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    識(shí)圖—析圖—研圖 彰顯思維品質(zhì)

    2022-03-24 18:54:54賀彥斌
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2022年1期
    關(guān)鍵詞:方法策略課堂教學(xué)

    【摘 要】 課堂教學(xué)中正確引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖、析圖、研圖,可以幫助充分理解圖形的本質(zhì),使問題得到不斷分解和轉(zhuǎn)化.啟發(fā)學(xué)生從不同角度觀察、思考、探索解決問題的途徑,讓學(xué)生參與到問題的探索中,感受在變化中不變的規(guī)律,以達(dá)到梳理知識(shí)結(jié)構(gòu),完善知識(shí)體系,培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)和促進(jìn)教學(xué)的目的.

    【關(guān)鍵詞】 課堂教學(xué);圖形構(gòu)建;方法策略

    習(xí)題講評課是一線教師較為頭疼的一類課型,課堂上教師往往會(huì)采取一講到底的形式,而學(xué)生也只是一味地接受教師的講授.久而久之,班級中學(xué)習(xí)能力較為薄弱的學(xué)生對習(xí)題講評課越來越不感興趣,對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展極其不利.筆者在八年級平行四邊形這一章后的一次習(xí)題講評課中,對一道四邊形習(xí)題進(jìn)行深入挖掘,對平行四邊形的判定及中位線的性質(zhì)進(jìn)行了回顧.以下就這一題的分析進(jìn)行總結(jié)梳理,與大家共同分享.

    1 原題呈現(xiàn)

    如圖,AM是△ABC的中線,D是線段AM上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合).DE∥AB交AC于點(diǎn)F,CE∥AM,連結(jié)AE.

    (1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí),求證:四邊形ABDE是平行四邊形;

    (2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由.

    2 教學(xué)片段

    師:你想通過哪個(gè)判定定理來判定這一四邊形是平行四邊形?

    生1:一組對邊分別平行且相等.

    師:為什么用這一判定方法?

    生1:因?yàn)橐呀?jīng)知道了AB∥DE,只要再讓AB與DE相等即可.

    師:那么,要證明兩條線段相等,常用的方法是什么?

    生1:三角形全等.

    師:非常好,請你說一說具體的證明過程.

    生1:因?yàn)镈E∥AB,所以∠EDC=∠ABM,因?yàn)镃E∥AM,所以∠ECD=∠ADB,

    又因?yàn)锳M是△ABC的中線,且D與M重合,所以BD=DC,所以△ABD≌△EDC,

    所以AB=ED,又因?yàn)锳B∥ED,所以四邊形ABDE為平行四邊形.

    評析 第(1)小題的教學(xué)采用師生對話的形式,在提問時(shí)突出對平行四邊形判定的引導(dǎo),根據(jù)題目中已有的條件,選擇合適的判定定理解決問題,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成三角形全等來證明兩條線段長度相等.在教學(xué)中,對于解題方法的引導(dǎo)至關(guān)重要,教師在課堂上可以進(jìn)一步追問:已經(jīng)知道了一組對邊平行,除了證這一組對邊相等之外,還可以有什么方法?從而達(dá)到對數(shù)學(xué)核心知識(shí)挖掘的目的.

    師:請大家觀察第(1)小題與第(2)小題的聯(lián)系和區(qū)別,請組內(nèi)交流解決問題的方法.

    生2:(解法一)結(jié)論成立,理由如下:

    如圖3,過點(diǎn)M作MG∥DE交EC于點(diǎn)G,因?yàn)镃E∥AM,所以四邊形DMGE為平行四邊形,所以ED=GM且ED∥GM,由(1)可得AB=GM且AB∥GM,所以AB=ED且AB∥ED.所以四邊形ABDE為平行四邊形.

    師:你是如何想到添加這一輔助線的?

    生2:我發(fā)現(xiàn)了這一小題D點(diǎn)在動(dòng),但是始終有平行,所以想把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成第(1)小題.

    師:非常好,這位同學(xué)通過構(gòu)造一組平行線發(fā)現(xiàn)了依舊有三角形全等,同時(shí)根據(jù)平行四邊形的對邊相等進(jìn)行等線段的轉(zhuǎn)化.那么,大家還有不同的構(gòu)造平行四邊形的方法嗎?

    生3:(解法二)如圖3,在EC上截取EG=MD,構(gòu)造出DMGE,可得DE=MG,再由(1)可得AB=MG,則AB=DE,所以四邊形ABDE為平行四邊形.

    師:這兩位同學(xué)雖然輔助線添加的方法不一樣,但都是想通過構(gòu)造平行四邊形解決問題.其實(shí),我們也可以看作相當(dāng)于把這個(gè)動(dòng)點(diǎn)D“拉回到”起始點(diǎn).這種“回到原點(diǎn)”的想法,在解題過程中非常重要.那么,大家想一想,是否還有不同的構(gòu)造方法?

    生4:(解法三)如圖4,過點(diǎn)D作DN∥BC交EC于點(diǎn)N,因?yàn)镃E∥AM,所以四邊形DMCN為平行四邊形,所以DN=CM且ND∥CM,則由M是BC的中點(diǎn)得MB=MC,所以MB=DN.從而可證△ABM≌△EDN.

    所以AB=ED,AB∥ED.所以四邊形ABDE為平行四邊形.

    師:這種做法非常巧妙,剛才我們把D點(diǎn)“拉回來”,而現(xiàn)在我們是把M“移上去”.同樣也出現(xiàn)了三角形全等和平行四邊形,其問題解決的本質(zhì)是一致的.

    生5:(解法四)如圖4,在EC上取點(diǎn)N使CN=DM,連接DN,則四邊形DMCN是平行四邊形,同樣可證△ABM≌△EDN,所以AB=ED且AB∥ED.所以四邊形ABDE為平行四邊形.

    評析 方法一與方法二都是構(gòu)造出DMGE,方法三與方法四都是構(gòu)造出DMCN,他們分別在已知一組對邊平行的情況下,根據(jù)平行四邊形的判定定理,再使得這組對邊相等或另一組對邊平行來實(shí)現(xiàn)構(gòu)造.其目的是通過等線段的轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)AB與DE相等.雖然構(gòu)造的方法略有不同,但其本質(zhì)是一致的,都轉(zhuǎn)化為了第(1)小題中“雙平行、等線段證全等”的問題(如圖5所示).通過學(xué)生的回答,讓學(xué)生進(jìn)一步明確了在已知一組邊平行的基礎(chǔ)上,要得到平行四邊形可以通過這組邊相等或另一組邊平行來證明.教學(xué)中應(yīng)突出對問題本質(zhì)的挖掘,讓學(xué)生體會(huì)不同輔助線的添法背后所蘊(yùn)含的解決問題的方法——得到一對全等三角形和一個(gè)平行四邊形,故也可以通過如下輔助線的添法:過點(diǎn)E作EQ∥BC交MA的延長線于點(diǎn)Q,則得QMCE和△ABM≌△DEQ(如圖6),具體證明過程就不再贅述.

    生6:(解法五)如圖7所示,已知M是BC的中點(diǎn),則可取相鄰一邊EC的中點(diǎn)N,連接MN,BE,則MN是△BCE的中位線,記AM與BE交于點(diǎn)O,則MN∥BE,故圖中又出現(xiàn)“雙平行,等線段”圖形(如圖2),故△OBM≌△NMC,所以得BO=MN,又因?yàn)镸N∥BE,MA∥EC,則四邊形OMNE是平行四邊形,所以MN=OE,所以O(shè)B=OE,故可以證△OBA≌△OED,得AO=DO,則四邊形ABDE為平行四邊形.

    師:你是怎么想到這一做法的?

    生6:我看到題目中有一個(gè)中點(diǎn),那就想到是否可以通過中位線來證明.發(fā)現(xiàn)題目中只有一個(gè)中點(diǎn),便想再找一個(gè)中點(diǎn),來構(gòu)造出一條三角形的中位線,就可以證明了.

    評析 上述證法看似有些繁瑣,但是學(xué)生借助條件中的中點(diǎn)構(gòu)造出中位線,再借助第(1)小題中所出現(xiàn)的全等三角形來解決問題,抓住了問題的本質(zhì),抓住了核心圖形——“雙平行、等線段證全等”(如圖8).在教學(xué)的過程中,通過對中點(diǎn)的引導(dǎo),可以幫助學(xué)生解決問題.但本題對中點(diǎn)的探究不

    止于此,學(xué)生又提出可以用“倍長中線法”來解決這一問題,經(jīng)過討論,便得到了以下證法.

    生7:(解法六)如圖9所示,延長AM至點(diǎn)P,使得AM=MP,連接PC,易證△ABM≌△PCM,所以AB∥PC且AB=PC,由AP∥EC,DE∥PC得四邊形DPCE是平行四邊形,所以DE=PC,所以AB∥DE且AB=DE,所以四邊形ABDE是平行四邊形.

    師:同學(xué)們都非常善于思考問題,都對題目中給出的條件進(jìn)行了深入挖掘,能抓住問題的本質(zhì),對平行四邊形的各種判定方法融會(huì)貫通,并有很多解題經(jīng)驗(yàn)的積累和應(yīng)用.那么,讓我們進(jìn)一步思考:若點(diǎn)D在直線AM上運(yùn)動(dòng),四邊形ABDE始終是平行四邊形嗎?請同學(xué)們自主畫圖探究.

    評析 以上問題的提出是基于對這一問題本質(zhì)的進(jìn)一步挖掘,其目的是檢測學(xué)生是否能在變化的過程中,抓住核心問題,找到基本圖形來解決問題.同時(shí)通過畫圖,讓學(xué)生感受在變化中不變的規(guī)律,從而激發(fā)學(xué)生探尋知識(shí)的激情.通過學(xué)生自主探索,再加以幾何畫板的演示(如圖10、圖11),實(shí)現(xiàn)對這一問題的升華.

    3 教學(xué)啟示

    習(xí)題講評課是初中數(shù)學(xué)課堂中的常見課型,通過習(xí)題教學(xué)可以幫助學(xué)生解決問題、消化某些困惑,糾正問題,同時(shí)也能達(dá)到梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)、完善知識(shí)系統(tǒng),培養(yǎng)學(xué)生思維能力和促進(jìn)教學(xué)的目的.當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂注重對學(xué)生素養(yǎng)能力的培養(yǎng),在教學(xué)中正確引導(dǎo)學(xué)生“識(shí)圖、析圖、研圖”至關(guān)重要,因此在教學(xué)中應(yīng)注重以下幾點(diǎn).

    3.1 選少題,選好題

    教師在籌劃選題時(shí),應(yīng)根據(jù)學(xué)情,結(jié)合教學(xué)重點(diǎn),有側(cè)重地講題.對于綜合性較強(qiáng)的題,通過對問題的層層深入,在符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上,對不同層次的學(xué)生提出不同的要求,這樣才能收到實(shí)效.在本節(jié)課的教學(xué)中,選擇這一中考題是因?yàn)槠淇疾斓闹R(shí)是平行四邊形的判定,對于學(xué)生目前所學(xué)內(nèi)容有較強(qiáng)的針對性.本題雖有一定的難度,但在教學(xué)的設(shè)計(jì)上,通過教師的層層引導(dǎo),對平行四邊形的幾種判定方法均進(jìn)行了合理有效的使用,讓學(xué)習(xí)在一題的研究中達(dá)到對基礎(chǔ)知識(shí)的梳理和總結(jié)的效果.

    3.2 重啟發(fā),講透題

    教學(xué)中教師應(yīng)注重啟發(fā)的層次和角度.對于一道題,教師要善于通過層層啟發(fā),使問題得到不斷分解和轉(zhuǎn)化.啟發(fā)學(xué)生從不同角度觀察、思考、探索解決問題的途徑,讓更多的學(xué)生參與到問題的探究中,從而拓寬學(xué)生的思路,達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生高階思維的目的.在本節(jié)課的教學(xué)中,教師在每個(gè)方法得出后都能進(jìn)行方法的提煉,對問題的本質(zhì)進(jìn)行深入挖掘,并在學(xué)生遇到困難時(shí)給予一定的啟發(fā),讓多種思維在課堂上碰撞,激發(fā)學(xué)生的求知欲,對各種解題方法的得出也有理有據(jù),明確了思考的方向,對問題的探索也逐漸明朗.

    3.3 勤提煉,留遐想

    課堂的精彩源于學(xué)生,源于對本質(zhì)的挖掘.若教師能在習(xí)題講解后通過提煉得出解決此類問題的一般方法,或者幫助學(xué)生突破題意解決問題,這對學(xué)生的幫助是巨大的.本習(xí)題課的教學(xué)中,教師最后對學(xué)生如何合理使用中點(diǎn)提出自己的想法,讓學(xué)生感受中點(diǎn)的價(jià)值.同時(shí),為了能讓學(xué)生更好地理解變化中不變的基本圖形,教師提出若點(diǎn)D在直線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否還有一樣的結(jié)論.通過幾何畫板的演示,讓學(xué)生充分理解了這一圖形的本質(zhì),留給學(xué)生充分想象的空間.

    世人常說世事應(yīng)遵從“合情合理”,筆者以為,我們的課堂教學(xué),也應(yīng)該追求一種“合情合理”的境界.當(dāng)我們看到,每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都是那樣的順暢、每一個(gè)問題都是那樣的自然、每一個(gè)學(xué)生都是那樣的心領(lǐng)神會(huì)時(shí),細(xì)細(xì)品味,你會(huì)感覺到一切已盡在情理之中[1].參考文獻(xiàn)[1]劉金英.一切盡在情理之中——對“平行四邊形”概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)[J].中國數(shù)學(xué)教育,2010(05):12-13.

    作者簡介 賀彥斌(1987—),男,浙江普陀人,中學(xué)一級教師;浙江省教壇新秀,曾獲浙江省初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比一等獎(jiǎng),第九屆全國初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課評比一等獎(jiǎng);主要研究課堂教學(xué)方法與實(shí)踐.

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