學習潛能視角下的中考數(shù)學考查探析

束浩東 陳清華 郭軍成

【摘 要】 數(shù)學學習潛能，是學生學習數(shù)學的潛在能力.文章在分析數(shù)學學習潛能組成成分的基礎(chǔ)上，以2021年中考數(shù)學試題為例總結(jié)了學習潛能的考查視角——即時學習能力、知識遷移能力、歸納概括能力及探究創(chuàng)新能力四個方面的考查.最后歸納了以考查數(shù)學學習潛能為目標的試題命制時應(yīng)當遵循的六個原則：公平性、簡潔性、適切性、發(fā)展性、時代性和導向性.

【關(guān)鍵詞】 中考數(shù)學;學習潛能;知識遷移;探究創(chuàng)新;命題原則

中考作為九年義務(wù)教育的終結(jié)性考試，發(fā)揮著學業(yè)檢測和區(qū)分選拔的雙重功能.基于選拔而審視中考數(shù)學，不難發(fā)現(xiàn)選拔的標準就是考生是否具備進一步學習所必備的數(shù)學基礎(chǔ)知識和能力素養(yǎng).換言之，即通過中考數(shù)學試題來檢驗考生的數(shù)學學習潛能.本文擬以中考數(shù)學題為例，探析數(shù)學學習潛能的考查方式，歸納命題原則，以期為中考數(shù)學命題提供參考.

1 潛能與學習潛能概念界定

“能力”一詞經(jīng)常活躍在大眾視野當中，常指一個人完成某項任務(wù)所體現(xiàn)出來的綜合素質(zhì).在心理學中“能力”特指人們成功地完成某種活動所具備的個性心理特征，它會直接影響人的活動效率.能力根據(jù)表現(xiàn)形式可以劃分為實際能力和潛在能力兩種類型，實際能力指個人當前實際能夠做到的，主要通過知識技能來表現(xiàn)，反映了學習的成就或訓練的結(jié)果;潛在能力并非指個人已經(jīng)形成的實際能力，而是指未來可能發(fā)展的心理特征基礎(chǔ)，主要用來預測將來的表現(xiàn)[1].潛能即所謂“潛在的能力”，最早由古希臘哲學家亞里士多德提出，它是相對于“現(xiàn)實”的概念，意為可能性的存在.這種可能性的存在一旦在現(xiàn)實中得以實現(xiàn)，便成為現(xiàn)實性[2].心理學上認為人從一出生就有向外界學習（模仿）的能力，這是一個人學習能力的基本體現(xiàn).學習潛能，顧名思義是指一個人潛在的學習能力，而把學習的范圍具體限定在學校的教育教學上則特指學生在學科領(lǐng)域?qū)W習上尚未外顯的而更進一步學習所必備的潛在能力.

2 數(shù)學學習潛能的內(nèi)涵外延

所謂的數(shù)學學習潛能，即指學生學習數(shù)學的潛在能力.基于考查而審視數(shù)學學習潛能，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學學習潛能是指學生基于已有的數(shù)學基礎(chǔ)、學習新知識與方法的能力;也是指學生面對陌生的數(shù)學問題情境時，能夠有效地基于新情境，聯(lián)想已有的知識與方法，并將這些知識與方法運用于解決問題的能力[3].

基于上述分析，從選拔性考試的視角出發(fā)可以認為數(shù)學學習潛能主要表現(xiàn)在以下幾個方面：一是即時學習能力，即指在有限的時間內(nèi)能夠快速理解新知識（新概念）、自主學習新方法并綜合所學知識解決實際問題;二是學習遷移能力，即面對新的問題情境能夠基于已有的知識、方法及經(jīng)驗積累進行合理的遷移以解決相關(guān)數(shù)學問題;三是歸納概括能力，即面對全新的情境材料能夠歸納概括出一般性的規(guī)律或結(jié)論;四是探究創(chuàng)新能力，即能夠把握相關(guān)問題情境的核心，綜合運用所學知識和活動經(jīng)驗等進行合理探究并創(chuàng)造性地解決數(shù)學問題.

3 數(shù)學學習潛能的考查視角

3.1 即時學習能力的考查是檢測數(shù)學學習潛能的基本體現(xiàn)

3.1.1 定義新概念，考查數(shù)學理解能力

概念是思維的細胞，理解概念是一切數(shù)學活動的基礎(chǔ)[4].數(shù)學學習的過程總是與數(shù)學知識緊密相連，而數(shù)學概念是數(shù)學知識之間的聯(lián)系橋梁.因而，數(shù)學概念理解水平的高低對于知識的掌握和能力的發(fā)展至關(guān)重要.基于此，以定義新概念的形式考查即時學習（理解）能力是檢測學生數(shù)學學習潛能的重要依托.

例1 （2021年重慶市中考數(shù)學第24題）如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，且能分解成A×B，其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為10，則稱數(shù)M為“合和數(shù)”，并把數(shù)M分解成M=A×B的過程，稱為“合分解”.

例如：因為609=21×29，21和29的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為10，

所以609是“合和數(shù)”.

又如：因為234=18×13，18和13的十位數(shù)字相同，但個位數(shù)字之和不等于10，

所以234不是“合和數(shù)”.

（1）判斷168，621是否為“合和數(shù)”，并說明理由;

（2）把一個四位“合和數(shù)”M進行“合分解”，即M=A×B，A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的和記為P（M），A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對值記為Q（M）.令G（M）=P（M）Q（M），當G（M）能被4整除時，求出所有滿足條件的M.

評注 試題通過定義一個學生已有數(shù)學知識結(jié)構(gòu)中尚未存儲的新概念——“合和數(shù)”為背景材料，命制情境化試題，考查考生的數(shù)學理解能力.通過題設(shè)條件對“合和數(shù)”的定義以及所舉兩個案例準確理解“合和數(shù)”這樣一個全新的概念是問題求解的關(guān)鍵.第（1）問根據(jù)“合和數(shù)”定義進行驗證即可，旨在落實對基礎(chǔ)知識的考查;第（2）問具有一定的難度與區(qū)分度，需要考生把握A，B兩數(shù)各數(shù)位數(shù)字之間的特征及關(guān)聯(lián).合理設(shè)置未知數(shù)、尋找數(shù)字之間的等量關(guān)系建立方程是正確求解問題的前提條件.本題以定義的新概念為載體檢測了考生數(shù)學理解能力的發(fā)展水平，凸顯對數(shù)學學習潛能的考查.

3.1.2 引入新方法，考查自主學習能力

學生基于已有的數(shù)學基礎(chǔ)，學習新知識、新方法的能力是數(shù)學學習潛能的重要體現(xiàn)，即時學習能力指學生能夠合理借助已有知識或方法的學習經(jīng)歷或?qū)W習體驗，快速掌握面對的數(shù)學新知識或新方法，并將其納入自身已有的知識網(wǎng)絡(luò)或方法體系之中[5]，反映在中考數(shù)學考場上，則特指考生在限時應(yīng)答的環(huán)境中快速學習題干材料所提供的新知識、新方法進而完成試題的求解.

例2 （2021年隨州市中考數(shù)學第15題）2021年5月7日，《科學》雜志發(fā)布了我國成功研制出可編程超導量子計算機“祖沖之”號的相關(guān)研究成果.祖沖之是我國南北朝時期杰出的數(shù)學家，他是第一個將圓周率π精確到小數(shù)點后第七位的人，他給出π的兩個分數(shù)形式：227（約率）和355113（密率）.同時期數(shù)學家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為ba和dc（即有ba<x<dc，其中a，b，c，d為正整數(shù)），則b+da+c是x的更為精確的近似值.例如：已知157150<π<227，則利用一次“調(diào)日法”后可得到π的一個更為精確的近似分數(shù)為：157+2250+7=17957;由于17957≈3.1404<π，17957<π<227，可以再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分數(shù)……現(xiàn)已知75<2<32，則使用兩次“調(diào)日法”可得到2的近似分數(shù)為.

評注 本題以未見于學生當下已有學習經(jīng)歷的新方法為背景，介紹了運用“調(diào)日法”尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法，要求考生運用該方法求解2的近似分數(shù).根據(jù)題設(shè)材料準確把握問題的本質(zhì)，即時學習并掌握“調(diào)日法”的求解原理是解決問題的前提.本題基于情境創(chuàng)設(shè)、知識獲取、信息整合與轉(zhuǎn)化檢測考生面對數(shù)學新知識、新方法時即學即用能力的發(fā)展水平，有效落實了對數(shù)學學習潛能的考查.

3.2 學習遷移能力的考查是檢測數(shù)學學習潛能的有效路徑

所謂遷移就是一種學習對另外一種學習的影響，數(shù)學教育的目標無非就是為學生的后續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)，使學生學會舉一反三，把一種學習中形成的學習經(jīng)驗遷移到另一種學習中去，即學會自我學習[4].而自主學習能力對學生進一步學習義務(wù)教育后續(xù)階段數(shù)學課程乃至終身發(fā)展都至關(guān)重要.因而通過創(chuàng)設(shè)新情境，以檢測知識（經(jīng)驗）遷移能力為依托考查考生學習遷移能力發(fā)展水平也是選拔性考試檢測數(shù)學學習潛能的有效路徑.

例3 （2021年江西省中考數(shù)學第20題）圖1是新冠肺炎疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的實景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直.量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度為25.3cm（即MP的長度），槍身BA=8.5cm.

（1）求∠ABC的度數(shù);

（2）測溫時規(guī)定槍身端點A與額頭的距離范圍為3～5cm.在圖（2）中，若測得∠BMN=68.6°，小紅與測溫員之間的距離為50cm.問此時槍身端點A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)，并說明理由.（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，2≈1.414.）

評注 本題結(jié)合當下社會熱點，以新冠疫情期間體溫測量過程中“測溫槍”的使用為載體，創(chuàng)設(shè)全新的問題情境，命制情境化試題.試題將“測溫槍”這一儀器抽象成數(shù)學模型，考查解直角三角形的實際應(yīng)用，有效檢測了考生面對新的問題情境是否能夠基于已有的知識、方法及經(jīng)驗積累進行合理的遷移以解決相關(guān)問題.試題精心擷取背景材料，巧妙融入日常生活資源，彰顯數(shù)學知識廣泛應(yīng)用價值的同時也潤物無聲般地檢測了學生的數(shù)學學習潛能.

3.3 歸納概括能力的考查是檢測數(shù)學學習潛能的良好載體

歸納是從個別的事物或經(jīng)驗事實出發(fā)推出一般的概念、法則等;概括表現(xiàn)為找出一類事物本質(zhì)特性并且把本質(zhì)特性推廣到同類事物中去[4].《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中提出：“數(shù)學作為對于客觀對象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具.”[6]由此觀之，歸納概括能力在數(shù)學學科發(fā)展中具有重要地位，一定程度上可視為學生學習數(shù)學的前提條件.從這一層面上來看，歸納概括能力也是數(shù)學學習潛能的重要組成因子，這也應(yīng)是中考考查數(shù)學學習潛能的重要一環(huán).

例4 （2021年懷化市中考數(shù)學第16題）觀察等式：

2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22+23+24=25-2，….已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199.若2100=m，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是.

評注 正確求解本題需要根據(jù)材料所給的3組等式歸納概括出一般性的規(guī)律：

21+22+23+…2n=2n+1-2;并依據(jù)此規(guī)律求解出：21+22+…+299=2100-2=m-2，

21+22+…2199=2200-2=（2100）2-2=m2-2，故所求和式的值為m2-m.試題旨在考查考生根據(jù)已有材料，概括規(guī)律、歸納結(jié)論的能力，進而考查數(shù)學學習潛能.

例5 （2021年自貢市中考數(shù)學第16題）某學?！疤依畈蛷d”把WIFI密碼做成了數(shù)學題.小紅在餐廳就餐時，思索了一會兒，輸入密碼，順利地連接到了“桃李餐廳”的網(wǎng)絡(luò)，那么她輸入的密碼是.

5*36=3018482*67=1442569*25=4510554*86=密碼

評注 本題求解過程中根據(jù)材料歸納出一般性的規(guī)律a*bc=ac/bc/acbc是關(guān)鍵，因此4*86=244872.本題以無線網(wǎng)密碼為背景，基于情境創(chuàng)設(shè)、信息獲取、規(guī)律探究檢驗學生歸納概括能力發(fā)展水平，落實對數(shù)學學習潛能的考查.

3.4 探究創(chuàng)新能力的考查是檢測數(shù)學學習潛能的重要依托

義務(wù)教育階段的數(shù)學課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性的特點[6].而普通高中教育的任務(wù)則是在義務(wù)教育的基礎(chǔ)上促進學生更進一步發(fā)展，為學生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ).高中數(shù)學課程基本理念之一就是“提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，以促進學生創(chuàng)新意識的發(fā)展”.毫無疑問，實現(xiàn)這一切的前提必須以學生個人的學習潛能為基礎(chǔ)，以自身的主動探究為依托.這也應(yīng)當是中考數(shù)學將考生探究創(chuàng)新能力的考查提升到體現(xiàn)其選拔功能的意義所在！

例6 （2021年杭州市中考數(shù)學第19題）在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答.

解答：

問題：如圖3，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，點D在AB邊上

（不與點A，點B重合），點E在AC邊上（不與點A，點C重合），

連接BE，CD，BE與CD相交于點F.若，

求證：BE=CD.

評注 本題是一道典型的結(jié)構(gòu)不良問題，考生無論選取三個條件中的

哪一個均可以借助相應(yīng)的數(shù)學知識或方法完成待證結(jié)論的證明.結(jié)構(gòu)不良試題所具有的條件或部分數(shù)據(jù)缺失或冗余，目標界定不明確，具有多種解決方法、途徑，具有多種評價解決方法的標準，涉及的概念、規(guī)則或原理不確定等特征[7]，使其在考查學生的探究創(chuàng)新能力方面作用尤為明顯.

例7 （2021年揚州市中考數(shù)學第27題）在一次數(shù)學探究活動中，李老師設(shè)計了一份活動單：已知線段BC=2，使用作圖工具作∠BAC=30°，嘗試操作后思考：

（1）這樣的點A唯一嗎？（2）點A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追夢”學習小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B，C除外），……小華同學畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D4）.

（1）小華同學提出了下列問題，請你幫助解決.

①該弧所在圓的半徑長為;

②△ABC面積的最大值為;

（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖4所示的弓形內(nèi)部，我們記為A′，請你利用圖4證明∠BA′C>30°;

（3）請你運用所學知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖5，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P在直線CD的左側(cè)，且tan∠DPC=43.

①線段PB長的最小值為;②若S△PCD=23S△PAD，則線段PD長為.

評注 本題以數(shù)學探究活動為依托進行優(yōu)化設(shè)計，命制情境化試題.以問題為導向，分層設(shè)問，要求考生根據(jù)已知條件類比、模仿、創(chuàng)新并綜合運用所學知識，建立合理的數(shù)學模型，探索問題求解策略.預設(shè)情境活動表明，試題能夠基于信息獲取與轉(zhuǎn)化、知識遷移、類比探究和創(chuàng)新意識等考查學生的數(shù)學學習潛能.

4 數(shù)學學習潛能的考查原則

數(shù)學學習潛能的考查必須依賴于承載考查內(nèi)容、落實考查目標的相關(guān)問題情境，基于以上分析，筆者認為以考查數(shù)學學習潛能為目標的試題命制時應(yīng)當遵循以下幾個原則.

4.1 公平性原則

公平性原則指的是，基于考查數(shù)學學習潛能的試題其背景材料、解決試題所需的知識與方法應(yīng)該為所有考生所熟悉、或為所有考生所不熟悉[8]，既包括材料解讀的公平、試題解答的公平也應(yīng)當包括思維過程的公平.例如案例7中僅要求填寫相關(guān)問題的答案，一定程度上忽視了學生的思維過程，這就必然導致“會而不全”與“毫無頭緒”的考生享受“同等待遇”，一定程度上有違考試的公平性.

4.2 簡潔性原則

簡潔性原則是指以考查數(shù)學學習潛能為目標而選取的背景材料應(yīng)當簡潔明了，既包括問題闡述形式上的簡潔，也包括情境材料內(nèi)容長度上的簡潔.例如案例2的背景材料內(nèi)容過于冗長，尤其是作為客觀題，如此長篇累牘合適與否尚有待商榷.

4.3 適切性原則

適切性原則是指針對意在考查數(shù)學學習潛能的具體試題而言，試題的難度、題型、設(shè)問方式、在整張試卷中的位置乃至試題的立意、表述形式等均應(yīng)做到適宜、妥帖，符合學生的思維和認知發(fā)展水平，符合義務(wù)教育階段教學實際，杜絕偏題、怪題的現(xiàn)象.

4.4 發(fā)展性原則

發(fā)展性原則是指以考查數(shù)學學習潛能為目標的試題命制時應(yīng)以促進學生的可持續(xù)發(fā)展為指導思想，聚焦學生更進一步學習所應(yīng)具備的數(shù)學關(guān)鍵知識和能力素養(yǎng)達成情況，創(chuàng)新試題的呈現(xiàn)形式，如結(jié)構(gòu)不良、多項選擇、多空填空等，為中考數(shù)學學習潛能考查功能的有效發(fā)揮提供堅實的載體.

4.5 時代性原則

時代性原則指的是，基于考查數(shù)學學習潛能的試題命制應(yīng)注意與時代接軌，注重加強與實際生活的聯(lián)系，反映經(jīng)濟社會與日俱增的發(fā)展和科學技術(shù)日新月異的變化.例如案例3巧妙融入社會熱點話題，讓試題更具新穎性和親和力的同時也能引導教師的日常教學打破書本知識的禁錮，轉(zhuǎn)而關(guān)注現(xiàn)實生活，進而引導學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界.

4.6 導向性原則

導向性原則指的是，基于考查數(shù)學學習潛能的試題命制必須關(guān)注中考“導向教學”功能的準確發(fā)揮.命題時應(yīng)處理好傳承與創(chuàng)新的關(guān)系，要穩(wěn)中求變，優(yōu)化設(shè)計出“低起點、高立意”且兼具高質(zhì)量與新穎性的試題，打破“基礎(chǔ)題考知識，綜合題考思維”的命題刻板效應(yīng).如此，方能在落實考查目標的同時，為中學數(shù)學教學提供明確的導向：機械刷題收效甚微，以練代教切不可取.進而引導一線教師潛心研究課程、研究教法，以提高教學質(zhì)量，切實減輕義務(wù)教育階段學生的課業(yè)負擔.

5 結(jié)束語

中考數(shù)學學習潛能考查目標的落實，主要聚焦數(shù)學理解、自主學習、歸納概括、學習遷移、探究創(chuàng)新等關(guān)鍵要素的考查，應(yīng)遵循公平性、簡潔性、適切性、發(fā)展性、時代性和導向性原則，創(chuàng)新試題的呈現(xiàn)方式和情境活動的構(gòu)建，著眼于學生即時學習能力、知識遷移能力、歸納概括能力以及探究創(chuàng)新能力發(fā)展水平的檢測.中考數(shù)學學習潛能考查目標的落實，既可以為中考“區(qū)分甄別”功能的實現(xiàn)提供保障，也能夠為中考“導向教學”作用的發(fā)揮構(gòu)筑基礎(chǔ).

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作者簡介

束浩東（1996—），男，安徽合肥人，碩士研究生;主要研究數(shù)學考試命題與評價.

陳清華（1962—），男，福建莆田人，教授，博士生導師;主要研究代數(shù)表示論、數(shù)學教育以及考試命題與評價.

郭軍成（1979—），男，河南鄭州人，副教授，博士研究生;主要研究數(shù)學教育、數(shù)學考試命題與評價.