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    基于深度學(xué)習(xí)優(yōu)化概念教學(xué)

    2022-04-08 00:54:38徐利花
    關(guān)鍵詞:概念教學(xué)深度學(xué)習(xí)

    【摘 要】 針對高中數(shù)學(xué)概念的抽象性,教師通過深度教學(xué),促使學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延,牢固掌握概念,靈活運用概念,指引學(xué)生從“淺層學(xué)習(xí)”走向“深度學(xué)習(xí)”.以滬教版新教材“事件的獨立性”為例,闡述基于深度學(xué)習(xí)如何優(yōu)化數(shù)學(xué)概念教學(xué).

    【關(guān)鍵詞】 深度學(xué)習(xí);概念教學(xué);事件的獨立性

    1 深度學(xué)習(xí)對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義

    數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反應(yīng)形式,是數(shù)學(xué)知識的“細(xì)胞”.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》明確提出:通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(簡稱“四基”);提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)[1].章建躍指出:數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是概念教學(xué),讓學(xué)生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題的習(xí)慣;加強概念的聯(lián)系性,使學(xué)生學(xué)會從概念的聯(lián)系中尋找解題方法[2]. 因此概念教學(xué)是學(xué)生落實“四基”,提高“四能”的基礎(chǔ),是提升數(shù)學(xué)思想、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、落實核心素養(yǎng)的基石.

    “深度學(xué)習(xí)”是指“學(xué)習(xí)者能動地參與教學(xué)的總稱”,即通過學(xué)習(xí)者能動地學(xué)習(xí),培育囊括了認(rèn)知性、倫理性、社會性能力,以及教養(yǎng)、知識、體驗在內(nèi)的通用能力[3].針對高中大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念的抽象性,教師通過深度教學(xué),促使學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延,牢固掌握概念,靈活運用概念,進(jìn)而學(xué)生的學(xué)習(xí)從“淺層學(xué)習(xí)”走向“深度學(xué)習(xí)”.通過教師深度教學(xué),學(xué)生深度參與課堂活動,使學(xué)生將既有知識與經(jīng)驗鏈接起來.關(guān)注邏輯與推理,發(fā)展批判性思維,變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí),促進(jìn)核心素養(yǎng)的落實.

    基于高中數(shù)學(xué)概念的抽象性,教師需要深度研究課標(biāo)、教材與學(xué)情,創(chuàng)設(shè)合適的情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握概念的本質(zhì).以下是筆者整理的概念教學(xué)設(shè)計的一般流程圖(見圖1),可以為一線教師的實踐探索提供有價值的、可參考借鑒的范式.

    2 借助情景教學(xué)促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí)

    在理論的指導(dǎo)下,結(jié)合教學(xué)實踐,以滬教版新教材中“事件的獨立性”為例,闡述如何借助情景優(yōu)化概念教學(xué),促進(jìn)深度學(xué)習(xí).2.1 教材及學(xué)情分析

    本節(jié)課是滬教版新教材必修三“概率初步”中“隨機(jī)事件的獨立性”的第二課時,主要內(nèi)容是事件的獨立性.本章是概率的初步,借助實際情景,讓學(xué)生深刻理解如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界.本節(jié)課在學(xué)生掌握了隨機(jī)現(xiàn)象與樣本空間、古典概率、頻率與概率的基礎(chǔ)上,經(jīng)歷用集合語言表示事件的過程,進(jìn)一步研究事件的獨立性,將直覺與理論緊密結(jié)合,逐步理解概率的思想,重視對概率空間的認(rèn)識,重視數(shù)學(xué)模型的建立.依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點,遵循從具體到抽象、從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律,借助古典概型定義下的概率,得到相互獨立的兩個事件的概率與交事件概率間的關(guān)系,并為后面條件概率和二項分布的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

    本節(jié)課的授課對象是高二美術(shù)班學(xué)生,他們大部分學(xué)習(xí)積極努力、態(tài)度端正、想象力豐富,但是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱,思維方式較固定,對概率的學(xué)習(xí)有畏懼感,這些都可能對本節(jié)課的教學(xué)產(chǎn)生影響. 2.2 教學(xué)目標(biāo)

    (1)理解事件獨立的定義,并能運用兩個事件相互獨立的充要條件判斷兩個事件是否獨立;

    (2)掌握隨機(jī)事件獨立的性質(zhì),會利用事件的獨立性解決較復(fù)雜的概率問題,感受事件的獨立性在實際生活中的應(yīng)用;

    (3)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),滲透分類思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想,培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納的能力,提升分析問題和解決問題的能力,發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).2.3 教學(xué)過程2.3.1 情景建模 復(fù)習(xí)舊知問題1 拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,用A,B分別表示事件“甲正面朝上”與“乙正面朝上”,試判斷:1.事件A與B獨立嗎?2.試求甲乙都是正面朝上的概率.

    師:我準(zhǔn)備了兩枚硬幣,現(xiàn)在請同學(xué)甲、乙分別拋擲這兩枚硬幣,感受事件A與B獨立嗎?

    生1:通過兩位同學(xué)的演示,可直觀感知事件A與B獨立.

    生2:從概率的角度來看,通過兩個事件獨立的定義去判斷,若P(A∩B)=P(A)P(B),則事件A與B相互獨立.P(A)=12,P(B)=12,而P(A∩B)=14,所以事件A與B相互獨立.師:大家能否回憶一下我們上節(jié)課所學(xué)的獨立隨機(jī)事件的定義?

    生3:兩個事件A與B相互獨立是指它們同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生概率的乘積,即P(A∩B)=P(A)P(B).

    師:判斷兩個事件獨立的充要條件是什么?

    生4:事件A與B(相互)獨立P(A∩B)=P(A)P(B).

    師:回憶如果事件A與B獨立,則事件與B什么關(guān)系?事件A與呢?事件與呢?

    生5:如果事件A與B相互獨立,則事件與B相互獨立;同理可知事件A與相互獨立,事件與相互也獨立.

    問題2 如果A,B是獨立事件,,分別是A,B的對立事件,那么以下等式不一定成立的是(? ).

    A.P(A∩B)=P(A)P(B)B.P(∩B)=P()P(B)

    C.P(A∪B)=P(A)+P(B)D.P(∩)=[1-P(A)][1-P(B)]

    生6:如果事件A與B獨立,則事件與B獨立;事件A與獨立,事件與也獨立,利用兩個事件獨立的充要條件即可判斷選項A,B,D正確,而選項C是兩個事件互斥的性質(zhì).設(shè)計意圖 通過熟悉的獨立隨機(jī)事件,直觀感知事件A與B是獨立的,而需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐袛?,必須通過事件獨立的定義,將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.教師引導(dǎo),學(xué)生復(fù)習(xí)回憶上節(jié)課所學(xué)的知識,并通過問題1、2讓學(xué)生加深理解兩個事件獨立的充要條件、對立事件的性質(zhì)、互斥事件的性質(zhì)、事件獨立性的性質(zhì).滲透類比思想,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.3.2 概念辨析 深度研究

    例1 判斷下列事件A與B是否相互獨立?

    (1)從一副去掉大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張牌,用A,B分別表示事件“取得的牌面數(shù)是10”與“取得的牌的花色是紅桃”;

    生7:該題無法直觀感知兩個事件是否相互獨立,只能嚴(yán)格依據(jù)事件獨立性的充要條件去判斷.P(A)=452=113,P(B)=1352=14,而P(A∩B)=152,所以A,B相互獨立.

    (2)擲一顆骰子,用A,B分別表示事件“結(jié)果是偶數(shù)”“結(jié)果是奇數(shù)”;

    生8:事件A與B不可能同時發(fā)生,P(A∩B)=0,而P(A)=12,P(B)=12,因此P(A∩B)≠P(A)P(B),所以A與B不獨立.

    問題3 P(A∩B)=0,事件A與B是什么關(guān)系?互斥事件與對立事件一樣嗎?互斥事件與獨立事件一樣嗎?

    生9:P(A∩B)=0,所以事件A與B是互斥的.該問題中的事件A與B不僅是互斥事件還是對立事件.互斥事件與對立事件、互斥事件與獨立事件是完全不同的概念.

    問題4 互斥事件與獨立事件在哪些方面不同?

    生10:從定義來看:互斥事件是兩個不可能同時發(fā)生的事件,而獨立事件是指事件A是否發(fā)生不受事件B的影響;從性質(zhì)來看:事件A與B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B),事件A與B相互獨立,則P(A∩B)=P(A)P(B).

    (3)擲一顆骰子,事件A表示“結(jié)果是2”,事件B表示“結(jié)果是有理數(shù)”;

    生11:P(A)=16,P(B)=1,P(A∩B)=16,則P(A∩B)=P(A)P(B),所以A,B相互獨立.問題5 P(B)=1,事件B是什么事件?

    眾生:事件B為必然事件.

    (4)擲一顆骰子,事件A表示“結(jié)果是奇數(shù)”,事件B表示“結(jié)果是虛數(shù)”.

    生12:P(A)=12,P(B)=0,P(A∩B)=0,則P(A∩B)=P(A)P(B),所以A,B相互獨立.

    問題6 P(B)=0,事件B是什么事件?

    眾生:事件B為不可能事件.

    問題7 依據(jù)上面的兩題,能否猜想出必然事件和不可能事件與其他事件的關(guān)系?

    生13:必然事件Ω和不可能事件與任何事件都是相互獨立的.設(shè)事件A為任意事件,因為Ω∩A=A,P(Ω)=1,所以P(Ω∩A)=P(A)=1·P(A)=P(Ω)P(A),即事件A與Ω獨立,同理可知不可能事件與任何事件也獨立.

    問題8 你能舉出生活中有關(guān)事件相互獨立的例子嗎?

    眾生討論,選代表回答.

    代表1:學(xué)生甲與學(xué)生乙能否考上大學(xué)相互獨立;考生的英語成績與數(shù)學(xué)成績相互獨立;學(xué)生甲與乙是否遲到相互獨立等.設(shè)計意圖 借助生活中的例子,加強概率與實際生活的聯(lián)系,以科學(xué)的態(tài)度評價現(xiàn)實中的事件是否相互獨立,設(shè)計一連串層層遞進(jìn)的問題,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與參與度.問題8讓學(xué)生舉出生活中獨立性的例子,體會獨立性的意義,培養(yǎng)實事求是的科學(xué)態(tài)度,同時增加學(xué)生間的交流合作,感受團(tuán)隊合作的重要性,讓學(xué)生真正參與到課堂中.2.3.3 概念深化類比推廣

    問題9 甲、乙兩名同學(xué)同時做同一個實驗,甲成功的概率為0.8,乙成功的概率為0.9,甲和乙之間互不影響,求兩人都成功的概率.

    問題10 甲、乙、丙三名同學(xué)同時做同一個實驗,甲成功的概率為0.8,乙成功的概率為0.9,丙成功的概率為0.7,甲、乙、丙之間互不影響. 請嘗試猜想三人都成功的概率.

    生14:猜想甲、乙、丙三人都成功的概率是0.504.

    探究1:兩個事件A與B相互獨立,則P(A∩B)=P(A)P(B);如果三個事件A,B,C相互獨立,P(A),P(B),P(C)與P(A∩B∩C)是否有關(guān)系?如果三個事件A,B,C兩兩獨立,P(A),P(B),P(C)與P(A∩B∩C)是否有關(guān)系?

    生15:類比事件A與B相互獨立P(A∩B)=P(A)P(B),可知如果三個事件A,B,C相互獨立,P(A∩B)=P(A)P(B),P(A∩C)=P(A)P(C),P(B∩C)=P(B)P(C),P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C).

    生16:三個事件兩兩獨立,不一定有P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C).

    師:兩位同學(xué)回答的非常棒,設(shè)樣本空間Ω={1,2,3,4}含有等可能的樣本點,A={1,2},B={1,3},C={1,4},我們?nèi)菀椎玫絇(A∩B)=P(A)P(B),P(A∩C)=P(A)P(C),P(B∩C)=P(B)P(C),但P(A∩B∩C)≠P(A)P(B)P(C).

    探究2:如果n個事件A1,A2…An相互獨立,P(A1),P(A2)…P(An)與P(A1∩A2…∩An)是否有關(guān)系?

    生17:類比推廣,如果n個事件A1,A2,…,An(n≥3)相互獨立,那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的乘積,即P(A1∩A2…∩An)=P(A1)P(A2)…P(An),且上式中任何一個或幾個事件Ai換成其對立事件Ai后等式仍然成立.

    設(shè)計意圖 借助熟悉的學(xué)習(xí)生活中的問題,讓學(xué)生更加直觀感知獨立性在現(xiàn)實中的應(yīng)用.由兩個事件的獨立性,大膽猜想三個事件相互獨立,會有怎樣的結(jié)論,更進(jìn)一步猜想,如果n個事件相互獨立,會有怎樣的結(jié)論.通過具體的例子讓學(xué)生感知三個事件兩兩獨立與三個事件相互獨立是完全不同的,鼓勵學(xué)生大膽想象,積極主動發(fā)言,培養(yǎng)他們的邏輯推理能力、語言表達(dá)能力,發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維,同時滲透類比、特殊到一般的思想,提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).2.3.4 概念應(yīng)用明確外延

    例2 甲、乙兩人的罰球投中率分別是p與q,兩人各投籃一次,求:

    (1)都投中的概率;(2)都沒投中的概率;(3)至少一人投中的概率;(4)至多一人投中的概率.

    師:設(shè)事件A為甲命中,事件B為乙命中,事件C為都命中,事件D為都沒命中,事件E為至少一人命中,事件F為至多一人命中,則

    生18:P(C)=P(A)P(B)=pq,P(D)=P()P()=(1-p)(1-q);

    問題11 事件E包括哪些樣本點?事件F包括哪些樣本點?

    生19:事件E=(∩B)∪(A∩)∪(A∩B),事件F=(∩B)∪

    (A∩)∪(∩),而且這些事件互斥,所以滿足概率的加法公式.

    生20:P(E)=P(∩B)+P(A∩)+P(A∩B)=(1-p)q+p(1-q)+pq.

    P(F)=P(∩B)+P(A∩)+P(∩)=(1-p)q+p(1-q)+(1-p)(1-q).

    師:還有其他的解法嗎?大家有不同的做法可以通過投影展示出來.

    生21(展示):正難則反,所以可以用事件E,F(xiàn)的對立事件去求解,

    =∩,=A∩B.

    P(E)=1-P(∩)=1-P()P()=1-(1-P)(1-q);

    P(F)=1-P(A∩B)=1-P(A)P(B)=1-pq.

    生22(展示):老師,我還有一種解法,因為“至少一人投中”,所以E=A∪B,“A,B兩個事件至少有一個發(fā)生”的否定是“A與B都沒發(fā)生”,即A∪B=∩.

    P(E)=P(A∪B)=1-P(A∪B)=1-P(A∩B)=1-(1-P)(1-q).

    師:這位同學(xué)的想法非常好,本章通過集合的觀點定義了隨機(jī)事件,將事件與集合相對應(yīng),借助已有的集合知識和語言,有利于同學(xué)們對概率的理解和掌握.在集合學(xué)習(xí)時,我們介紹過摩根定律,即A∪B=∩,A∩B=∪,這個定律同樣適用于概率論的學(xué)習(xí).因為事件的關(guān)系就是樣本空間相應(yīng)子集的關(guān)系,事件的運算就是相應(yīng)子集的運算,兩者是相互對應(yīng)的.

    例3 A,B兩人下棋,每局兩人獲勝的可能性一樣.某一天兩人要進(jìn)行一場三局兩勝的比賽,最終勝者獲得100元獎金.第一局比賽A勝,后因為有其它要事而終止比賽.試問:怎么分100元獎金才公平?

    師:大家討論一下如何分配獎金比較公平?歷史上許多的數(shù)學(xué)家都考慮過這個問題,比如費馬、帕斯卡等,并由此開啟了概率論的研究.

    代表2:直觀感覺應(yīng)該按四六分,因為感覺三七分不公平.

    代表3:按最終獲勝的可能性大小比例分配.

    師:我們從概率的角度研究怎么分獎金公平?看哪位代表回答的正確.

    代表4:將每次比賽A獲勝記作事件A,B獲勝記作事件B,假設(shè)比賽可以繼續(xù)進(jìn)行,該試驗的樣本空間通過枚舉法列出:Ω={AAA,AAB,ABA,ABB},按照古典概型的概率計算公式可知,A最終獲勝的概率為34,B最終獲勝的概率為14,因此A,B兩人應(yīng)該按3∶1來分.

    代表5:在實際比賽中,如果A再贏一局,比賽結(jié)束.如果第二局A輸,再比第三局,這就不是古典概率模型,但由于比賽各局的勝負(fù)之間是獨立的,所以可以借助事件的獨立性解決.設(shè)A表示事件“A最終獲勝”,A1表示事件“接下去第一局A勝”;A2表示事件“接下去第二局A勝”,A=A1∪A1∩A2,所以P(A)=P(A1)+PA1∩A2=12+12×12=34.因此A,B兩人應(yīng)該按3∶1來分.

    設(shè)計意圖 通過綜合性題目,鞏固學(xué)生對事件獨立性概念的理解.例2中“至多至少問題”,需要學(xué)生有分類意識,同時讓學(xué)生深刻體會正難則反,利用對立事件的計算公式求解,為求解較復(fù)雜概率問題提供一個范例.例3解決本章第一節(jié)提出的兩位法國數(shù)學(xué)家對賭徒提出的分獎金問題的討論,是概率論的起源,滲透數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí),學(xué)生通過自己的討論,總結(jié)不是古典概型問題如何借助事件的獨立性去解決.例題的學(xué)習(xí)滲透了分類的思想、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).

    2.3.5 課堂練習(xí)檢測概念擲黑、白兩顆骰子.

    (1)若用A,B分別表示事件“兩顆骰子的點數(shù)和為7”與“白色骰子的點數(shù)是1”,驗證A,B是獨立的;

    (2)若用A,B分別表示事件“兩顆骰子的點數(shù)和為7”與“兩顆骰子中至少有一顆的點數(shù)是1”,驗證A,B不是獨立的.

    設(shè)計意圖 考查在科學(xué)的情境下,學(xué)生能否正確判斷事件的獨立性,及時檢測數(shù)學(xué)概念的掌握情況,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).2.3.6 深度小結(jié)評價學(xué)習(xí)

    本節(jié)課學(xué)到了哪些知識?用到了哪些數(shù)學(xué)思想?提升了哪些數(shù)學(xué)素養(yǎng)?

    生23:知識:事件A與B相互獨立P(A∩B)=P(A)P(B);如果事件A與B相互獨立,則事件與B相互獨立,事件A與相互獨立,事件與也相互獨立.

    思想方法:特殊到一般的思想、分類思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想等.

    核心素養(yǎng):邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等.

    設(shè)計意圖 學(xué)生獨立總結(jié)有利于檢測是否掌握了本節(jié)的知識,是否理解本節(jié)課所用到的數(shù)學(xué)思想方法,有利于對本節(jié)知識的整體理解,提升學(xué)生歸納總結(jié)的能力,讓學(xué)生在做中學(xué).

    3 總結(jié)與反思

    針對抽象的數(shù)學(xué)概念教學(xué),教師設(shè)置基于學(xué)情和教材的問題串啟發(fā)學(xué)生獨立思考、合作學(xué)習(xí)并深入探究,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程,關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展過程.讓知識由靜態(tài)轉(zhuǎn)化成動態(tài),由孤立轉(zhuǎn)化成系統(tǒng),激活學(xué)生對知識的深入理解和深度記憶,激發(fā)其深度學(xué)習(xí)的興趣,最終提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng). 通過實踐與研究提煉出概念教學(xué)的范式(見圖2).

    參考文獻(xiàn)

    [1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M].北京:人民教育出版社,2020.

    [2] 江錦志.深度學(xué)習(xí)視角下概念教學(xué)的問題設(shè)計研究[D].廈門:集美大學(xué),2021.

    [3] 佐藤學(xué)等.教育的再定義:教育變革展望叢書(第1卷)[M].東京:巖波書店,2016:216.

    [4] 潘超.數(shù)學(xué)概念深度教學(xué)須“五理解”——以人教版“一次函數(shù)”為例[J].數(shù)學(xué)通報,2021,60(04):2529.

    作者簡介 徐利花(1986—),女,山西大同人,碩士研究生,中教一級;主要研究數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué).

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