帶輸入噪聲的高斯過程擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤算法

任 磊，郭云飛

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，杭州 310018)

0 引 言

隨著高分辨?zhèn)鞲衅骷夹g(shù)的飛速發(fā)展，擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤(Extended Target Tracking，ETT)技術(shù)在邊海防監(jiān)控、海事探測(cè)、無人駕駛等軍事與民用領(lǐng)域應(yīng)用日益廣泛。與傳統(tǒng)點(diǎn)目標(biāo)跟蹤技術(shù)相比，ETT框架下的目標(biāo)回波占據(jù)高分辨?zhèn)鞲衅鞯亩鄠€(gè)分辨單元，每幀產(chǎn)生多個(gè)隨機(jī)散射點(diǎn)，利用這些散射點(diǎn)產(chǎn)生的含噪測(cè)量，ETT不僅要準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(位置、速度等)，還要估計(jì)目標(biāo)的輪廓狀態(tài)(大小、形狀等)[1]。早期的ETT算法包括序貫蒙特卡洛法、隨機(jī)矩陣法(Random Matrix, RM)[2]、隨機(jī)超曲面模型法(Random Hyper-surface Model, RHM)[3]等。2015年，Wahlstrom等[4]提出一種基于高斯過程(Gaussian Process, GP)的ETT算法。ETT算法運(yùn)用GP強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力，對(duì)理想環(huán)境下星凸形狀擴(kuò)展目標(biāo)的輪廓函數(shù)進(jìn)行在線學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)了非橢圓形狀擴(kuò)展目標(biāo)的遞推估計(jì)[5]?；诟咚惯^程的擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤(Gaussian Process Extended Target Tracking，GP-ETT)算法在貝葉斯框架下能準(zhǔn)確估計(jì)星凸形狀目標(biāo)的輪廓及運(yùn)動(dòng)特征，在高分辨?zhèn)鞲衅魈綔y(cè)與監(jiān)控領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[6-7]提出基于GP的概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(Probabilistic Data Association, PDA) 技術(shù)，解決了雜波環(huán)境下星凸形狀擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤問題，并推廣到多機(jī)動(dòng)擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤。上述GP-ETT技術(shù)中，通常忽略了目標(biāo)局部坐標(biāo)系中的角度測(cè)量估計(jì)的不確定性[8]。當(dāng)測(cè)量誤差較大或目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)誤差較大時(shí)，破壞了GP的預(yù)測(cè)方差，影響了ETT的跟蹤性能[9]。文獻(xiàn)[8,10-11]從不同角度分析了帶輸入噪聲時(shí)GP的均值和協(xié)方差，并將其用于非線性濾波和地球遙感等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[12]使用泰勒級(jí)數(shù)法修正了GP-ETT的模型輸出，但未深入分析輸入不確定性對(duì)GP預(yù)測(cè)協(xié)方差及性能界的影響。為此，本文提出理想環(huán)境下帶輸入噪聲的GP-ETT算法，通過推導(dǎo)得到預(yù)測(cè)協(xié)方差及狀態(tài)估計(jì)的后驗(yàn)克拉美羅下界(Posterior Cramér-Rao Lower Bound, PCRLB)[13]。

1 高斯過程

1.1 標(biāo)準(zhǔn)高斯過程

GP是一種非參數(shù)的隨機(jī)過程，本質(zhì)上是多維高斯分布的擴(kuò)展。由于GP能夠利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)一個(gè)未知函數(shù)進(jìn)行建模和學(xué)習(xí)，廣泛用于信號(hào)處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域[5]。假設(shè)待擬合函數(shù)如下：

y=f(x)+ε

(1)

式中，x∈Rd為輸入量，y∈R1為輸出量，f(·)為未知函數(shù)，觀測(cè)噪聲ε服從如下高斯分布：

ε～N(0,σ2)

(2)

給定包含n個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)的集合D=[X,y]，其中X=[x1,x2,…,xn]，y=[y1,y2,…,yn]分別為訓(xùn)練輸入集與輸出集，則未知函數(shù)f(·)表示為如下高斯過程：

(3)

式中，a(x)和k(x,x′)分別為f(x)的均值函數(shù)和協(xié)方差核函數(shù)，通常，協(xié)方差核函數(shù)k(x,x′)選擇的平方指數(shù)(Square Exponential, SE)函數(shù)如下：

(4)

式中，σf和l為GP的超參數(shù)。在標(biāo)準(zhǔn)高斯過程中，假設(shè)測(cè)試輸入x*為精確已知量。對(duì)于測(cè)試輸入x*，其對(duì)應(yīng)的GP預(yù)測(cè)值的后驗(yàn)分布為：

(5)

式中，均值μ(x*)及協(xié)方差ν(x*)分別為：

(6)

(7)

1.2 帶輸入噪聲的高斯過程

在實(shí)際應(yīng)用中，高斯過程的測(cè)試輸入有時(shí)難以準(zhǔn)確獲取，存在輸入不確定性。該不確定性可以用輸入噪聲進(jìn)行建模，假設(shè)該噪聲服從如下高斯分布：

(8)

式中，m(x*)與Σ*分別為測(cè)試輸入x*的估計(jì)均值與方差。式(8)中，含有輸入噪聲的測(cè)試輸入x*對(duì)應(yīng)的GP概率分布為：

(9)

大多數(shù)情況下，式(9)難以獲得解析解，近似求解的思路主要有數(shù)值近似法和泰勒級(jí)數(shù)法(Taylor Series, TS)。數(shù)值近似法可采用Sigma采樣法(Sigma Sampling, SS)和蒙特卡洛采樣法(Monte-Carlo, MC)。本文分別采用Sigma采樣法、MC采樣法和泰勒級(jí)數(shù)法近似帶噪聲的GP的分布，提出3種基于帶噪聲GP的ETT算法，分別記為GP-TS，GP-SS和GP-MC。

2 基于GP的ETT算法

在傳統(tǒng)目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域中，通常僅關(guān)心目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如位置、速度、航向角等，目標(biāo)可用一個(gè)“點(diǎn)”來描述。當(dāng)目標(biāo)距離傳感器較近或者傳感器分辨率較高時(shí)，目標(biāo)輪廓特征不可忽略，需要描述為“擴(kuò)展目標(biāo)”[1]。常用的ETT建模算法包括RM[2]，RHM[3]，GP[4]等。與其它算法相比，GP能夠更加準(zhǔn)確地估計(jì)目標(biāo)的形狀特征。

2.1 GP-ETT的動(dòng)態(tài)模型

(10)

(11)

(12)

考慮到GP輸入θL的周期性，GP的均值函數(shù)及協(xié)方差函數(shù)建模如下：

(13)

(14)

式中，σf為輪廓徑向函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差；σr為均值半徑的標(biāo)準(zhǔn)差；l為尺度因子。根據(jù)GP性質(zhì)，式(12)可進(jìn)一步改寫為[4]：

(15)

圖1 菱形目標(biāo)的徑向函數(shù)及其輪廓

GP-ETT的動(dòng)態(tài)模型可寫為：

(16)

2.2 測(cè)量模型

ETT的一個(gè)典型特征是一個(gè)目標(biāo)在單幀內(nèi)包含多個(gè)隨機(jī)散射點(diǎn)，能產(chǎn)生多個(gè)測(cè)量。這些散射點(diǎn)可能分布在目標(biāo)輪廓邊緣，也可能分布在目標(biāo)輪廓內(nèi)部[4]。本文旨在討論輸入噪聲對(duì)GP-ETT的影響，為了簡(jiǎn)便計(jì)算，假設(shè)散射點(diǎn)分布在輪廓邊緣。

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

3 帶輸入噪聲的GP-ETT算法

3.1 GP的噪聲輸入方差

(25)

(26)

根據(jù)式(24)，測(cè)量噪聲的方差記為Rk。假設(shè)測(cè)量在各坐標(biāo)軸擁有相同的不確定度，即令

(27)

(28)

進(jìn)而得該矩陣的相似對(duì)角陣Psim，

(29)

根據(jù)隨機(jī)誤差傳遞公式[14]，GP輸入的方差Σβ表示為：

(30)

3.2 泰勒級(jí)數(shù)法

(31)

其相應(yīng)的均值和協(xié)方差為[9]：

(32)

(33)

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)高斯過程的預(yù)測(cè)均值函數(shù)μ(x*)在x*=m(x*)處進(jìn)行一階泰勒展開，可得：

(34)

(35)

同理，對(duì)ν(x*)進(jìn)行一階泰勒展開，可得：

(36)

忽略其余項(xiàng)，求其均值，可得：

(37)

最后，對(duì)μ(x*)進(jìn)行一階泰勒展開，可得：

(38)

對(duì)其求方差，可得：

(39)

所以，運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)法可求得帶有噪聲輸入的高斯過程的預(yù)測(cè)均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)，分別為：

(40)

(41)

式中，μ′(m(β))分別為μ(β)關(guān)于β的一階偏導(dǎo)在m(β)處的取值，

(42)

其中，

(43)

將(42)代入式(41)，即可得到GP-ETT中帶輸入噪聲的GP預(yù)測(cè)均值與預(yù)測(cè)協(xié)方差。

3.3 數(shù)值近似法

數(shù)值近似法通過采樣點(diǎn)對(duì)無法獲得解析解的積分進(jìn)行近似求解。常用的數(shù)值近似法有Sigma采樣法和MC采樣法。

則有輸入噪聲的GP預(yù)測(cè)均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)為：

(44)

(45)

(46)

(47)

從式(41)可以看出，增加一個(gè)噪聲項(xiàng)，增加了GP模型的不確定性，所以，帶有噪聲的GP模型的協(xié)方差大于標(biāo)準(zhǔn)GP模型的協(xié)方差。

4 PCRLB

(48)

式中，Jk為Fisher信息矩陣，其遞推表達(dá)式為：

(49)

(50)

(51)

(52)

5 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

通過一個(gè)復(fù)雜形狀的擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其目標(biāo)輪廓及半徑函數(shù)如圖2所示。

圖2 目標(biāo)輪廓及半徑函數(shù)

目標(biāo)作近似勻速直線運(yùn)動(dòng)，初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的均值為X0=[10 m,2 m,10 m,2 m,π/4 rad,0 rad/s]T，協(xié)方差為P0=diag{1 m2,0.1 m2/s2,1 m2,0.1 m2/s2,0.1 rad2,0.001 rad2/s2}，目標(biāo)的輪廓狀態(tài)初值為半徑為1的圓。假設(shè)跟蹤期間輪廓時(shí)不變，輪廓狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為Ff=IN，其中IN表示N維單位矩陣，過程噪聲Qf=0。傳感器位于坐標(biāo)原點(diǎn)，測(cè)量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為σz=1 m，測(cè)量時(shí)長(zhǎng)為100 s。目標(biāo)散射點(diǎn)的個(gè)數(shù)服從泊松分布，泊松參數(shù)為λt=0.8。高斯過程的超參數(shù)為σr=2，σf=2，l=π/18。Monte Carlo仿真次數(shù)為100。

使用基于RM和GP的ETT算法進(jìn)行仿真，跟蹤效果如圖3所示。

圖3 基于RM和GP的ETT算法的跟蹤效果

從圖3可以看出，在理想環(huán)境下，2種算法均能估計(jì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)?；贕P模型的ETT算法可以對(duì)目標(biāo)輪廓進(jìn)行精確估計(jì)，而RM模型只能利用橢圓對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)大小進(jìn)行估計(jì)，不能精確估計(jì)其形狀。

當(dāng)k=100 s時(shí)，分別采用GP, GP-TS, GP-SS, GP-MC算法對(duì)目標(biāo)輪廓進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如圖4所示，4種算法的輪廓估計(jì)誤差棒圖如圖5所示。

圖4 4種GP算法輪廓估計(jì)

圖5 4種算法的輪廓估計(jì)誤差棒圖

從圖4可以看出，4種算法都能較好地對(duì)目標(biāo)輪廓進(jìn)行精確估計(jì)。從圖5可以看出，本文提出的帶輸入噪聲的3種GP算法的不確定度區(qū)間對(duì)真值覆蓋情況更好，二階估計(jì)更加合理。

選擇擴(kuò)展目標(biāo)輪廓均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)、PCRLB與馬氏距離(Mahalanobis Distance, MD)等指標(biāo)來衡量算法的跟蹤性能。4種算法的性能指標(biāo)如表1所示。

表1 4種算法的性能指標(biāo)

從表1可以看出，4種算法的RMSE比較接近，其中GP-MC最優(yōu)；帶輸入噪聲的3種GP算法的MD指標(biāo)更優(yōu)，得到的PCRLB最保守，并且都獲得了最更小的MD?？傮w看來，相比于標(biāo)準(zhǔn)GP算法，本文提出的帶輸入噪聲的GP算法的估計(jì)性能更好。

6 結(jié)束語

本文定量分析了輸入噪聲對(duì)GP預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，提出3種帶輸入噪聲的GP-ETT算法，并推導(dǎo)理想環(huán)境下帶輸入噪聲的GP-ETT的最優(yōu)理論性能界，得到更加合理的二階估計(jì)和更加保守的PCRLB。本文進(jìn)行算法模型設(shè)計(jì)時(shí)，假設(shè)的環(huán)境較為理想，比如無雜波理想環(huán)境、目標(biāo)形狀無形變等，但在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中，難免會(huì)有一些偏差。后續(xù)將考慮更多實(shí)際因素，進(jìn)一步優(yōu)化模型，使其更貼近實(shí)際應(yīng)用。