求函數(shù)最值與值域的常用方法

甄新鋒

求函數(shù)的最值與值域是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。函數(shù)的值域就是全體函數(shù)值的集合，是由其定義域、對(duì)應(yīng)法則共同決定的。求函數(shù)的最值與值域在解法上是相通的。下面舉例分析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考。

方法一：函數(shù)的單調(diào)性法

評(píng)注：利用單調(diào)性法求最值，先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值。

評(píng)注：形如分子、分母的最高次數(shù)為二次的分式函數(shù)，可利用判別式法求函數(shù)的最值。

評(píng)注：利用基本不等式求最值時(shí)，必須滿足的三個(gè)條件：一正、二定、三相等?！耙徽本褪歉黜?xiàng)必須為正數(shù);“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值，要求積的最大值，必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;“三相等”就是檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，判斷等號(hào)能否取到，只有等號(hào)能成立，才能利用基本不等式求最值。

評(píng)注：反解法求函數(shù)的值域，先由已知函數(shù)式解出x，再根據(jù)x的取值范圍列不等式求出值域。

評(píng)注：數(shù)形結(jié)合法包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助于形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，如利用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì);二是借助于數(shù)的精確性和嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。