初中數(shù)學(xué)教科書函數(shù)內(nèi)容設(shè)置的國際比較

李健 甄祎明

【摘 要】 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.選取中國、日本、新加坡、英國和美國的代表性初中數(shù)學(xué)教科書為研究對象，以縱向與橫向兩個維度進行比較分析.研究發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)內(nèi)容的發(fā)展主線上，五版教科書存在函數(shù)概念的引入時機不同、具體函數(shù)的編排順序不同的特點;在函數(shù)內(nèi)容編排上，五版教科書既存在螺旋上升結(jié)構(gòu)、現(xiàn)實應(yīng)用導(dǎo)向的共性特征，也存在函數(shù)研究的基本路徑、情境問題串、信息技術(shù)的使用、高觀點下的圖象分類、“對應(yīng)說”式的函數(shù)概念等版本特色.立足函數(shù)內(nèi)容的教科書編寫與教學(xué)實施，提出有關(guān)學(xué)生、數(shù)學(xué)、教學(xué)以及技術(shù)的四方面建議.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué);函數(shù);教科書;教材;國際比較

1 研究背景

函數(shù)是分析和研究事物運動變化規(guī)律的重要工具.F·克萊因?qū)⒑瘮?shù)置于教學(xué)的中心位置，甚至認為函數(shù)概念在任何使用數(shù)學(xué)思想的地方都起著主導(dǎo)作用[1].函數(shù)既是初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的核心概念之一，也是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的重要內(nèi)容，但學(xué)生對函數(shù)概念的認知卻面臨很多障礙[2].教科書作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的重要資源，其對函數(shù)內(nèi)容的編排設(shè)置無疑將影響到學(xué)生的函數(shù)學(xué)習.

近年來，數(shù)學(xué)教育研究者們愈發(fā)關(guān)注數(shù)學(xué)教科書研究[3-4].本研究將國內(nèi)外的多版初中數(shù)學(xué)教科書作為研究對象，通過對各版教科書函數(shù)章節(jié)內(nèi)容設(shè)置的比較，以期更好地了解不同國家教科書中函數(shù)內(nèi)容設(shè)置的共性與差異，為我國數(shù)學(xué)教科書編寫與教學(xué)實施提供參考.

2 研究設(shè)計

2.1 文本選擇

研究選取中國、日本、新加坡、英國和美國的代表性初中數(shù)學(xué)教科書為研究對象，見表1.

2.2 分析方法

按照Charalambos等人的分類方式：教科書的部分特征（如頁數(shù)、主題、主題順序等）可以讓教科書使用者初步了解教科書的適用性，這稱之為橫向維度;但橫向維度中的特征并未提供給教科書使用者內(nèi)容設(shè)置方面的詳盡信息（如定義、知識主題等），這種關(guān)于教科書具體內(nèi)容設(shè)置方面的特征稱為縱向維度[5].而結(jié)合橫向維度與縱向維度的教科書分析框架，也獲得了其他研究者的認同，如Hong等人就基于“橫縱雙向”的分析框架開展教科書研究[6];而在王嶸等人的研究中，也體現(xiàn)出“橫縱雙向”的分析模式，其橫向分析聚焦于高中函數(shù)內(nèi)容的發(fā)展主線，縱向分析則落腳于高中函數(shù)概念的定位、表征方式等多個方面[7].

綜上，本研究確立了縱向與橫向相結(jié)合的分析框架.其中，橫向維度主要關(guān)注函數(shù)內(nèi)容的發(fā)展主線，縱向維度主要關(guān)注函數(shù)內(nèi)容的編寫特點.

3 函數(shù)內(nèi)容的發(fā)展主線

通過橫向維度的比較，五版教科書中函數(shù)內(nèi)容的發(fā)展主線見表2.

由表2可見，五版教科書中的函數(shù)內(nèi)容普遍包括：函數(shù)概念、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù).其中，在函數(shù)的發(fā)展主線上存在兩處明顯差異：函數(shù)概念的引入時機不同，具體函數(shù)的編排順序不同.

在函數(shù)概念的引入時機方面，主要有兩種編排方式：一是以函數(shù)概念為起始點引領(lǐng)函數(shù)體系的生發(fā)，即先介紹函數(shù)概念，再依次呈現(xiàn)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)等具體函數(shù);二是以函數(shù)概念為落腳點明確變量間的函數(shù)關(guān)系，即先呈現(xiàn)各部分方程內(nèi)容，再給出函數(shù)概念明確函數(shù)關(guān)系.在具體函數(shù)的編排順序中，差異主要體現(xiàn)在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的先后順序上.對于反比例函數(shù)，人教版教科書將其設(shè)置于二次函數(shù)之后，而其他教科書則將其與正比例函數(shù)聯(lián)合呈現(xiàn).在一次函數(shù)方面，主要表現(xiàn)為一次函數(shù)與正比例函數(shù)的引入先后順序不同，這體現(xiàn)出不同編寫者對于“由一次函數(shù)特殊化為正比例函數(shù)”和“由正比例函數(shù)一般化為一次函數(shù)”這兩種編寫思路間的差異.

五版教科書的函數(shù)發(fā)展主線不盡相同，其差異體現(xiàn)出教科書編者對函數(shù)內(nèi)容的不同認識和定位，這將為我們理解教科書中的函數(shù)內(nèi)容提供多角度的思考.4 函數(shù)內(nèi)容編排的共性與特色

基于對五版教科書縱向維度的比較，發(fā)現(xiàn)了其中有關(guān)“呈現(xiàn)方式、編排結(jié)構(gòu)以及概念內(nèi)涵”的七個突出方面，根據(jù)它們在各版教科書中出現(xiàn)的普遍性大小，可將其分為函數(shù)內(nèi)容編排的共性與特色.

4.1 函數(shù)內(nèi)容編排的國際共性

通過對五版教科書函數(shù)內(nèi)容編排的比較，發(fā)現(xiàn)它們之間有許多共通之處，體現(xiàn)出了函數(shù)內(nèi)容編排的國際共性.

4.1.1 函數(shù)內(nèi)容編排的螺旋上升結(jié)構(gòu)

螺旋上升作為課程內(nèi)容組織的重要形式，意指課程內(nèi)容要在不同學(xué)習階段重復(fù)出現(xiàn)，并逐漸擴大范圍和加深程度，相對于直線式編排，它更加關(guān)注學(xué)生的認識特點，有助加深學(xué)生對內(nèi)容的理解[8].各版教科書考慮到初中生對抽象函數(shù)概念理解的困難，將函數(shù)相關(guān)內(nèi)容分散設(shè)置，如圖1展示了五版教科書對函數(shù)內(nèi)容的編排情況.

函數(shù)作為代數(shù)體系中的重要內(nèi)容，與方程、不等式等內(nèi)容緊密聯(lián)系.各版教科書均分散設(shè)置各類具體函數(shù)，并將其與方程、不等式內(nèi)容穿插安排，呈現(xiàn)出螺旋上升的編排結(jié)構(gòu)，這樣的處理方式可以幫助學(xué)生分階段不斷深化其對函數(shù)的理解[9].例如，新NSM教科書中以“二次方程→二次函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)→利用圖象求解二次方程→其他形式二次函數(shù)的圖象”的順序編排此部分代數(shù)內(nèi)容，將函數(shù)內(nèi)容適度拆分，以螺旋上升的結(jié)構(gòu)使方程與函數(shù)有機結(jié)合，層層深入，環(huán)環(huán)相扣，這有助于學(xué)生對函數(shù)內(nèi)容的高效學(xué)習.

4.1.2 函數(shù)內(nèi)容編排的現(xiàn)實應(yīng)用導(dǎo)向

函數(shù)關(guān)系是客觀世界中各種現(xiàn)象演變過程的數(shù)學(xué)反映[10]，學(xué)習函數(shù)是一個建構(gòu)的過程，對函數(shù)知識的理解與運用，離不開函數(shù)的現(xiàn)實應(yīng)用問題.因此，關(guān)于函數(shù)內(nèi)容的現(xiàn)實應(yīng)用導(dǎo)向，也成為五版教科書的共識.五版教科書利用多種具有現(xiàn)實背景的問題，在函數(shù)引入、函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)的應(yīng)用一系列環(huán)節(jié)中貫穿始終.

各版教科書均注重“函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用”.例如，人教版教科書在函數(shù)的章引言中列舉大量變化現(xiàn)象中的變量依賴關(guān)系，并在章小結(jié)中的知識結(jié)構(gòu)圖中呈現(xiàn)出知識在實際問題解決過程中的運用（見圖2）;日教版教科書設(shè)置大量真實問題情境以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習主動性，從而啟發(fā)學(xué)生思考函數(shù)的實際意義.這種現(xiàn)實應(yīng)用導(dǎo)向的設(shè)置方式，極大地加強了函數(shù)內(nèi)容的實踐性，從實踐角度深化學(xué)生對函數(shù)知識的理解，使抽象的函數(shù)知識具體化、生活化，并且能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)實用價值的認同感，從而增強其學(xué)習主動性.

4.2 函數(shù)內(nèi)容編排的版本特色

除以上共性外，各版教科書對函數(shù)內(nèi)容的呈現(xiàn)、概念內(nèi)涵等也有不同的關(guān)注，這些不同關(guān)注點體現(xiàn)出函數(shù)編排的版本特色.

4.2.1 人教版與日教版教科書體現(xiàn)函數(shù)研究的基本路徑

各具體函數(shù)的學(xué)習之間有相似性，使用函數(shù)研究的基本路徑，可以降低學(xué)生函數(shù)學(xué)習的難度，也能夠幫助其探索函數(shù)學(xué)習的一般模式.通過比較發(fā)現(xiàn)，人教版與日教版教科書在各類函數(shù)研究的過程中表現(xiàn)出一定的相似性，在此稱之為函數(shù)研究的基本路徑，這一基本路徑具體表現(xiàn)為：

①按照由一般到特殊的線索呈現(xiàn)函數(shù)體系：兩版教科書均先通過對多個實例的討論歸納出函數(shù)概念，從宏觀上對函數(shù)概念做一般性的描述，再依次介紹各具體函數(shù)，讓學(xué)習者感受函數(shù)模型的建立過程，體現(xiàn)出從一般到特殊的研究思路;

②在具體函數(shù)的研究中體現(xiàn)出相同模式：兩版教科書均以“實際問題引入→函數(shù)概念形成→函數(shù)概念表示→函數(shù)的性質(zhì)→函數(shù)的鞏固與實際應(yīng)用”的模式展開各具體函數(shù)的教學(xué)，以實際問題出發(fā)，再回到實際問題中去，讓學(xué)生經(jīng)歷從問題中抽象出數(shù)學(xué)知識的過程，并通過知識的學(xué)習、方法的掌握來解決實際問題;

③以圖象研究具體函數(shù)的性質(zhì)：兩版教科書并非將函數(shù)性質(zhì)直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而是通過分析函數(shù)圖象，先以自然語言描述圖象的特點，再通過設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)性質(zhì)，最后利用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)性質(zhì)，以加深學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的認識和理解.

兩版東亞教科書并非通過平鋪直敘地羅列結(jié)論來呈現(xiàn)函數(shù)內(nèi)容，而是循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生體驗知識的形成過程，通過逐層遞進地討論來呈現(xiàn)函數(shù)內(nèi)容的全貌，也即函數(shù)研究的基本路徑.這種函數(shù)研究的基本路徑將有助學(xué)生深刻理解函數(shù)內(nèi)涵，體會不同函數(shù)之間的共性，并從中領(lǐng)會函數(shù)的本質(zhì)，也為學(xué)生指明函數(shù)學(xué)習的一般方法.

4.2.2 日教版教科書利用情境問題串貫穿相關(guān)知識

問題情境是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要媒介[11]，高質(zhì)量的問題情境既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習動機，又有助其更好地認識情境外衣下的數(shù)學(xué)知識[12]，還可以為學(xué)生提供應(yīng)用數(shù)學(xué)的機會[13].各版教科書均注重函數(shù)的情境問題引入，其中日教版教科書中函數(shù)情境問題的編排最具特色.日教版教科書選擇學(xué)生熟悉的情境作為函數(shù)的實際問題背景，并將一個情境貫穿于同一內(nèi)容的不同學(xué)習階段，以情境問題串的形式在問題引入、分析問題、解決問題、回顧問題的過程中將知識串聯(lián).

例如，在函數(shù)概念的引入過程中，日教版教科書以“拉開窗戶”這一學(xué)生熟悉的情境為基礎(chǔ)，提出一系列與情境緊密相關(guān)的問題：首先，在“嘗試（lets try）”欄目中進行初步探索：拉開一扇窗戶，試調(diào)查窗戶隨打開部分長度變化而變化的數(shù)量，進而提出兩個問題并以此初步探索變量關(guān)系.其次，在函數(shù)概念引入中再次啟發(fā)學(xué)生思考，發(fā)現(xiàn)在打開部分的長度與打開部分的面積中，二者只需確定其一，另一項就隨之確定，由此引出函數(shù)概念.最后，以窗戶的長度為例介紹函數(shù)的定義域，從而完整呈現(xiàn)出函數(shù)概念.這樣以同一情境引發(fā)多個問題，有利于為學(xué)生提供系列性的問題探討，培養(yǎng)其層層深入的探索精神[14].

情境問題串指在同一情境的基礎(chǔ)上，設(shè)置一系列在情境關(guān)系或問題因果上有關(guān)聯(lián)性的問題.日教版教科書中的問題情境串設(shè)置，避免了多個情境問題對學(xué)生思維的負擔，同時貼近了生活實際，能夠使學(xué)生多方面理解函數(shù)內(nèi)涵.

4.2.3 新NSM教科書注重信息技術(shù)的多方位使用

函數(shù)是刻畫事物變化規(guī)律的模型，函數(shù)圖象則是從整體把握函數(shù)模型特征的重要載體.數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩大支柱，用信息技術(shù)勾勒圖形、研究圖形，可以把代數(shù)原理形象地表達出來[15].新NSM教科書在函數(shù)章節(jié)中注重信息技術(shù)的多方位使用，運用繪圖軟件輔助學(xué)生學(xué)習，并在教科書中提供電子資源網(wǎng)址，以服務(wù)學(xué)生探索函數(shù)圖象特點，主要體現(xiàn)在以下三處：

①借助圖象探索函數(shù)與方程的關(guān)系：在線性圖象與聯(lián)立線性方程一節(jié)中，新NSM教科書利用軟件繪制函數(shù)y=-2x+3與方程2x+y=3的圖象，并通過一系列具體問題的引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生探討函數(shù)y=mx+c與方程ax+by=k之間的關(guān)系;

②利用圖象求解方程組：在求解線性方程組時，新NSM教科書利用軟件繪制一組方程的圖象，進而通過所繪圖象中的交點坐標求解方程組;

③根據(jù)圖象研究二次函數(shù)的性質(zhì)：在二次函數(shù)的講解中，新NSM教科書利用繪圖軟件繪制二次函數(shù)的圖象，學(xué)生可登錄隨書提供的電子資源鏈接，通過操作調(diào)整參數(shù)值以觀察圖象變化，進而歸納出二次函數(shù)的性質(zhì).

信息技術(shù)助學(xué)生理解數(shù)學(xué)研究對象的本質(zhì).新NSM教科書注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)知識的整合，利用軟件繪制函數(shù)圖象，以此研究函數(shù)形成和變化的過程，將信息技術(shù)充分融入函數(shù)教學(xué)的多個方面，從而幫助學(xué)生從多方位認識函數(shù)特點、把握函數(shù)本質(zhì).

4.2.4 英MCEC教科書進行高觀點下的圖象分類

圖象是對函數(shù)的直觀刻畫，可以清晰地展示出函數(shù)的特點，幫助學(xué)生把握函數(shù)的變化規(guī)律.各版教科書均關(guān)注函數(shù)的圖象，其中英MCEC教科書將圖象分為直、曲兩類，具有一定的獨特性.

英MCEC教科書在章引言中提出將函數(shù)圖象分為直線與曲線兩類，見圖3.在研究直線相關(guān)內(nèi)容時，英MCEC教科書以繪制具體方程的圖象為起點，引出直線方程的一般形式，并引導(dǎo)學(xué)生觀察分析其圖象特征.在研究曲線相關(guān)內(nèi)容時，英MCEC教科書專設(shè)“曲線的圖象”一章，以此介紹相關(guān)曲線方程（函數(shù)）的圖象，這些曲線包括拋物線、雙曲線、三次曲線、組合曲線（形如y=ax3+bx2+cx+dx+e，其中a，b，c，d，e均為整數(shù)）和指數(shù)曲線等.各曲線的圖象均以“列表→描點→繪制圖象→觀察圖象特征”的模式進行，由數(shù)繪形，以形釋數(shù)，幫助學(xué)生加強出代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系.

如英MCEC教科書“曲線的圖象”章引言所述，英MCEC教科書基于線性與非線性的劃分對函數(shù)圖象進行分類，對于初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習而言，這是一種高觀點下的圖象分類方式.線性方程與非線性方程有一定的差異，在初等數(shù)學(xué)中主要體現(xiàn)在其解析式對應(yīng)的圖象上.英MCEC教科書以圖象作為解析式中變量關(guān)系的表示，幫助學(xué)生從線性與非線性關(guān)系的視角系統(tǒng)解讀兩類圖象，將解析式的符號表達與其對應(yīng)的幾何表示相關(guān)聯(lián)，能夠引導(dǎo)學(xué)生認識解析式中未知量的冪與其圖象間的對應(yīng)關(guān)系.在初中階段滲透線性與非線性關(guān)系，有助學(xué)生未來進行更高水平的數(shù)學(xué)學(xué)習，例如為學(xué)生理解線性與非線性回歸、線性與非線性微分方程等內(nèi)容打下基礎(chǔ)，更為學(xué)生學(xué)習線性與非線性關(guān)系在多元函數(shù)中的推廣等提供前期經(jīng)驗.

4.2.5 美MF教科書采用“對應(yīng)說”式的函數(shù)概念

歷史上，函數(shù)概念先后經(jīng)歷了“幾何說”“變量說”“對應(yīng)說”“集合說”的發(fā)展[16]，函數(shù)概念的這一發(fā)展過程也是數(shù)學(xué)學(xué)科由常量數(shù)學(xué)過渡到變量數(shù)學(xué)的標志.五版教科書大多采用“變量說”表述函數(shù)概念，而美MF教科書則采用“對應(yīng)說”式的函數(shù)概念.

美MF教科書以不同例子輔助學(xué)生理解自變量與因變量之間的關(guān)系，滲透函數(shù)的“一一對應(yīng)”思想.例如在線性方程的引入中，教科書給出方程對應(yīng)的圖象，并給出提示：“圖象所包含的全部數(shù)對使得方程成立，舉例說明數(shù)對與方程之間的關(guān)系”，以此滲透“一一對應(yīng)”關(guān)系.此外，美MF教科書還通過映射圖介紹“一對一、一對多、多對一、多對多”四種對應(yīng)關(guān)系（見圖4），以鋪墊函數(shù)需要滿足的“一一對應(yīng)”關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，美MF教科書將目光由一般到特殊地從四種映射關(guān)系聚焦到“一對一”關(guān)系中，并將函數(shù)定義為：一種為每個自變量指派一個確切的因變量的關(guān)系.此種定義恰凸顯了函數(shù)的“對應(yīng)說”概念，有助加強學(xué)生對函數(shù)概念的深入理解.

相較于“變量說”式的函數(shù)概念定義方式，美MF教科書采用具有更高抽象水平的函數(shù)定義方式，以“對應(yīng)說”形成函數(shù)概念.先向?qū)W生整體介紹四種映射關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生歸納其中的對應(yīng)共性，獲得其中的數(shù)學(xué)思想;再通過類比，帶領(lǐng)學(xué)生從具體到抽象地帶領(lǐng)學(xué)生歸納出函數(shù)概念，凸顯函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，強調(diào)函數(shù)的一一對應(yīng).此種編排讓學(xué)生經(jīng)歷從映射到函數(shù)的特殊化過程，有助學(xué)生對函數(shù)內(nèi)涵的深度把握.5 討論與建議5.1 討論

通過對五版教科書的比較，分析出各版教科書函數(shù)內(nèi)容設(shè)置的共性與特色.這些共性與特色的產(chǎn)生原因，可以從各版教科書所處的不同社會文化，以及各國數(shù)學(xué)課程的發(fā)展變革中尋覓端倪.

從各版教科書的共性之處來看，主要表現(xiàn)為不同文化影響下函數(shù)課程設(shè)置的整體一致性，即五版教科書均將函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)課程設(shè)置的一條重要線索.這種整體一致性與20世紀初期F·克萊因主張中學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)以函數(shù)為主線的思想密切相關(guān)，該思想已經(jīng)成為世界各國中學(xué)數(shù)學(xué)課程設(shè)置的主流形態(tài).主線思想的另一表達形式即為大觀念（Big? Idea），將函數(shù)視為中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一個大觀念，有助將數(shù)學(xué)內(nèi)容連貫成一個有機的整體，這是近年來國際課程發(fā)展的共性認識.

談及不同教科書函數(shù)內(nèi)容設(shè)置的特色之處，則離不開社會文化、數(shù)學(xué)課程的改革等相關(guān)因素的影響.張奠宙指出，儒家文化是一個演繹體系[17].人教版、日教版兩版教科書無論在函數(shù)體系還是具體函數(shù)的呈現(xiàn)上，均體現(xiàn)出相似的邏輯嚴謹?shù)难芯柯窂剑c強調(diào)整個文化發(fā)展體現(xiàn)嚴謹演繹體系的儒家文化十分契合，這極可能與兩版教科書所處的外部儒家文化體系有關(guān).此外，西方國家的數(shù)學(xué)課程改革對當下教科書中的函數(shù)課程也有一定影響.過去的百余年間，西方國家是多次數(shù)學(xué)課程改革的引領(lǐng)者，體現(xiàn)出將現(xiàn)代數(shù)學(xué)融入基礎(chǔ)教育階段的課程設(shè)置傾向，其表現(xiàn)是“新數(shù)運動”的實施.研究發(fā)現(xiàn)，英MCEC教科書重視高觀點下的圖象分類，美MF教科書呈現(xiàn)“對應(yīng)說”式的函數(shù)概念，兩者均體現(xiàn)出將現(xiàn)代數(shù)學(xué)融入基礎(chǔ)教育的傾向，或許這與歐美國家骨子里的數(shù)學(xué)課程改革傾向有關(guān).

5.2 建議

以上共識與特色凸顯出各版教科書在函數(shù)內(nèi)容編排中關(guān)注的四方面要素：學(xué)生、數(shù)學(xué)、教學(xué)以及技術(shù).由此，研究立足于函數(shù)內(nèi)容的教科書編寫與教學(xué)實施，提出如下建議.

5.2.1 面向?qū)W生：形成函數(shù)呈現(xiàn)的基本模式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習的兩個“重視”

函數(shù)是研究事物運動變化的重要數(shù)學(xué)模型，它源于實際又服務(wù)于實際.五版教科書從實際中抽象出函數(shù)相關(guān)概念，并運用函數(shù)解決實際問題，形成貫穿學(xué)生初中代數(shù)學(xué)習的主線.這條函數(shù)主線與方程、不等式密切交織，由此形成了函數(shù)呈現(xiàn)的基本模式——實際問題背景下的螺旋上升.函數(shù)編排的螺旋上升結(jié)構(gòu)有助學(xué)生體會函數(shù)與新舊知識的聯(lián)結(jié)，加強與已有經(jīng)驗的聯(lián)系，從而構(gòu)建代數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).這種基本模式還可以生發(fā)出以關(guān)注學(xué)生為出發(fā)點的數(shù)學(xué)課程設(shè)置要求，即體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的兩個“重視”：重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的現(xiàn)實意義需求、重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的心理認知規(guī)律.兩者分別反映出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的外部和內(nèi)部的心理特征.

5.2.2 專注數(shù)學(xué)：加強高觀點下的函數(shù)認識，以更高站位把握數(shù)學(xué)內(nèi)容

20世紀初，“克萊因·貝利運動”的爆發(fā)使人們意識到使用高觀點下的數(shù)學(xué)思想方法改造中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要性.從“高觀點”看待初等數(shù)學(xué)問題，是指運用高等數(shù)學(xué)的知識、思想和方法，分析、解決初等數(shù)學(xué)問題[18].例如美MF教科書的函數(shù)“對應(yīng)說”、英MCEC教科書基于線性與非線性的圖象分類方式，均屬于高觀點下的函數(shù)認識.這種高觀點下的函數(shù)認識，有助于教師帶領(lǐng)學(xué)有余力的學(xué)生深入把握函數(shù)內(nèi)涵;對于理解水平一般的學(xué)生，教師則可以根據(jù)高觀點的理解將抽象的函數(shù)知識簡單化，深入淺出地為學(xué)生呈現(xiàn)函數(shù)知識.上述因材施的達成，均需要加強教師高觀點下的數(shù)學(xué)認識，以更高站位把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

5.2.3 關(guān)注教學(xué)：掌握函數(shù)教學(xué)的基本路徑，探索數(shù)學(xué)教學(xué)的通性通法

對函數(shù)基本研究方法的掌握，有助教師比較不同函數(shù)的共性與差異、歸納函數(shù)的性質(zhì)、體會不同函數(shù)間的邏輯連貫性.人教生版、日教版兩版教科書呈現(xiàn)出的基本路徑：由一般到特殊地應(yīng)用“實際問題→函數(shù)概念形成→函數(shù)概念表示→函數(shù)性質(zhì)→函數(shù)實際應(yīng)用”的模式，為教師的函數(shù)教學(xué)提供了方法示范.教師在函數(shù)教學(xué)中遵循基本路徑，將有助學(xué)生形成函數(shù)學(xué)習的一般思路，隨著函數(shù)教學(xué)過程中基本路徑的多次實踐，有助提升學(xué)生對數(shù)學(xué)對象認識、研究、再認識的思維.教師以基本路徑指引教學(xué)，為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)知識的整體學(xué)習框架，在此過程中，研究對象在不斷變化，而基本路徑不會改變，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的通性通法.

5.2.4 利用技術(shù)：突破函數(shù)學(xué)習的抽象壁壘，打造技術(shù)融合的課程資源

函數(shù)內(nèi)容所反映出來的運動變化、相互聯(lián)系的辯證觀點，對于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思想以及用這樣的觀點去處理一些數(shù)學(xué)內(nèi)容有很大幫助[19]，但函數(shù)的抽象性使其成為初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習的一大難點.基于此，合理地使用信息技術(shù)非常必要.例如，新NSM教科書將信息技術(shù)作為學(xué)生主動探索函數(shù)圖象的工具，并在教科書中嵌入相應(yīng)的電子資源，利用直觀、動態(tài)的教學(xué)資源輔助學(xué)生對抽象的函數(shù)知識的理解，以此突破函數(shù)學(xué)習的抽象壁壘.這樣將信息技術(shù)與課程內(nèi)容融合，有助打造技術(shù)融合的課程資源，從而能夠構(gòu)建數(shù)字化的學(xué)習環(huán)境，以此激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習的主動性，使抽象的函數(shù)內(nèi)容直觀形象化，進而深化學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)知識的理解.

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作者簡介 李?。?988—），男，重慶人，博士，高級編輯;主要研究數(shù)學(xué)教科書、教師教育、教育測量與評價.甄祎明（1996—），女，天津人，博士研究生;主要研究數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.