非齊次Markovian跳變模糊系統(tǒng)的H∞控制

宋夢園，付世州，周紹生

(1.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

在模糊控制工程中，區(qū)間二型模糊系統(tǒng)[1]解決了一型模糊系統(tǒng)隸屬函數(shù)不確定問題，簡化了計(jì)算復(fù)雜度，應(yīng)用于眾多工程問題。比如文獻(xiàn)[2]采用一種基于區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的算法解決了腦電圖和腦計(jì)算機(jī)接口中的人工干擾問題。實(shí)際應(yīng)用中，各種環(huán)境噪聲及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化引起系統(tǒng)狀態(tài)的突變，Markovian跳變隨機(jī)奇異系統(tǒng)[3]應(yīng)運(yùn)而生。文獻(xiàn)[4]研究無限狀態(tài)下的Markovian跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，采用MATLAB中的LMI工具箱求得使系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣。文獻(xiàn)[5]研究帶有單維納過程的奇異Markovian跳變系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問題，在切換瞬間，使用投影引理，用一個(gè)微分方程將切換前與切換后聯(lián)立起來，再根據(jù)Lyapunov第二穩(wěn)定性理論給出系統(tǒng)在切換瞬間具有指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件，解決了切換瞬間狀態(tài)跳躍不一致的問題。文獻(xiàn)[6]研究帶有噪聲的不確定Markovian跳變奇異系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定和H∞控制問題，結(jié)合不等式放縮思想與Lyapunov穩(wěn)定性理論得到系統(tǒng)具有無脈沖解且均方穩(wěn)定的充分條件，并在此基礎(chǔ)上求解狀態(tài)反饋控制器的參數(shù)矩陣。文獻(xiàn)[7]考慮Markovian跳變模糊系統(tǒng)在轉(zhuǎn)移概率不確定時(shí)的情況，使用投影引理建立系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，采用錐補(bǔ)償線性化算法求得廣義耗散濾波器的參數(shù)。上述文獻(xiàn)中，轉(zhuǎn)移概率矩陣均為固定常數(shù)矩陣。但在實(shí)際應(yīng)用中，轉(zhuǎn)移概率難以保持穩(wěn)定不變，通常是隨時(shí)間變化的非齊次Markovian跳變系統(tǒng)。為此，本文研究連續(xù)時(shí)間上的一類非齊次隨機(jī)奇異Markovian跳變隨機(jī)奇異區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題，采用分段齊次[8]的思想來處理轉(zhuǎn)移概率隨時(shí)間變化的特性，運(yùn)用不等式放縮方法求解狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣，并給出系統(tǒng)滿足H∞性能指標(biāo)的充分條件。

1 系統(tǒng)描述

用IF-THEN規(guī)則描述的不確定隨機(jī)奇異非齊次Markovian跳變模糊系統(tǒng)如下：

(1)

(2)

式中，Mi,N1i,N2i,N3i,N4i,N5i是適維常數(shù)矩陣，F(xiàn)i(t)是未知的矩陣函數(shù)，且滿足

Fi(t)TFi(t)≤I

(3)

(4)

式中，

(5)

對(duì)于系統(tǒng)(4)設(shè)計(jì)一個(gè)前提不匹配的狀態(tài)控制器，模糊規(guī)則如下：

則全局模糊控制器為：

(6)

式中，

(7)

引理1[6]對(duì)于ε>0，若A,B,F,D,W是適維實(shí)數(shù)矩陣，且滿足FTF≤I，則以下不等式成立：

(1)AFB+(AFB)T≤εAAT+ε-1BTB；

(2)(D+AFB)TW-1(D+AFB)≤DT(W-εAAT)-1D+ε-1BTB。

(8)

式中，U∈R(n-r)×n,V∈Rn×(n-r)分別是E的左零空間和右零空間的基，對(duì)稱矩陣Pim∈Rn×n，非奇異矩陣Qim∈R(n-r)×(n-r)滿足

(9)

2 主要結(jié)果

(10)

(11)

式中，

由伊藤公式的定義可得系統(tǒng)(4)的無窮小算子：

當(dāng)v(t)≠0時(shí)，無窮小算子為：

下面討論系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下的H∞性能。用數(shù)學(xué)符號(hào)JT來表示H∞性能所需的條件，JT運(yùn)算如下：

(12)

式中，H1im=(Ali+ΔAli)T(PimE+UQimVT)+(PimE+UQimVT)T(Ali+ΔAli)+

由引理1并結(jié)合不等式(11)，可得：

(13)

(14)

由Schur補(bǔ)引理可知，不等式(14)等價(jià)于式(12)，所以JT<0，說明系統(tǒng)(4)滿足H∞性能指標(biāo)，證畢。

(15)

證明將控制器代入原系統(tǒng)可得閉環(huán)系統(tǒng)，可得：

(16)

根據(jù)定理1可知，

(17)

式中，

由Schur引理可知，不等式(17)等價(jià)于不等式(15)，故閉環(huán)系統(tǒng)(16)是隨機(jī)穩(wěn)定的。證畢。

3 數(shù)值示例

假設(shè)非齊次Markovian跳變奇異區(qū)間二型閉環(huán)系統(tǒng)中，l=2,s=2，其他參數(shù)如下：

γ=2.50,H22=-0.20。

其隸屬度函數(shù)分別為：

根據(jù)定理2，采用MATLAB求得可行解為：

K122=[12.874 7 1.132 3],K211=[-10.944 5 4.338 0],K212=[-11.774 1 4.165 4],

K221=[3.098 0 1.536 7],K222=[4.526 2 1.450 8]。

使用MATLAB將所求可行解代入方程進(jìn)行仿真，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)如圖1所示。圖中，r(t),σ(t)表示系統(tǒng)模態(tài)切換的隨機(jī)跳變過程。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)x(t)

從圖1可以看出，在隨機(jī)跳變過程中，0～1 s時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)是不穩(wěn)定的；但是在1 s后，具有良好的穩(wěn)定性。閉環(huán)系統(tǒng)的控制輸入如圖2所示，擾動(dòng)輸出如圖3所示。

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)的控制輸入u(t)

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)的控制輸出z(t)

從圖2可以看出，0～1 s時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的控制輸入的變化速度非?？?，說明不穩(wěn)定；1 s之后，控制輸入平緩且穩(wěn)定。從圖3可以看出，H∞性能指標(biāo)γ=2.50時(shí)，0～1 s時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的控制輸出具有較多的突變，極其不穩(wěn)定；1 s之后，控制輸出趨于穩(wěn)定。

4 結(jié)束語

本文研究一類連續(xù)時(shí)間上的非齊次Markovian跳變隨機(jī)奇異區(qū)間二型模糊系統(tǒng)滿足H∞性能指標(biāo)下的穩(wěn)定性分析問題?？紤]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不確定、帶有外部干擾等因素，根據(jù)伊藤公式無窮小算子的定義，并結(jié)合不等式放縮方法得到系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定的充分條件，在滿足魯棒性能指標(biāo)的條件下，設(shè)計(jì)了滿足H∞性能指標(biāo)的狀態(tài)反饋控制器。但是，本文未考慮事件觸發(fā)下的控制器設(shè)計(jì)問題，后續(xù)將針對(duì)基于動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制下的不確定非齊次Markovian跳變隨機(jī)奇異區(qū)間二型模糊系統(tǒng)展開研究。