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    常見(jiàn)抽象函數(shù)問(wèn)題的解法

    2022-03-25 07:16:19毛元鳳
    關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)特征奇函數(shù)指數(shù)函數(shù)

    毛元鳳

    在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí),我們經(jīng)常會(huì)遇到抽象函數(shù)問(wèn)題.此類(lèi)問(wèn)題較為抽象,很多同學(xué)在面對(duì)此類(lèi)問(wèn)題時(shí)常常不知道該如何下手.對(duì)此,筆者對(duì)常見(jiàn)的兩類(lèi)抽象函數(shù)問(wèn)題及其解法進(jìn)行了探究,希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助.

    一、抽象函數(shù)不等式問(wèn)題

    抽象函數(shù)不等式問(wèn)題不僅考查了抽象函數(shù)的定義、性質(zhì),還考查了不等式知識(shí).此類(lèi)問(wèn)題一般不給出具體的函數(shù)解析式,要求根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)或已知關(guān)系式明確函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等.我們需由此將不等式中的自變量值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“ f ”,將不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式,通過(guò)解不等式求得問(wèn)題的答案.

    例1.已知函數(shù)是奇函數(shù),且在-1,1上單調(diào)遞增,解不等式

    解:由于函數(shù)是奇函數(shù),

    所以,

    由可得,又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,

    所以

    解得:

    本題較為簡(jiǎn)單,只需在上討論不等式中自變量值的取值范圍和大小關(guān)系即可.在討論自變量值的大小時(shí),需靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)建立關(guān)系式.

    例2.已知奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)閇-2,2],且在區(qū)間[-2,0]上遞減,求滿(mǎn)足 f(1-m)+f(1-m2)<0的實(shí)數(shù) m 的取值范圍.

    解:∵ f(x)的定義域?yàn)閇-2,2],

    ∴-2≤1-m ≤2,-2≤1-m2≤2,

    解得-1≤m≤ ①.

    又 f(x)為奇函數(shù),且在[-2,0]上遞減,

    ∴ f(x)在[-2,2]上遞減,

    ∴ f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),

    ∴1-m >m2-1,

    解得-2< m <1②.綜合①②可得,-1≤m <1.

    即實(shí)數(shù) m 的取值范圍是[-1,1).

    在解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí),可利用函數(shù)的單調(diào)性將“ f ”符號(hào)去掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式.在此過(guò)程中應(yīng)特別關(guān)注函數(shù)的定義域.

    二、求抽象函數(shù)的值

    求抽象函數(shù)的值,通常需根據(jù)題意確定函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求值.在求解抽象函數(shù)值問(wèn)題時(shí),我們可將函數(shù)與簡(jiǎn)單基本函數(shù)相關(guān)聯(lián),如將與指數(shù)函數(shù) y =ax 類(lèi)比;將與對(duì)數(shù)函數(shù)類(lèi)比;將與冪函數(shù)類(lèi)比;將與一次函數(shù)類(lèi)比.再根據(jù)類(lèi)比的函數(shù)性質(zhì)和解析式來(lái)求函數(shù)的值.通過(guò)類(lèi)比基本簡(jiǎn)單函數(shù),可快速明確抽象函數(shù)的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)特征.

    例3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立,若,求的值.

    解:因?yàn)椋?/p>

    所以令,

    即,

    所以是一個(gè)首項(xiàng)為,公差為2的等差

    數(shù)列,

    則.綜上可得,.

    在解答本題時(shí),我們需先將已知關(guān)系式與指數(shù)函數(shù) y =a 類(lèi)比x,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)明確抽象函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),得到 ,然后將看作等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求得目標(biāo)式的值.

    抽象函數(shù)問(wèn)題的難度一般較大,在解題時(shí)我們需仔細(xì)研究已知條件,將其類(lèi)比為簡(jiǎn)單基本函數(shù),或?qū)ζ滟x值,以便明確更多的函數(shù)性質(zhì)以及結(jié)構(gòu)特征,這樣便能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等來(lái)解不等式、求值.

    (作者單位:江蘇省靖江高級(jí)中學(xué))

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