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    時間尺度上Nielsen方程的Mei對稱性與守恒量

    2022-04-18 09:58:36舒蓮蓮朱建青
    關(guān)鍵詞:生成元時間尺度對稱性

    舒蓮蓮, 朱建青

    (蘇州科技大學數(shù)學科學學院, 江蘇 蘇州 215009)

    Hilger于1988年提出時間尺度概念. Bohner和Peterson整理并出版了首本時間尺度理論的專著[1], 以及線性動力學方程[2], 隨后眾多學者對時間尺度這一領域深入研究[3-6]. 運用時間尺度上的動力學方程, 可以解決許多在實際問題中的建模問題, 如經(jīng)濟學[7]中, 將成本函數(shù)結(jié)合時間尺度上的微分方程, 所得結(jié)果可最大化提高企業(yè)未來的競爭力. 在醫(yī)學[8]中, 骨重建可表示為Lemaire動力學模型, 簡單的模型有助于觀察到動力學的定性性質(zhì), 例如沒有超調(diào)和回彈等, 在描述繁雜的數(shù)學科技語言中扮演重要角色.

    1935年, 丹麥Nielsen教授得到一類運動微分方程-Nielsen方程[9]. 我國分析力學領域先驅(qū)者梅鳳翔教授提出了Nielsen算子. 在分析力學中, Nielsen方程與Lagrange方程享有同等重要地位. 而在某些情況下, Nielsen方程更方便, 如文獻[10]中表明使用Nielsen方程對電路系統(tǒng)進行建模, 運用到的計算方法比使用Lagrange方程建模更容易, 因此研究Nielsen方程的構(gòu)造、解或約化等很有意義. 1918年, Noether提出Noether對稱性[11]. 1979年, Lutzky提出Lie對稱性[12]. 2000年, 梅鳳翔教授在此基礎上, 首次提出一種形式不變性[13], 并稱為Mei對稱性. Mei對稱性導出動力學系統(tǒng)的守恒量推動了分析力學領域的發(fā)展[14-20]. 賈利群等學者利用Mei對稱性尋求Nielsen方程的守恒量進行了詳細研究[21-22]. 2008年,Bartosiewicz和Torres首次將力學系統(tǒng)的Noether對稱性應用于時間尺度上[23]. 隨后, 眾多學者將目光轉(zhuǎn)向此類研究方向[24-27], 孔楠給出了時間尺度上Lagrange系統(tǒng)Mei對稱性定義和判據(jù)方程, 討論了Mei對稱性導致的多個Mei守恒量[28]. 翟相華研究了時間尺度上Birkhoff與Hamilton力學系統(tǒng)的Mei對稱性與守恒量[29]. 本文運用Mei對稱性尋求時間尺度上Nielsen方程的守恒量, 根據(jù)時間尺度上鏈式法則, 建立單自由度的Nielsen運動微分方程, 給出Nielsen方程的Mei對稱性的定義和判據(jù), 從而導出守恒量, 文章的結(jié)尾處用例子來說明應用.

    1 時間尺度上的Nielsen方程

    由文獻[30], 時間尺度上一般完整系統(tǒng)的Lagrange方程是

    (1)

    為推導簡便, 本文主要將單自由度的Nielsen方程作為研究對象.

    (2)

    則方程(1)可表示為

    (3)

    因為Lagrange函數(shù)對t的Δ導數(shù)是

    (4)

    LΔ對qΔ的偏導數(shù)是

    (5)

    比較(3)與(5)式, 可得到

    (6)

    綜上, 得出時間尺度上一般完整系統(tǒng)的Nielsen方程

    (7)

    2 時間尺度上Nielsen方程的Mei對稱性和判據(jù)

    N(L)=Q″.

    (8)

    時間尺度上的無限小變換

    (9)

    其中,ε為無限小參數(shù),ξ0和ξ為無限小變換的生成元.在(9)的變換下, 函數(shù)L(t,qσ,qΔ)和Q″(t,qσ,qΔ)分別變?yōu)長*(t,(qσ)*,(qΔ)*)和Q″(t,(qσ)*,(qΔ)*).

    定義1經(jīng)過(9)式變換后動力學函數(shù)L和Q″分別被L*和Q″*所代替, (8)式的形式未改變, 即

    N(L*)=Q″*,

    (10)

    則這樣的不變性稱為時間尺度上Nielsen方程的Mei對稱性.

    展開L*和Q″*, 有

    L*=L*(t,(qσ)*,(qΔ)*)=

    L(t,qσ,qΔ)+εX(1)(L)+o(ε2)

    Q″*=Q″*(t,(qσ)*,(qΔ)*)=

    Q″(t,qσ,qΔ)+εX(1)(Q″)+o(ε2),

    (11)

    其中,

    (12)

    將(11)式代入(10)式, 忽略ε2和更高階的小量, 并聯(lián)系 (8)式, 得到

    N(X(1)(L))=Q″.

    (13)

    判據(jù)時間尺度上的Nielsen方程, 如若(9)式變換的無限小生成元ξ0和ξ滿足 (13)式, 則對應的不變性稱為其Mei對稱性, (13)式被定為Mei對稱性相應的判據(jù)方程.

    3 時間尺度上Nielsen方程的Mei對稱性與守恒量

    定理1如若時間尺度上的Nielsen方程(7)的Mei對稱性相應的生成元ξ0和ξ以及規(guī)范函數(shù)G=G(t,qσ,qΔ)滿足以下條件

    GΔ=0,

    (14)

    則Nielsen方程由Mei對稱性得出的守恒量是

    (15)

    證明將式(15)兩邊對t求Δ-導數(shù), 并利用方程(7)和式(14), 可得

    GΔ=0.

    (16)

    證畢.

    推論1當時間尺度T=, 則σ(t)=t,μ(t)=0, 于是由(15)式得出經(jīng)典結(jié)構(gòu)方程

    (17)

    得到經(jīng)典力學下的Nielsen方程的Mei守恒量[21]

    (18)

    定理2如若時間尺度上的Nielsen方程(7)的Mei對稱性的規(guī)范函數(shù)G=G(t,qσ,qΔ)和相應的生成元ξ0和ξ滿足以下條件

    (19)

    則Nielsen方程Mei對稱性得出的守恒量為

    (20)

    證明將式(20)兩邊對t求Δ-導數(shù), 并利用方程(7)和式(14), 可得

    qΔX(1)(Q″)+GΔ=0.

    (21)

    證畢.

    推論2當時間尺度T=, 則σ(t)=t,μ(t)=0, 于是由(19)式得出經(jīng)典結(jié)構(gòu)方程

    (22)

    得到經(jīng)典力學下的Nielsen方程的Mei守恒量

    (23)

    4 算例

    例1在時間尺度T={2m+1:m∈N}上, Langrange函數(shù)為

    (24)

    分析Nielsen方程的Mei對稱性相對應(15)式的Mei守恒量.

    計算得到

    (25)

    將(24)式代入方程(7)得到:

    2tqΔΔ+qΔ=1,

    (26)

    計算得到

    (27)

    (28)

    X(1)(L)=-qσ,X(1)[X(1)(L)]=-1,

    X(1)(Q″)=1.

    (29)

    將(28)式代入結(jié)構(gòu)方程(14)中得到

    G=t-tqΔ,

    (30)

    由(15)式可得Nielsen方程的守恒量

    I=t-tqΔ.

    (31)

    例2在時間尺度Τ={3m+1:m∈N∪{0}}上, Langrange函數(shù)為

    (32)

    分析Nielsen方程的Mei對稱性相對于(20)式的Mei守恒量.

    計算得到

    (33)

    將(31)式代入方程(7)得:

    2qΔΔ+1=0,

    (34)

    計算得到

    (35)

    (36)

    (37)

    將(35)式代入結(jié)構(gòu)方程(19)中得到

    G=qσ+2qΔ+t,

    (38)

    由(20)式可得Nielsen方程的守恒量

    I=2qΔ+t.

    (39)

    5 結(jié)束語

    時間尺度理論為統(tǒng)一連續(xù)、離散與量子等多樣復雜的系統(tǒng)提供了重要的理論支撐, 為分析力學領域的發(fā)展, 越來越多的科研工作者關(guān)注并著手研究這一領域. 時間尺度上Nielsen方程的Mei對稱性與守恒量是文章主要研究的問題, 由鏈式法則推導出時間尺度上Nielsen方程, 再設定Mei對稱性的定義及判據(jù), 從而得出來兩個Mei守恒量. 當時間尺度退化到實數(shù)域時, 該守恒量可退化到經(jīng)典Nielsen方程的守恒量, 并通過例子說明結(jié)果的有效性. 在時間尺度上運用對稱性方法尋找動力學微分方程的守恒量, 是個靈活有效且變通性較強的方法, 未來研究可將本文時間尺度上Mei對稱性的思想方法應用于不同類型的動力學方程.

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