對矩形波導中電型并矢格林函數(shù)表達式中奇異項的討論

雒向東,張 明,海 波,趙宇杰

(1.蘭州城市學院 電子工程學院；2.甘肅高師 學報編輯部；3.蘭州城市學院 信息工程學院,甘肅 蘭州 730070)

1 問題的提出

一個并矢格林函數(shù)以場源來表示場,即將場看成是點源的場的組合.并矢格林函數(shù)可按照在某一表面上或者在經(jīng)過不連續(xù)面時所滿足的邊界條件進行分類,可分為第一、二類電型和第一、二類磁型以及第三類并矢格林函數(shù).漢森在解決某些電磁問題時,首先引進了三類矢量波函數(shù),分別以L、M、N表示,它們都是齊次亥姆霍茲矢量方程的解.為了推導磁型并矢格林函數(shù)本征函數(shù)展開式,戴振鐸在他的著作中指出不需要使用L函數(shù),[2]但如果要導出電型并矢格林函數(shù)本征函數(shù)展開式,就必須使用L矢量波函數(shù).曾廣侃在他的論文中直接導出了電場和磁場所滿足矢量波動方程的電型并矢格林函數(shù)表達式為:[3]

(1)

2 電型并矢格林函數(shù)的兩種推證方法

2.1 磁型格林函數(shù)推導方法[4-5]

(2)

(3)

用函數(shù)Nem′n′(-h′)做上式前標積,用正交關系和歸一化系數(shù)公式解出系數(shù)為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

將(7)和(8)兩式代入(2)式得

(9)

(10)

(11)

在z=z′處函數(shù)不連續(xù),不連續(xù)磁型并矢格林函數(shù)邊界條件為

(12)

(13)

(14)

由廣義函數(shù)理論知

(15)

利用以上關系可推得

(16)

2.2 電型格林函數(shù)推導方法[4-5]

(17)

引入矢量波函數(shù)Lomn,Lomn(h)定義為

(18)

(19)

Sx=sinkxx,Cx=coskxx,Sy=sinkyy,Cy=coskyy

(20)

Lomn(h)函數(shù)本身以及與其它兩組函數(shù)正交關系如下

(21)

(22)

(23)

可以看出Lomn(h)、Nomn(-h′)在空域包括h的域內(nèi)是正交的，正交關系表示如下

(24)

根據(jù)歐姆—瑞利方法,假設

(25)

為了確定三個系數(shù)A、B、C,用Lom′n′(-h′)對(25)式作前標積得

(26)

用Mem′n′(-h′)、Nom′n′(-h′)對(25)式分別作前標積同樣可得

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

略去“mn”下標,把(30)和(31)式代入(17)式得

(32)

(33)

把Lo和No分成兩部分Lo=Lot+Loz,No=Not+Noz

(34)

Lot和Not代表橫向分量,Loz和Noz代表縱向z分量,這樣可推得(33)式為

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

結果同(16)式.

3 電型并矢格林函數(shù)表達式中奇異項的討論

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

如果波導內(nèi)有一電流J(R′),無旋電場可由下式計算:[7]

(47)

若將空間電荷場暫且記為Es,依據(jù)電磁理論基本關系

(48)

φomn(h)為標量本征函數(shù),對(48)式應用格林函數(shù)法求解可得[9]

(49)

從φomn(h)和J(R′)的邊界條件可以證明下式

(50)

將(50)代入(49)式并對φ取梯度得

(51)

證明得Es(R)=El(R)

(52)

4 關于L類矢量波函數(shù)的說明

?×?×M-κ2M=0

(53)

所以它是電磁場方程在無源時的解,可稱為場的本征模式,具有明確的物理意義.而L滿足方程

?·?L+κ2L=0

(54)

總 結