一元多項式因式分解的一種方法

高來志

(洛陽市環(huán)境保護設計研究所， 河南 洛陽 471000)

判別一元多項式環(huán)P[x]中的一元多項式f(x)在不做開方運算條件下是否可分解， 把可分解的一元多項式分解成f(x)=g1(x)r1g2(x)r2…gl(x)rl， 目前還沒有一般的有效方法[1-2]. 解決這個問題對徹底解決非線性代數方程(組)難題有重要意義. 筆者以文獻[3]的消元方法為基礎提出了一元多項式因式分解的一種方法.

1 構造b1,b2,…,bm的導出結式和導出多項式簇

設

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an(n≥3)

(1.1)

為數域P中任意給定的一個一元本原整系數多項式或一元整式實系數(復系數)多項式(f(x)的系數和常數項中沒有公因子、不含分母、有理數和根式內的有理數為整數).

設

g0(x)=xm+b1xm-1+…+bm(2≤m

(1.2)

為f(x)的因式.

建立f(x),g0(x)的西爾維斯特結式矩陣：[2]

(1.3)

對結式矩陣(1.3)進行n步消元， 把其化成階梯形矩陣

(1.4)

其中

i,j=n+1,n+2, …,n+m

(1.5)

在m2個hij(b1,b2, …,bm)多項式中， 挑選項數少、bt(1≤t≤m)最高次冪低和個數少的m個多項式為hs(b1,b2, …,bm)多項式. 在m個hs(b1,b2, …,bm)多項式中， 擇其中一個bm最高次冪最低、項數最少的多項式為hmin(bm)多項式， 剩余的m-1個多項式為hs1(bm)多項式. 由此構造b1,b2, …,bm的導出結式和導出多項式簇：

res (hs1,hmin,bm)=βs1hs1(b1, …,bm-1)

s1=1, …,m-1

res (hs2,hmin,bm-1)=βs2hs2(b1, …,bm-2)

s2=1, …,m-2

……

res (hsm-1,hmin,b2)=βsm-1hsm-1(b1)

sm-1=1

(1.6)

2 一元多項式因式分解的具體方法

1) 仿照求有理根的方法, 對f(x)的首項系數和常數項做因子分解， 用f(x)的首項系數因子和常數項因子試算， 找f(x)的根. 若找到f(x)的根， 分解f(x)的一次因式. 否則f(x)中沒有可分解的一次因式.

2) 對f(x)分解一次因式后， 若剩余部分是一個四次或四次以上多項式， 視這個多項式為f(x). 用上節(jié)的方法構造b1,b2, …,bm的導出結式和導出多項式簇. 仿照求有理根的方法, 對hsm-1(b1)多項式的首項系數和常數項作因子分解， 用hsm-1(b1)的首項系數因子和常數項因子試算， 找hsm-1(b1)的根. 把找出的hsm-1(b1)的根b1代入res (hsm-1,hmin,b2) 結式的三角形結式的倒數第2行， 求出b2；把b1、b2代入一個res (hsm-2,hmin,b3)結式的三角形結式的倒數第2行， 求出b3；…… ；把b1,b2, …,bm-1代入一個res (hs1,hmin,bm)結式的三角形結式的倒數第2行， 求出bm. 在g0(x)上乘一個適當整數或一個適當整式， 使其變成一元本原整系數或一元整式實系數(復系數)因式g(x)(g(x)的系數和常數項中沒有公因子、不含分母、有理數和根式內的有理數為整數). 分解f(x)的因式g(x). 否則， 找求不出b1,b2, …,bm，f(x)中沒有可分解的g0(x)因式. 按這種方法， 依次分解f(x)的二次和二次以上因式, 直至f(x)的可分解因式被完全分解為止.

3) 最后， 根據分解結果， 寫出f(x)的分解式.

4) 如果f(x)的首項系數或常數項、hsm-1(b1)的首項系數或常數項是由多種數混合組成的多項數構成， 用如下方法進行因子分解：找出項與項中有公因子的所有組合， 把每個組合的所有項合并和把公因子提到括號外邊， 把括號中內容相同的不同組合合并， 得分解的每個因子. 否則， 所給首項系數或常數項不能分解.

5) 根指數相同的根式與根式做乘除, 只許根式內的根底數與根底數做乘除， 不可化簡.

證明

矩陣(1.3)是根據矩陣的線性相關定義建立起來的, 因為g0(x)是f(x)在不做開方運算條件下或做開方運算條件下的可分解因式, 對矩陣(1.3)進行n-1步消元后, 第n行的非零元素和第n+i行(1≤i≤m)的非零元素成比例, 所以,n步消元結果(1.5)式成立.

(1.6)式是根據兩個不同多項式有公根結式為零的定理構造出來的[2].f(x)在不做開方運算條件下存在可分解因式g0(x)時,b1,b2, …,bm直接存在于矩陣(1.3)、 矩陣(1.4)、 (1.5) 式、 (1.6) 式中, 利用(1.6)式可找求出b1,b2, …,bm;f(x)在不做開方運算條件下不可分解時,b1,b2, …,bm不存在, 從(1.6) 式中找求不出b1,b2, …,bm.

3 算例

3.1 試分解因式

(1)

最后， 得f(x)的分解式為

3.2 試分解三次因式

f(x)=3x4-8x3-4x2-2x+15

解：設g0(x)=x3+b1x2+b2x+b3是f(x) 的因式.

(1)

(2)

(3)

3.3 試對多項數作因子分解

解：第1步， 找出項與項中有公因子的所有組合， 把每個組合的所有項合并和把公因子提到括號外邊.

第2步， 把括號中內容相同的不同組合合并， 得分解的每個因子.

第3步， 綜合以上分解結果， 得多項數的因子分解式.

4 結論

本文提出的一元多項式因式分解方法， 從理論上和實際上完全解決了一元有理系數多項式有理分解的判別和分解問題， 同時， 也解決了一元實系數多項式和一元復系數多項式在不做開方運算條件下因式分解的判別和分解問題.