求函數(shù)解析式的三種方法

陳佩佩

思路探尋函數(shù)的解析式是函數(shù)的重要表示形式之一.函數(shù)的解析式能明確地表示出自變量與因變量之間的關(guān)系，因而求函數(shù)的解析式，需重點(diǎn)研究函數(shù)的自變量與因變量之間的變化及其關(guān)系.下面主要談一談求函數(shù)解析式的三種方法：待定系數(shù)法、賦值法、遞推法.

一、待定系數(shù)法

待定系數(shù)法主要用于求解已知函數(shù)類型的函數(shù)解析式問(wèn)題.運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，需先根據(jù)函數(shù)的類型，引入待定系數(shù)，設(shè)出函數(shù)的解析式，如 y =ax2+bx+c、 y =ax、 y =logax 等，然后將已知條件代入含有待定系數(shù)的函數(shù)式中，建立關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組，解方程或者方程組即可求得函數(shù)的解析式.

例1.若二次函數(shù)滿足 f x -1-f x=2x，且 f 0=1，求 f x的解析式.

解：設(shè) f x=ax2+bx +c，

由 f x -1-f x=2x 可得 ax-12+bx -1+c - ax2-bx -c =2x，

即：-2ax +a -b =2x，又因?yàn)?f 0=1，得 c =0，

所以函數(shù) f x的解析式為 f x=-x2-x+1.

在明晰函數(shù) f x是二次函數(shù)后，便可引入待定系數(shù) a、 b、 c，設(shè)出函數(shù)的解析式 f x=ax2+bx+c，再根據(jù)已知條件求得a、 b、 c 的值，即可得到函數(shù)解析式.

二、賦值法

若已知函數(shù)的性質(zhì)或者某些關(guān)于函數(shù)的關(guān)系式，則可采用賦值法求出函數(shù)的解析式.在賦值時(shí)，需根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，給某些變量賦值，通常可令自變量為0、1、-1、-x、等，再將所賦的值代入題設(shè)中進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)換元或者等量代換求得函數(shù)的解析式.

例2.若 fx +y=f x+5x -y +1，且 f 0=2，求函數(shù) f x的解析式.

解：

已知關(guān)系式中含有兩個(gè)變量，要求得函數(shù)的解析式，需消去其中的一個(gè)變量，于是令y =-x，x =0，通過(guò)等量代換就能得到函數(shù) f x的解析式.

三、遞推法

遞推法是指以題目中的遞推關(guān)系為依據(jù)進(jìn)行邏輯推理，從而求出函數(shù)的解析式.運(yùn)用遞推法求函數(shù)的解析式，需首先仔細(xì)研究已知關(guān)系式，明確變量之間的關(guān)系，從中找出規(guī)律，從而求得函數(shù)的解析式.

例3.已知 fx1+x2=fx1+fx2+x1x2， f 1=1x1， x2∈ N，求函數(shù) f x的解析式.

解：

我們首先根據(jù)已知關(guān)系式推出遞推關(guān)系式 ，然后分別令 x =1，2，3，…，再通過(guò)累加求得函數(shù)的解析式.運(yùn)用遞推法解題的關(guān)鍵是從已知關(guān)系式中挖掘出遞推關(guān)系式.

相比較而言，第一種方法用得較多，第二種方法最為簡(jiǎn)單，第三種方法比較復(fù)雜.同學(xué)們?cè)谇蠛瘮?shù)的解析式時(shí)，首先要明確已知的條件，如函數(shù)的類型、函數(shù)的性質(zhì)、已知關(guān)系式，然后選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求解.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹(shù)人學(xué)校）