淺談初中數(shù)學(xué)“幾何例題”的變式教學(xué)

蘇志朝

【摘要】初中數(shù)學(xué)幾何題，對于教師和學(xué)生來說都有一定的抽象性。特別是在農(nóng)村初中，學(xué)生對幾何知識的掌握程度不夠，想象力有一定限制，對難度大、證明步驟復(fù)雜的例題，學(xué)生難以理解，面對簡單的幾何例題，學(xué)生的思考深度又不夠，從而導(dǎo)致學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣不高，甚至對幾何的一些題目都恐懼。因此，教師如何在課堂中實(shí)施幾何例題變式教學(xué)變得尤為重要，文章以初中“圖形平移與旋轉(zhuǎn)”一例題設(shè)計(jì)為例，探討變式教學(xué)在例題教學(xué)中的重要性。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);幾何例題;變式教學(xué)

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科，是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。教師在教學(xué)過程中，要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)心理規(guī)律，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用。因此，把課堂中的變式教學(xué)運(yùn)用到例題中，可以有效實(shí)現(xiàn)學(xué)生親身經(jīng)歷知識的變化，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和邏輯思維能力，使學(xué)生更好地掌握知識和解題方法。初中幾何例題教學(xué)是課本知識的一個(gè)范圍，但教師要學(xué)生掌握的是把學(xué)到的技能融會貫通，能解決同一知識不同的問題。應(yīng)用數(shù)學(xué)幾何例題變式教學(xué)的方法會無形中提高教學(xué)效率。

一、精選幾何例題，提高課堂教學(xué)的有效性

初中數(shù)學(xué)課本的例題都是經(jīng)過各專家研究精選出來的，具有一定的代表性，包含著新知識的運(yùn)用，難度適中，符合大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，但教師在例題教學(xué)中，要根據(jù)例題的內(nèi)容和教學(xué)的知識進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?，從變式中檢驗(yàn)學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握。幾何例題的變式多樣化，思維發(fā)散也比較廣，因此教師在選擇例題的時(shí)候，要根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)，從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，圍繞教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)，精選出符合新授課知識的例題進(jìn)行變式訓(xùn)練，提高學(xué)生的思維能力。例如，人教版九年級上冊《圖形平移與旋轉(zhuǎn)》一課中，學(xué)習(xí)了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：1.對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;2.對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;3.旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。學(xué)生如何應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的三個(gè)性質(zhì)，課本就用一例題檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況，教師可以通過選擇這個(gè)例題檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況。例：如圖，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。

這道題難度不算大，一方面考查學(xué)生對旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的運(yùn)用;另一方看還考察了學(xué)生的動手能力，根據(jù)性質(zhì)，也很容易得道旋轉(zhuǎn)后的圖形。

例題的選擇必須要有一定的基礎(chǔ)性和代表性，遵循從易到難的原則。這道例題，對于很多同學(xué)都能夠掌握，難度不大，但真正理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，教師可以根據(jù)這個(gè)例題進(jìn)行題目的變式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和思維能力。

二 變式教學(xué)法在課堂例題教學(xué)中的應(yīng)用

1. 在講授知識方面的應(yīng)用

教材中的例題，本身就有一定的代表性，注重的都是引導(dǎo)學(xué)生對知識的掌握，旨在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，因此課本的例題難度適中，適合大部分學(xué)生。在教學(xué)中，教師需要的是給予學(xué)生一個(gè)平臺展示，新課本指出，數(shù)學(xué)活動必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，激發(fā)學(xué)生積極性，向?qū)W生提供從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本數(shù)學(xué)知識和技能。學(xué)生有平臺展示，才能更好地發(fā)揮例題的作用，對例題才能更加深入研究，采用不同的解題方式培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性與靈活性，那這樣的教學(xué)才有價(jià)值。如剛才的例題，引導(dǎo)學(xué)生把習(xí)題與例題聯(lián)系起來，把新知識合理運(yùn)用。如題目可以變形為：

如圖：點(diǎn)E是邊長為a的正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。

（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;

（2）連接KE，是_______三角形，說明你的理由。

這個(gè)題目就是在原來例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變形，依然是把圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，學(xué)生也根據(jù)例題的解題方法動手操作，把圖形畫出來，而在畫旋轉(zhuǎn)圖形過程中，實(shí)際上已經(jīng)融入旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)了，學(xué)生對性質(zhì)的掌握是否能夠在講授知識的時(shí)候 ，教師可以觀察到，那么題目中的第二個(gè)問題，是一個(gè)什么三角形呢？從旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道，旋轉(zhuǎn)后的圖形相等，旋轉(zhuǎn)角為90度，也就是AE=AK，，可知，是一個(gè)等腰直角三角形，從而更好地體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)在題目中的運(yùn)用，把例題與習(xí)題聯(lián)系起來。這樣的變式題有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性與靈活性，拓展思維的廣度和深度。

2. 在培養(yǎng)能力方面的應(yīng)用

學(xué)生的發(fā)散思維能力需要在平時(shí)學(xué)習(xí)中不斷培養(yǎng)，使學(xué)生達(dá)到解決問題、善于變通，因此在變式訓(xùn)練中對能力的培養(yǎng)尤為重要，包括題目的一題多解，一題多變，逐步深入，教師無論采用哪種方式，都是以基礎(chǔ)為主，引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，采用逆向、正向思考不同的問題，或者把題目逐步向深一層引導(dǎo)發(fā)展，促使學(xué)生不斷思考，不斷探索，也有利于學(xué)生對知識的掌握。如把剛才旋轉(zhuǎn)的題目繼續(xù)變式，加深學(xué)生對例題的理解，掌握旋轉(zhuǎn)的知識，應(yīng)用在實(shí)際的解題中。

如圖在正方形ABCD中，，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為DC上一點(diǎn)，的兩邊AE、AF分別與直線BD交點(diǎn)M、N，連接EF：

（1）EF=BF+DE;

（2）的周長為恒值;

（3）+=。

驗(yàn)證以上是否成立？

這道題的難度就在原來的基礎(chǔ)上增加了，學(xué)生如何運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生探究，發(fā)散學(xué)生的思維能力。

驗(yàn)證（1）的成立，EF=BF+DE，如下圖所示：

不難發(fā)現(xiàn)≌，也可以證明≌，從而得到EF=BF+DF，證明三邊關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)相關(guān)性質(zhì)，找到相應(yīng)的角相等，邊相等，可以得到全等三角形，也能在其中發(fā)現(xiàn)邊與邊之間的關(guān)系，無論題目如何變形，始終圍繞著旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生把新學(xué)到的知識應(yīng)用到練習(xí)中。

同樣道理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)驗(yàn)證（2）求的周長，也就是邊與邊之間的關(guān)系，如圖2所示，同樣可以證明≌，≌，的周長=CF+CE+EF=CF+CE+（BF+DE）=（CF+BF）=（CE+DE）=BC+DC=2a（定值），也圍繞著旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)探索;

驗(yàn)證這兩個(gè)問題后，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生加深對題目的理解，把知識點(diǎn)從易到難進(jìn)行引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

驗(yàn)證（3），如圖三所示

（1）此題需要作輔助線，難度會增加，很多學(xué)生找不到規(guī)律，也不知道如何找三條線段之間的關(guān)系，教師可以根據(jù)+=引導(dǎo)，三邊的關(guān)系是否像我們之前學(xué)過的勾股定理，若是勾股定理，必須三邊存在同一個(gè)直角三角形中，因此采用等量代換的方法把邊進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為求證BN、BG、GN之間的關(guān)系，因此可以作AG=AM，連接BG、GN，證明≌，接著證明≌，可得NG=MN， =90度，從而得到+=，等量代換后得到+=，學(xué)生探索完三個(gè)題目，會很清楚知道，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)在解題過程中的運(yùn)用，思維能力也得到很好的培養(yǎng)。因此，根據(jù)例題的變換，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及解題的能力都有很大的幫助。

三、幾何題目變式，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展

1.幾何題目變式，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)有三個(gè)顯著特點(diǎn)，這就是內(nèi)容邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、應(yīng)用的廣泛性，它們互相聯(lián)系，互相影響，密不可分。課本中有的例題對于學(xué)習(xí)能力較好的學(xué)生很容易理解，也會覺得難度比較低，有時(shí)候會對這些簡單的題目失去興趣，而有的題目相對難，學(xué)生又沒有克服難題的信心，容易失去對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，教師在教學(xué)中適當(dāng)把例題變式，由淺入深，誘惑學(xué)生一步一步進(jìn)入探究的意境，從一個(gè)知識點(diǎn)聯(lián)系到另外一個(gè)知識點(diǎn)，層層探究，逐步深入，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不同的方法進(jìn)行解題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生求知欲，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

2.幾何解法變式，能快速培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

初中數(shù)學(xué)幾何題目，教師可以引導(dǎo)學(xué)生一題多解，采用不同的方式驗(yàn)證某一結(jié)論，或者用不同的方式解答問題，開動腦筋尋找更多的解題方案。幫助學(xué)生找到數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生增加數(shù)學(xué)思考的深度和廣度，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生參與課堂的積極性。在幾何例題教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生初步探究一例題，尋找例題中的知識點(diǎn)，適當(dāng)把例題變式，圍繞同一個(gè)知識點(diǎn)思考不同的問題，可以快速培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。如前面列舉的例題，經(jīng)過幾次的變形，都圍繞著旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答問題，從不同的問題尋找不同的解決方法，加深對知識點(diǎn)的認(rèn)識，熟練運(yùn)用所學(xué)的知識。

在運(yùn)用變式教學(xué)法的過程中，教師應(yīng)根據(jù)例題的特點(diǎn)，結(jié)合知識點(diǎn)和學(xué)生的掌握程度把例題進(jìn)行變式，不要脫離實(shí)際，過份把難度增加，違背學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過思考得不到想要的結(jié)果，會降低學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，難以取得有效的教學(xué)效果。更應(yīng)該數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，根據(jù)實(shí)際，把知識點(diǎn)串聯(lián)起來，讓學(xué)生在解決問題的時(shí)候找到規(guī)律，舉一反三，形成完善的解題格局，融會貫通，活學(xué)活用。

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