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    基于前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解線性Fredholm積分-微分方程

    2022-04-06 04:25:20許彩虹邵新平
    關(guān)鍵詞:展開式線性向量

    許彩虹,邵新平,張 林

    (杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

    0 引 言

    積分方程、積分-微分方程在解決數(shù)學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)和最優(yōu)控制理論等方面應(yīng)用廣泛。這些方程一般無(wú)法直接求得精確解,通常采用不同的數(shù)值方法進(jìn)行近似求解。目前,許多先進(jìn)而有效的數(shù)值方法被用于求解積分方程。例如,文獻(xiàn)[1]用Taylor展開式求解積分方程,文獻(xiàn)[2]引入了Taylor矩陣法求解積分方程,文獻(xiàn)[3]提出求解Volterra積分-微分方程的He同倫攝動(dòng)法,文獻(xiàn)[4]對(duì)求解線性Fredholm積分方程的同倫攝動(dòng)法進(jìn)行了改進(jìn),文獻(xiàn)[5]應(yīng)用Legendre多項(xiàng)式求解高階線性Fredholm積分-微分方程的混合條件,提出了Legendre配置矩陣法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在求解積分-微分方程領(lǐng)域也取得了一些進(jìn)展,文獻(xiàn)[6]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用于求解Lyapunov矩陣方程,文獻(xiàn)[7]將深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用于求解高維橢圓型偏微分方程。本文提出了一種基于Taylor展開式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解線性Fredholm積分-微分方程的新方法,采用Taylor展開式代替原系統(tǒng)中的未知函數(shù),構(gòu)造一個(gè)兩層的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),經(jīng)過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)得到相應(yīng)的數(shù)值解。

    1 積分-微分方程

    1.1 Fredholm積分-微分方程

    線性Fredholm積分-微分方程的基本形式為:

    (1)

    式中,λ>0,k(s,t)為a≤s,t≤b上任意給定的一個(gè)核函數(shù),f(t)為t∈[a,b]上的函數(shù),f(t)和k(s,t)均為已知函數(shù),而F(t)為未知函數(shù)。

    證明先證存在性。對(duì)式(1)兩邊同時(shí)在區(qū)間[a,t],a≤t≤b上取積分,得到:

    (2)

    構(gòu)造皮卡逐步逼近序列{Fn(t)}:

    (3)

    f(t)在a≤t≤b內(nèi)連續(xù),則F0(t)有界。令F0(t)≤F,可得:

    依次類推,可得:

    由魏爾斯特拉斯判別法可知,序列{Fn(t)}一致收斂。

    再證唯一性。設(shè)G(t)是方程(1)的另一個(gè)解,則

    (4)

    由式(2)—式(4)可得

    應(yīng)用柯西布尼柯夫斯基-施瓦茨不等式,可得:

    兩邊同時(shí)取定積分,得到:

    1.2 Fredholm積分-微分方程的線性方程組

    第二類Fredholm型積分-微分線性方程組的一般形式如下:

    (5)

    式中,t,s∈[a,b],Aji(t),kji(t)為實(shí)函數(shù),并且假定Aji(t),kji(s,t)在區(qū)間a≤s,t≤b上對(duì)于所有的參數(shù)都是可微的,F(xiàn)(t)=[F1(t),…,Fn(t)]是待確定的向量解。

    1.3 Fredholm積分-微分方程的Taylor展開

    為了簡(jiǎn)單說(shuō)明Fredholm積分-微分方程的Taylor多項(xiàng)式方法的基本原理,取n=2,即:

    (6)

    則給定系統(tǒng)解的形式為:

    (7)

    對(duì)式(6)的每個(gè)方程進(jìn)行N-1次關(guān)于t的微分,得到:

    (8)

    (9)

    式中,

    2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造與學(xué)習(xí)算法

    2.1 輸入輸出關(guān)系

    圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意圖

    2.2 誤差函數(shù)

    矩陣和目標(biāo)向量的定義如下:

    假設(shè)Yp=(Yp0,…,YpN)是對(duì)應(yīng)于輸入向量X1,X2的輸出向量,F(xiàn)pτ是Xpτ對(duì)應(yīng)邊界條件的輸出向量,根據(jù)輸入向量和輸出向量定義誤差函數(shù),誤差函數(shù)由內(nèi)部誤差和邊界誤差構(gòu)成。

    內(nèi)部誤差為:

    (10)

    邊界誤差為:

    (11)

    神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的總誤差函數(shù)為:

    (12)

    式中,w1,w2表示內(nèi)部誤差與外部誤差的權(quán)重,取w1=1,w2=1。

    2.3 前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法

    對(duì)輸入信號(hào)Xri(r=1,2;i=0,1,2,…,N)進(jìn)行隨機(jī)初始化,初始值記為Xri(0)。

    參數(shù)Xri的更新公式為:

    Xri(n+1)=Xri(n)+ΔXri(n)

    (13)

    (14)

    式中,n為迭代次數(shù),α為動(dòng)量項(xiàng)常數(shù),η為學(xué)習(xí)率。

    前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Feedforward Neural Network, FNN)算法的核心是通過(guò)式(12)中的成本函數(shù)計(jì)算出式(14)的導(dǎo)數(shù)。推導(dǎo)過(guò)程如下:

    綜上所述,F(xiàn)NN求解Fredholm積分-微分方程的算法流程如下。

    (1)令α>0,η>0,Emax>0,隨機(jī)初始化輸入信號(hào)Xri。

    (a)前向傳播:通過(guò)輸入向量計(jì)算輸出向量;

    (b)反向傳播:利用代價(jià)函數(shù)來(lái)調(diào)整參數(shù);

    (c)通過(guò)將當(dāng)前誤差加到誤差E中計(jì)算累積周期誤差。

    (4)如果E>Emax,將E設(shè)為0,返回步驟3開始一個(gè)新的訓(xùn)練周期;如果E≤Emax,終止訓(xùn)練。

    3 數(shù)值實(shí)例分析

    對(duì)Fredholm積分-微分方程進(jìn)行數(shù)值求解,對(duì)近似解畫出其誤差曲線,并與梯形求積規(guī)則(Trapezoidal Quadrature Rule, TQR)數(shù)值方法進(jìn)行比較。

    取學(xué)習(xí)率η=0.01,動(dòng)量項(xiàng)常數(shù)α=0.003,停止條件為E<10-8。求解下述線性Fredholm積分-微分方程組:

    (15)

    通過(guò)數(shù)值實(shí)例分析得到的近似解與誤差分析如表1所示。從表1可得,使用FNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)近似求解方程組(15),用四次多項(xiàng)式來(lái)逼近方程的解,經(jīng)過(guò)255步,F(xiàn)1(t)和F2(t)的近似解為:

    表1 近似解與誤差分析表

    圖2 誤差函數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系

    誤差函數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系如圖2所示。圖2中,隨著迭代次數(shù)的增加,誤差函數(shù)迅速下降,最后趨于穩(wěn)定。

    近似解的收斂性如圖3所示。從圖3可以看出,迭代初期波動(dòng)較大,這是由于隨機(jī)產(chǎn)生初始值所導(dǎo)致,但隨著迭代次數(shù)的增加,逐漸穩(wěn)定并收斂到近似解。數(shù)值解與精確解的比較如圖4所示。通過(guò)圖4可知,Taylor展開式的階數(shù)越高,精確度越高。

    圖3 近似解的收斂性

    圖4 數(shù)值解與精確解的比較

    運(yùn)用MATLAB R2014a實(shí)現(xiàn)算法求得線性方程組的近似解為:

    分別采用FNN算法和TQR算法來(lái)近似求解Fredholm積分-微分方程組(15),2種算法得到的近似解與精確解如表2所示。通過(guò)表2中的數(shù)值對(duì)比可見(jiàn),用FNN算法求得的近似解比TQR所得的近似解更接近精確解。

    表2 近似解與精確解比較

    4 結(jié)束語(yǔ)

    本文提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似求解線性Fredholm積分-微分方程的新方法,提高了算法的精確度。目前關(guān)于線性Fredholm積分-微分方程的相關(guān)研究較少,今后,將進(jìn)一步拓展相關(guān)研究,采用其他方法用于求解線性Fredholm積分-微分方程,進(jìn)一步提高算法的精度。

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