初中數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)路徑探析

章蓓蓓 王勝

摘 要：高階思維教學(xué)是當(dāng)下頗為引人注目的熱點(diǎn)話題，尤其是數(shù)學(xué)這門學(xué)科。數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思。概括地說，高階思維能力即批判性思維能力、問題求解能力、決策能力、創(chuàng)新能力以及自我調(diào)節(jié)能力等高級綜合能力。如何在有限的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)對學(xué)生進(jìn)行高階思維的培養(yǎng)，如何讓學(xué)生“跳一跳”能夠到更高處的蘋果，有效的問題是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的最自然的途徑。而有效的問題一定是具有深度、廣度與靈活度的問題，如何讓有效的問題真正發(fā)揮功能，引起學(xué)生的思考，這是筆者所在的課題組正在研究探索的問題。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);高階思維;相對論

中圖分類號：G633.6?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2022）01-0101-04

文章中，筆者將所在課題組近兩年來對初中數(shù)學(xué)高階思維教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行總結(jié)，引發(fā)同仁們進(jìn)一步思考初中數(shù)學(xué)課堂高階思維培養(yǎng)的途徑，以及如何通過教學(xué)實(shí)踐來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力。

一、 思維的層級

布盧姆（F. S. Bloom）在《教育目標(biāo)分類學(xué)》中根據(jù)教育目標(biāo)的具體實(shí)現(xiàn)所需要的思維復(fù)雜水平對思維進(jìn)行了區(qū)分，將思維分為“記憶、理解、應(yīng)用、分析、綜合、評價(jià)”等六個(gè)目標(biāo)，其中前三個(gè)目標(biāo)的達(dá)成需要的思維復(fù)雜程度較低，劃分為低階的思維目標(biāo)，而后三個(gè)目標(biāo)的達(dá)成需要的思維復(fù)雜程度較高，屬于高階思維目標(biāo)。

這也和平時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)中的教學(xué)目標(biāo)相吻合。初中數(shù)學(xué)每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)中“了解、理解、掌握、應(yīng)用”等均屬于低階思維，“綜合、分析、應(yīng)用”等屬于高階思維。平時(shí)大多數(shù)的課都能輕松達(dá)到低階思維目標(biāo)：對概念產(chǎn)生過程的了解，對定義的理解，對法則原理的掌握，對定理的應(yīng)用。初中數(shù)學(xué)課堂80%以上的教學(xué)目標(biāo)圍繞這幾個(gè)思維層級，真正涉及高階思維的并不多。

二、 思維的培養(yǎng)

學(xué)生作為生物個(gè)體，心理狀態(tài)、思維能力隨著年齡的增長而逐漸發(fā)展。但如果沒有很好地培養(yǎng)與開發(fā)，學(xué)生的心理狀態(tài)與思維能力就不能達(dá)到最好狀態(tài)。例如記憶力，除去基因遺傳的一小部分影響，多是后天培養(yǎng)所致。課題組曾做過一個(gè)很小的實(shí)驗(yàn)：在七年級的15個(gè)教學(xué)班里，選取一個(gè)程度中等的班級作為實(shí)驗(yàn)班級，在學(xué)過有理數(shù)的大小比較以后的一個(gè)月時(shí)間里，實(shí)驗(yàn)班級的數(shù)學(xué)教師每周選出兩節(jié)數(shù)學(xué)課，在課前的兩分鐘里播放一些關(guān)于比較大小的小視頻，有時(shí)會隔一周再放一次;有時(shí)會做一些關(guān)于比較大小的競答小游戲;有時(shí)會帶著學(xué)生畫數(shù)軸，然后借用數(shù)軸比較大小。總之很輕松愉悅，不構(gòu)成新的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。其他14個(gè)班級正常教學(xué)，沒有增加這個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)過8次強(qiáng)化，在臨近期中的一次年級小測試中，課題組教師有意識地增加了幾個(gè)關(guān)于有理數(shù)大小比較的問題，屬于記憶的思維層級。最后閱卷結(jié)果統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，該實(shí)驗(yàn)班凡是關(guān)于有理數(shù)大小比較的問題得分率普遍高，說明了學(xué)生對這一知識點(diǎn)理解更為透徹。這個(gè)小實(shí)驗(yàn)充分說明記憶力可以訓(xùn)練、培養(yǎng)。

由此可見，各種層級的思維力都是可以后天開發(fā)和培養(yǎng)的，關(guān)鍵是方法要得當(dāng)。例如前面列舉的記憶，更多的是趣味性的、有辨識度地反復(fù)輸入;例如理解，主要靠對知識點(diǎn)的講解，知識點(diǎn)的形成過程、知識點(diǎn)的作用等;例如應(yīng)用，主要是反復(fù)、恰當(dāng)?shù)匮菔緫?yīng)用過程，再帶領(lǐng)學(xué)生嘗試應(yīng)用、鞏固應(yīng)用。因此，低階思維的培養(yǎng)相對簡單易操作，只要有時(shí)間，輔以適當(dāng)?shù)姆椒ǎ寄芷鸬脚囵B(yǎng)效果。

但是高階思維的培養(yǎng)就沒有這么容易了。“綜合、分析、應(yīng)用”三個(gè)層級中，無論哪一個(gè)都不能夠針對某個(gè)單一知識點(diǎn)來完成。這三個(gè)層級的高階思維一方面建立于低階思維之上，即學(xué)生首先要有成熟的低階思維;另一方面其訓(xùn)練又建立在眾多知識點(diǎn)的基礎(chǔ)之上，即學(xué)生要掌握很多的相關(guān)知識點(diǎn)，并且具備相對完整的知識體系。

所以，對于高階思維的培養(yǎng)，要踏實(shí)打好低階思維的基礎(chǔ)，同時(shí)也要扎實(shí)學(xué)好每個(gè)單一的知識點(diǎn)，缺一不可。此外，高階思維的培養(yǎng)更多的是一種長期的熏陶、潛移默化，而不是反復(fù)的識記、簡單的練習(xí)可以達(dá)到的。

三、 高階思維的培養(yǎng)

（一）高階思維的培養(yǎng)，要以優(yōu)化的問題為導(dǎo)向。

好的問題能引發(fā)學(xué)生的思考。教師的語言中盡量多的應(yīng)該是問題，要時(shí)刻注意不能填鴨式或一言堂。所以要做的就是在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，提出合適的問題，造成學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，訓(xùn)練學(xué)生跳躍式的思維。

所以教師要通過盡量多的高質(zhì)量的問題來引導(dǎo)學(xué)生的思考、參與、交流與輸出。筆者認(rèn)為課堂問題可以盡量多一點(diǎn)，問題設(shè)置為不同難度層次，要讓后進(jìn)生也可以回答一些問題，因?yàn)楹筮M(jìn)生的思維也需要得到發(fā)展。優(yōu)等生可以根據(jù)教師的問題提出新的問題。例如，“你是怎么想的？”“你是怎樣想到的？”“還有別的想法嗎？”這樣的問題有助于學(xué)生元認(rèn)知意識的覺醒。這樣以問題激發(fā)學(xué)生思考，以問題訓(xùn)練學(xué)生的歸納概括能力，只有學(xué)生圍繞問題真正去思考了，教學(xué)才真正發(fā)生。所以，好的課堂一定會有大量好的問題，緊張而有趣。

（二）高階思維的培養(yǎng)，要以科學(xué)的設(shè)計(jì)為環(huán)境

教師是課堂的組織者和引導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)生。教師組織水平的高低直接影響到學(xué)生有沒有真正參與。數(shù)學(xué)是思維體操，當(dāng)下我們除了要教會學(xué)生解題，更重要的是教會學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去看問題，用數(shù)學(xué)的方式去思考問題，具體任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生“綜合、分析、質(zhì)疑、評價(jià)”等高階思維品質(zhì)。所以教師要把看似枯燥無味的內(nèi)容以有趣的方式轉(zhuǎn)移到學(xué)生的腦中，要把想對學(xué)生進(jìn)行的塑造變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，沒有科學(xué)的設(shè)計(jì)肯定是不行的。

尤其是初中學(xué)生向師性很強(qiáng)，很容易受教師影響，教師精心設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容最終是通過教師的語言、表情、神態(tài)來表達(dá)，最終聚合成教師的一種數(shù)學(xué)態(tài)度和數(shù)學(xué)熱情，由它們對學(xué)生實(shí)施影響。所以怎樣巧妙利用青少年的好奇心與求知欲，創(chuàng)設(shè)有趣的情境？怎樣既有藝術(shù)性又有趣味性地展開定理的探究？以什么樣的環(huán)節(jié)進(jìn)行小組合作？什么樣的問題可以進(jìn)行小組交流？怎樣設(shè)置問題？是設(shè)置問題串還是設(shè)置追問？這些都需要科學(xué)設(shè)計(jì)。

（三）高階思維的培養(yǎng)，要以適度的練習(xí)為鞏固

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，所以高階思維的培養(yǎng)不能光“思”，還要“練”。很多問題，學(xué)生在聽的時(shí)候，覺得自己是聽懂了，但真正去解決問題時(shí)未必能準(zhǔn)確快速地完成。出現(xiàn)這種現(xiàn)象，除去少數(shù)學(xué)生是真的記不住忘了，或者根本就聽不懂，大多數(shù)學(xué)生是基于以下兩種原因：①從模擬的單一思維路徑，到真實(shí)的復(fù)雜決策情境;②從短小的邏輯環(huán)節(jié)，到漫長的邏輯鏈條。

1. 從模擬的單一思維路徑，到真實(shí)的復(fù)雜決策情境

展開來說，可以解釋為教師在講授知識時(shí)，從條件出發(fā)，一步步走到結(jié)論，每一步都是設(shè)計(jì)好的，順其自然的，學(xué)生的思維按照教師的講解去走，沒有分叉，基本不用動(dòng)腦思考：要拐彎嗎？還有什么分岔路口？例如教師在教授解方程時(shí)先說，第一步是去分母，要用等式基本性質(zhì)1，會做嗎？學(xué)生當(dāng)然會，等式基本性質(zhì)1是剛學(xué)的，印象很深。第二步是去括號，要用分配律，聽懂了嗎？學(xué)生當(dāng)然都聽得懂，因?yàn)榉峙渎稍缇蛯W(xué)過。教師又說，第三步是移項(xiàng)，聽懂了嗎？學(xué)生也都聽得懂，因?yàn)橐祈?xiàng)已經(jīng)學(xué)過。教師又說第四步是合并同類項(xiàng)，利用合并同類項(xiàng)法則，聽懂了嗎？學(xué)生自然也是懂的，因?yàn)檫@個(gè)法則也學(xué)過。老師又說最后一步是系數(shù)化為1，用等式的基本性質(zhì)2，聽懂了嗎？學(xué)生毫無困難，因?yàn)榈仁交拘再|(zhì)是重點(diǎn)學(xué)過的。所以這個(gè)問題講完后，學(xué)生都以為自己聽懂了，而做題時(shí)面臨的是真實(shí)的復(fù)雜決策情境，雖然主路還是那一條路，但一路上會碰到很多個(gè)岔路口，或許學(xué)生會想：第一步是去分母還是去括號呢？要是去分母的話，后面一步還要去分母，并且計(jì)算很麻煩。就算選擇去分母，是僅去掉中括號外面的分母，還是一次性將中括號內(nèi)的分母也去掉？如果是去括號的話，是僅去掉中括號，還是連續(xù)將小括號也去掉呢？如果把兩個(gè)括號都去掉，分?jǐn)?shù)的運(yùn)算太復(fù)雜了，還不如去分母呢！……這么復(fù)雜，是不是越想越錯(cuò)??？第一步就不該去括號吧！重新開始試一下……學(xué)生就在這樣的舉棋不定與不斷懷疑中，還沒完全展開思維，思路就混亂了。

2. 從短小的邏輯環(huán)節(jié)，到漫長的邏輯鏈條

原因二就更易理解。學(xué)生聽得懂每一個(gè)短小的邏輯環(huán)節(jié)，卻不明白漫長的邏輯鏈條。比如，一道一元一次方程應(yīng)用題的邏輯鏈條是這樣的：A字母表示數(shù)→B整式→C整式的加減→D等式的基本性質(zhì)→E解方程→F找等量關(guān)系列方程。學(xué)生在學(xué)習(xí)每一個(gè)環(huán)節(jié)時(shí)都能聽懂，但是面對一個(gè)完整的應(yīng)用型問題卻不會了。這是因?yàn)?，學(xué)生聽懂的其實(shí)是A到B、B到C、C到D，以及E到F這一個(gè)個(gè)短小的邏輯環(huán)節(jié)，但并沒有把這個(gè)漫長的邏輯鏈條串聯(lián)起來。也就是說，實(shí)際做題需要完整的邏輯鏈條時(shí)，學(xué)生其實(shí)是茫然的。

3. 解決辦法

針對原因一，根據(jù)學(xué)習(xí)金字塔原理，學(xué)習(xí)效果排序：聽講<閱讀<視聽<演示<討論<實(shí)踐<教授他人。所以實(shí)踐和教授他人是最佳的鞏固方式。針對原因二，教師要教授學(xué)生盡量將思維可視化，也就是說在解決問題時(shí)想到哪一步及時(shí)記下來或畫下來，清空大腦里有限的存儲空間，讓大腦更有力地思考接下來的一個(gè)小邏輯環(huán)節(jié)。無論以上哪種原因，都需要適度的練習(xí)來強(qiáng)化鞏固。課堂上和課后都要有相應(yīng)的練習(xí)，并且要增加學(xué)生演示、學(xué)生討論的環(huán)節(jié)，盡可能讓學(xué)生來教授他人，或者讓學(xué)生點(diǎn)評其他學(xué)生的練習(xí)，以此來鍛煉學(xué)生的評價(jià)能力、批判能力、質(zhì)疑能力。

四、 高階思維的教學(xué)

（一）高階思維教學(xué)實(shí)例

筆者所在課題組曾組織過一次高階思維的同課異構(gòu)課，有一節(jié)課課題是“配方法解一元二次方程”。以往常規(guī)的教學(xué)設(shè)計(jì)是這樣的：復(fù)習(xí)已學(xué)過的直接開平方法解方程，然后給出一個(gè)例如“x2+2x-8=0”的方程，讓學(xué)生思考怎么解，學(xué)生聯(lián)系到前面的直接開平方法解方程，會想到需要把左邊變成平方的形式，然后老師就會畫面一轉(zhuǎn)，停下來復(fù)習(xí)完全平方公式，然后再給出一組只有前兩項(xiàng)的式子，讓學(xué)生配第三項(xiàng)。等這一組式子的配方練好后再回到前面的方程，對等號左邊進(jìn)行配方求解。這一個(gè)環(huán)節(jié)推進(jìn)得非常快，因?yàn)楹竺嬉舸罅繒r(shí)間進(jìn)行解方程的練習(xí)。

課題組里葉老師的課獨(dú)具一格，起初她也讓學(xué)生解方程x2=9，學(xué)生輕松得出x=±3，接著讓學(xué)生解方程（x+1）2=9，學(xué)生會想到x+1=±3，然后分別解兩個(gè)一元一次方程，再然后讓學(xué)生思考解方程x2+2x+1=9，幾乎所有學(xué)生瞬間就會，這時(shí)拋出方程x2+2x=8。學(xué)生幾乎異口同聲回答：方程兩邊同時(shí)加上1。然后葉老師提問：為什么兩邊是加上1，而不是加上2、加上3、加上4呢？學(xué)生一下子愣住了，兩邊加1幾乎是條件反射，為什么不是加2、加3？學(xué)生不知道怎么回答。這時(shí)葉老師就讓學(xué)生嘗試，如果兩邊加2會怎么樣？兩邊加3會怎么樣？學(xué)生嘗試之后發(fā)現(xiàn)，隨意加一個(gè)數(shù)并不能組成完全平方式。這時(shí)葉老師又回到問題：那為什么是加1呢？1是怎么來的呢？之后葉老師才帶著學(xué)生深入剖析兩邊為什么要加上1。這一部分葉老師的節(jié)奏就放得特別慢，學(xué)生對為什么非要加1有了很深刻的認(rèn)識。這時(shí)葉老師讓學(xué)生進(jìn)行三個(gè)解方程的練習(xí)，并請學(xué)生上黑板板演。這3個(gè)方程很有用心，前兩個(gè)是二次項(xiàng)系數(shù)為1的，用來鞏固剛才所講內(nèi)容，第三個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)并不為1，是用來讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新矛盾。果然，前兩個(gè)方程板演的學(xué)生沒有任何困難，第三個(gè)方程板演的學(xué)生就是兩邊加上了一次項(xiàng)系數(shù)的平方。很多學(xué)生都是這樣做的，葉老師引導(dǎo)學(xué)生把配好的式子重新展開，結(jié)果學(xué)生發(fā)現(xiàn)并不是原來的配方前的方程了，由此引出新的認(rèn)知矛盾。然后葉老師讓學(xué)生找出問題出在哪里，這個(gè)方程和之前研究的方程究竟有什么不同。學(xué)生充分討論后發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1，導(dǎo)致了這個(gè)矛盾。對于這類方程，其實(shí)發(fā)現(xiàn)問題所在是最可貴的，因?yàn)閷W(xué)生很輕松地就能把二次項(xiàng)系數(shù)化為1去解決。所以在這里，葉老師給足了學(xué)生時(shí)間，節(jié)奏非常慢，讓學(xué)生去困惑，去發(fā)現(xiàn)。盡管離下課時(shí)間很近了，葉老師都耐心地組織學(xué)生討論是先把常數(shù)項(xiàng)移到右邊好，還是先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1好。最后得出結(jié)論：都可以，根據(jù)題目特征和自己的解題習(xí)慣而定?？偨Y(jié)完所有配方法要點(diǎn)后，全班只進(jìn)行了一個(gè)練習(xí)，這節(jié)課就結(jié)束了。但是從聽課效果來看，學(xué)生掌握得非常好。

這節(jié)課較多的時(shí)間花在設(shè)疑、試錯(cuò)、引起矛盾上。教師不隨意無效提問、不重復(fù)做題而浪費(fèi)時(shí)間，主動(dòng)在解題路徑上設(shè)置岔路口，訓(xùn)練學(xué)生在復(fù)雜情境中做決策的能力。

（二）高階思維教學(xué)對教師提出要求

1. 教師的思維要有足夠的深度和廣度

教師的思維要有足夠的深度和廣度，課堂上才能用自己活躍的思維去帶動(dòng)不同程度的學(xué)生。例如在講習(xí)題時(shí)，隨時(shí)根據(jù)時(shí)間和學(xué)生掌握情況決定是否開展多題一解的總結(jié)，是否要開展一題多變的訓(xùn)練，是否根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行追問，要追問到什么程度，是否提煉出模型，還是說要增加一些基礎(chǔ)性的練習(xí)，是否增加中等問題的學(xué)生板演和學(xué)生評價(jià)。一位優(yōu)秀的教師，并不是在備課時(shí)把所有環(huán)節(jié)設(shè)置得絲毫不差，而是把這些可能性提前預(yù)備好，課堂上隨時(shí)增減，隨時(shí)變化。

2. 教師要對數(shù)學(xué)有足夠的熱愛

教師若不癡迷，學(xué)生如何沉醉其中？一位數(shù)學(xué)教師，只有喜歡數(shù)學(xué)，才會想盡一切方法把自己的這種美好感覺傳達(dá)給學(xué)生，才會絞盡腦汁地讓每一個(gè)數(shù)學(xué)問題都淋漓盡致地展現(xiàn)出它的美妙。一位對數(shù)學(xué)充滿熱情的教師首先自己就站在數(shù)學(xué)的高地上，在自己心中對每一個(gè)知識點(diǎn)都有一個(gè)完整清晰的邏輯鏈條。一個(gè)正常的初中學(xué)生回頭去學(xué)小學(xué)的內(nèi)容一定會覺得異常簡單，因?yàn)樗延辛艘欢ǖ慕?jīng)驗(yàn)積累和感悟，去理解在他能力范圍之內(nèi)的知識很容易。同樣道理，在教師眼中初中的數(shù)學(xué)知識也是很簡單的，但是這些簡單的知識組成的一個(gè)個(gè)知識串、相互的關(guān)聯(lián)、課本上每一章節(jié)知識點(diǎn)如此安排的用意以及每一個(gè)例題的代表性和功能，更要了解透徹，只有這樣，才能帶著學(xué)生站在高地上向下看，學(xué)生會在教師的引領(lǐng)下覺得原來難度也就如此，題目間的相互變化就是這些，對不同的問題想說明的數(shù)學(xué)道理了然于胸，于是從心理上先戰(zhàn)勝了知識點(diǎn)。這就要求教師要具備所有知識點(diǎn)的完整邏輯鏈條。教師只有有了這樣的知識儲備，才能對學(xué)生進(jìn)行正確的引導(dǎo)，形成潛移默化的影響。

3. 教師要有教育智慧和教學(xué)素養(yǎng)

例如，善于制造各種認(rèn)知沖突。認(rèn)知沖突能有效培養(yǎng)學(xué)生的綜合、評價(jià)等高階思維能力。例如，提高課堂教學(xué)的“立意”，高立意有利于學(xué)生清晰了解該知識點(diǎn)在整個(gè)知識邏輯鏈條中的位置。例如，內(nèi)容安排巧妙科學(xué)，強(qiáng)調(diào)不同內(nèi)容的聯(lián)系性、數(shù)學(xué)思想方法的一致性。例如，“靜態(tài)預(yù)設(shè)、動(dòng)態(tài)生成”。給學(xué)生足夠的思維可視的機(jī)會和時(shí)間。例如，用恰時(shí)恰點(diǎn)、直擊要害、反映本質(zhì)的問題引發(fā)學(xué)生思考、討論。例如，形成自己的教學(xué)特色和風(fēng)格，吸引學(xué)生愛上數(shù)學(xué)、愛上思考。

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作者簡介：章蓓蓓（1975～），女，漢族，江蘇建湖人，安徽省合肥市五十中學(xué)新校望岳校區(qū)，中學(xué)高級教師、副校長，研究方向：初中數(shù)學(xué)高階思維教學(xué);

王勝（1978～），男，漢族，安徽淮南人，安徽省合肥市五十中學(xué)新校望岳校區(qū)，數(shù)學(xué)教研組長，中學(xué)一級教師，研究方向：媒體技術(shù)輔助教學(xué)。