能否被3整除。也就是說，它們的判定方法是可以相通的，只不過又各有不同。

（四）利用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)長上去，生成認知新結(jié)構(gòu)

教學時只把新知識立起來了并不夠，還要利用系統(tǒng)思維，讓它“長”到學生原有的認識結(jié)構(gòu)當中去，生成認知新知識。比如，學完“圖形的面積”后，要和已經(jīng)學過的周長做比較，用兒歌“周長和面積，圖上二合一;周長是根線，面積為一片” 來建構(gòu)起整體的認知。再如，“用字母表示數(shù)”屬于代數(shù)的初步認識，學習過程中有必要讓學生將本單元的內(nèi)容和以前學習的內(nèi)容進行比較，明白此前學習的都是“具體”情況，即解決問題的方式大多是通過具體數(shù)量的運算得出確定的結(jié)果，沒有相應的具體數(shù)據(jù)，“已知條件”就不充分，問題也無法解答。而今，學習了用字母表示數(shù)后，就跳出了“具體”，走向了“一般”，即將所有的“具體”情況進行了概括性的表達。這就需要一次基于先前基礎(chǔ)又超越先前學習的重構(gòu)——從“具體”走向“概括”，用“概括”來表達“具體”，其中的數(shù)量關(guān)系是不變的。

總之，高屋建瓴就是用學科的魅力和“結(jié)構(gòu)”的力量吸引學生，實現(xiàn)簡教深學、輕負高質(zhì)。從單元教學或系統(tǒng)建構(gòu)的角度來看，這個學習進程需要在不同的認知階段（或課堂）各有側(cè)重，比如“種子課”，重在孕育核心要素;“生長課”，重在形成初步的結(jié)構(gòu)形態(tài);“延展課”，重在不斷豐富和完善認知系統(tǒng)。

三、高層引領(lǐng)，錘煉思維品性

數(shù)學教育的主要功能是幫助學生學會思維，南京大學鄭毓信教授提出：“小學數(shù)學思維教學成功與否的主要標準是，我們的教學是否能夠使學生更加喜歡數(shù)學，更加喜歡思考，并在善于思考這一方向做出積極的努力。”思維發(fā)展是一個動態(tài)變化、累積升華的過程，單元整體教學過程中，由于突出了高階勾連和高屋建瓴，自然就要把學生的整體性思維、結(jié)構(gòu)性思維發(fā)展作為重要的學習目標。數(shù)學學習的基本路徑是知識由少到多，難度由簡單到復雜，而學習智慧的培育可以把重點落在“化多為少，化復雜為簡單”上。

比如，“認識11～20各數(shù)”的教學，數(shù)的范圍從“10以內(nèi)”到“10以上”，這是知識層面的由少到多;創(chuàng)造更大的計數(shù)單位“十”，就化多為少了;蘊含其中的學習智慧是：數(shù)學發(fā)明創(chuàng)造可以讓“計數(shù)”變簡單。如“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學，“一位數(shù)乘法→兩位數(shù)乘法→多位數(shù)乘法”的發(fā)展體現(xiàn)了知識的由少到多，“分數(shù)位乘，合起來加”算法概括則化多為少，蘊含其中的大道理為：“復雜”就是“簡單”的疊加、組合和演變。如“分數(shù)的意義”的教學，“研究具體分數(shù)的意義→概括所有分數(shù)的意義→用分數(shù)的意義解釋更多具體分數(shù)的意義”體現(xiàn)了學習水平“由簡單到復雜”，而化復雜為簡單的方法則是“具體→概括（建立分數(shù)意義表述模型）”，蘊含其中的學習法則是：高水平的數(shù)學學習可以往大處想（概括所有分數(shù)的意義）、往小處看（聚焦分數(shù)單位與組成）、往高處走（用更抽象的數(shù)軸表示分數(shù)）?？傮w看來，由少到多，側(cè)重于“知”;化多為少，側(cè)重于“術(shù)”（方法、原理等），而學習智慧、思維啟蒙則側(cè)重于“道”。前兩者是顯性的，而“道”是隱含的，需要慢慢琢磨、提煉、思考，并經(jīng)過長期的體驗、感受、思考逐步領(lǐng)悟。從日常教學來看，前兩個方面我們已經(jīng)邁出了很大的步伐，第三個方面還比較薄弱，需要教師對此做出切實的努力。著力思維素養(yǎng)，引導內(nèi)生外長，可以從根本上改良學習質(zhì)態(tài)。

總之，數(shù)學的整體性主要表現(xiàn)在數(shù)學知識的系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)上，任何數(shù)學內(nèi)容都來自某一系統(tǒng)，從屬某一結(jié)構(gòu)。從系統(tǒng)、關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)的角度來把握單元整體教學，不僅能凸顯單元內(nèi)容的實質(zhì)，建立超越“單元”的聯(lián)系，而且利于學生形成“從結(jié)構(gòu)的角度把握事物本質(zhì)”的結(jié)構(gòu)化思維。數(shù)學課程標準特別提出，要強化對數(shù)學知識本質(zhì)的理解，提煉能打通數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)、發(fā)揮核心作用的數(shù)學概念，由此確立合適的學習主題，建構(gòu)起數(shù)學學習主題統(tǒng)整下的脈絡清晰、條理分明、相互聯(lián)系的數(shù)學知識體系，通過教學使學生形成簡化的、本質(zhì)的、對未來學習更有支持意義、內(nèi)在邏輯性較強的數(shù)學基礎(chǔ)知識結(jié)構(gòu)。另外，教師在教學中要引導學生在數(shù)學概念、原理及法則之間構(gòu)建起有效的認識結(jié)構(gòu)，體會不同教學內(nèi)容之間數(shù)學研究方法的一致性和可遷移性，幫助學生學會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。這對我們更好地實施單元整體教學乃至于整個基礎(chǔ)教育數(shù)學課程改革都具有很強的指導意義。

注：本文系全國教育科學“十三五”規(guī)劃教育部重點課題“指向整體建構(gòu)的小學數(shù)學簡約教學資源建設”（課題編號：DHA190453）的研究成果。