初中數(shù)學(xué)高效課堂的打造

惠穎

國(guó)家的“雙減政策”提出要減輕學(xué)生過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，減少不必要的機(jī)械性的重復(fù)性的練習(xí)量。課堂作為教育教學(xué)的主陣地，對(duì)于提高學(xué)生在校的學(xué)習(xí)效率起到了舉足輕重的作用。這就要求教師要優(yōu)化教學(xué)方式，由過去的“精講多練”轉(zhuǎn)化為“精講精練”。

數(shù)學(xué)課堂如何做到有效的“精講精練”？它絕不是單純地減少習(xí)題的量，絕不能降低學(xué)生的思維品質(zhì)，是“減負(fù)而增效”。這對(duì)教師的“教”提出了更高的要求，教師的首要任務(wù)是如何高效地“教”來促進(jìn)學(xué)生“學(xué)習(xí)的發(fā)生”。

下面以八年級(jí)上《角平分線定理及其逆定理》階段性復(fù)習(xí)拓展課嘗試“變式”教法模式來談一談自己地體會(huì)和感受。

在上一堂課中學(xué)生已經(jīng)初步掌握角的平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。并運(yùn)用定理和逆定理解決了例題1【上海教育出版社——九年義務(wù)教育課本《數(shù)學(xué)》八年級(jí)第一學(xué)期（試用本）106頁】，如下：

例題1.已知：如圖1，AO、BO分別是∠BAC、∠ABC的平分線，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足為點(diǎn)D，E.求證：點(diǎn)O在∠C的平分線上.

本題中點(diǎn)O是三角形兩條內(nèi)角的平分線交點(diǎn)，則過該點(diǎn)向三邊作垂線，由角平分線定理可得該點(diǎn)到三邊距離相等，由逆定理判斷點(diǎn)O又在第三個(gè)角的平分線上。即證明了三角形的三條角平分線交于同一點(diǎn)。

這是一道典型例題。我們注意到，研究的對(duì)象為三角形，給出的已知條件是三角形的兩個(gè)內(nèi)角的平分線。此時(shí)，我們可以啟發(fā)學(xué)生嘗試“變式”。

一、改變已知條件，探索由此而產(chǎn)生的結(jié)論的情況

變式1.（上述教材書后練習(xí)）將已知角平分線改為兩個(gè)外角平分線。

已知：如圖2，PB、PC分別是?ABC的外角平分線，PM⊥AB，PN⊥AC，點(diǎn)M、N分別為垂足.求證：PA平分∠MAN.

此題的證法類同于例題1，作PG⊥BC于G，通過角平分線定理證得P點(diǎn)到已知兩個(gè)外角的三邊距離相等，由逆定理判斷點(diǎn)P在內(nèi)角∠BAC的平分線上。通過這一變式，學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)角平分線定理及逆定理應(yīng)用的理解，并積極探索在更廣泛的范圍里使用定理解決相關(guān)問題。

變式2.將已知角平分線改為一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線。

已知：如圖，PB、PA分別是?ABC外角∠MBC和內(nèi)角∠BAC的平分線，N在邊AC的延長(zhǎng)線上.求證：PC平分∠BCN.

變式2的證法與變式1相同，可以啟發(fā)學(xué)生由“內(nèi)”而“外”的變化以后還可以如何變化已知條件，可由學(xué)生自主提出變式2進(jìn)行探究。而通過上述變化，學(xué)生進(jìn)行思考，找出變化之間的不同和必然聯(lián)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“萬變不離其宗”，體會(huì)角平分線定理及其逆定理的意義和作用，加深對(duì)定理的理解，并學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用。學(xué)生在此過程中既鞏固了知識(shí)點(diǎn)，又能感受到對(duì)于教材問題的解決可以不僅僅停留于表面，可以稍加改變條件，更深入透徹地探求解決問題的本質(zhì)，有效培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。

二、不改變已知條件，進(jìn)一步探索可能產(chǎn)生的規(guī)律性的結(jié)果

變式3.在變式2的基礎(chǔ)上探索∠APC與∠ABC的大小關(guān)系。

已知：如圖3，PB、PA分別是?ABC外角∠MBC和內(nèi)角∠BAC的平分線，N在邊AC的延長(zhǎng)線上。求證：

∠APC=1/2∠ABC.

在開始這個(gè)變式證明之前，老師也可以嘗試由特殊到一般的引導(dǎo)過程。如可以先拋出問題“在上題的條件下，如果我們知道∠ABC=70°，那么能不能求出∠APC的大?。俊痹趯W(xué)生探求出∠APC的大小之后可再逐步引出“那么，在已知條件不變的情況下，我們是不是可以發(fā)現(xiàn)∠APC與∠ABC的大小變化規(guī)律？它們之間究竟存在這怎樣的關(guān)系？你能不能給出證明？”同樣，在不改變例題1的已知條件下，我們也可以繼續(xù)嘗試探索如變式3一樣的問題，但得到的結(jié)果發(fā)生了變化。

變式4.如圖4，AO、BO分別是∠BAC、∠ABC的平分線，求證：∠AOC=90°+1/2∠ABC.

在探究過程中啟發(fā)學(xué)生注意無論是變式3還是變式4，都需要應(yīng)用到證明原題或之前變式的結(jié)果，也就是說例題的證明是源頭，是本體，而之后產(chǎn)生的其他結(jié)論都由它往外發(fā)散而成。而研究規(guī)律性結(jié)果的過程常常需要從特殊到一般，首先發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而后尋其本質(zhì)。通過這一類變式的學(xué)習(xí)，亦可啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，不僅僅停留在證明一個(gè)結(jié)論，促進(jìn)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)緊密相連，構(gòu)建自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系。

三、結(jié)論（或已知條件）不變，將已知條件（或結(jié)果）設(shè)計(jì)為開放性問題

在變式3的基礎(chǔ)上，不改變求證∠APC=1/2∠ABC的結(jié)果，可嘗試讓學(xué)生將已知條件改為等價(jià)的角度條件。由特殊值入手，逐步探求解決此問題的本質(zhì)。

變式5.已知：如圖5，PA是∠BAC的平分線，聯(lián)結(jié)BP，CP。M，N分別在邊AB，AC的延長(zhǎng)線上。

若∠ABP=125°，∠ABC=70°求證：∠APC=1/2

（1）∠ABC

（2）參照第（1）小題請(qǐng)你自行設(shè)計(jì)一個(gè)類同于（1）的條件，而不改變求證的結(jié)果。

（3）由（1）（2）的結(jié)果進(jìn)一步探索：若令∠ABP=，∠ABC=，則當(dāng)與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系的條件下，始終有∠APC=1/2∠ABC？

由（1）的條件，可獲得∠CBP=∠ABP-∠ABC=55°，又由平角∠ABM=180°得∠MBP=55°，這樣得到∠MBP=∠CBP，等價(jià)于條件“BP平分?ABC外角∠MBC”的條件。接下去按變式3的方法求解即可以獲得∠APC=1/2∠ABC=35°的結(jié)論。

對(duì)于第（2）小題，學(xué)生在（1）的基礎(chǔ)上，已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了已知條件歸結(jié)于保證?ABC中∠BAC的平分線，以及∠ABC的大小和外角∠MBC的平分線的條件，并在此條件下，總有∠APC=1/2∠ABC的情況產(chǎn)生。故學(xué)生可以進(jìn)行各種角度的嘗試。

而經(jīng)過前（1）（2）兩小題的思考求解過程的鋪墊，在第（3）小題中繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將特殊條件一般化。用字母代替已知條件中的角度：即∠ABP=α，∠ABC=β，類同于前兩小題的求解過程，找到α與β之間的依存關(guān)系，同時(shí)還要合理地考慮α與β的取值范圍：

∠MBP=180°-α，∠BCP=α-β（α>β）

當(dāng)∠MBP=∠BCP時(shí)得180°-α=α-β;

即2α-β=180°而由∠MBP>0°且∠ABC>0°

得90°<α<180°。

顯然， 問題（3）對(duì)于學(xué)生分析圖形，

尋找規(guī)律，探求問題的本質(zhì)的能力要求較高，所以，在設(shè)計(jì)問題時(shí)，可以采取“層層遞進(jìn)”的方法，也就是給問題設(shè)計(jì)“坡度”，由特殊到一般。而解決數(shù)學(xué)問題的基本模式恰好需要經(jīng)歷這樣一個(gè)仔細(xì)觀察，提取信息，適當(dāng)分析，推理規(guī)律，猜想并歸納結(jié)論的過程。學(xué)生經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，有助于提高其自主學(xué)習(xí)能力。

四、原命題的條件與結(jié)論互換，探究得到的逆命題是否成立

在學(xué)習(xí)完變式5的第（3）問基礎(chǔ)上，教師可以讓學(xué)生自行嘗試進(jìn)行以下變化：

變式6.在鈍角三角形ABD中，AP平分∠BAD，

C是AD邊上一點(diǎn)，且滿足∠ABC=2∠APC，試探究

此時(shí)∠ABD與∠ABC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明。

在變式6中，學(xué)生可以很明顯的發(fā)現(xiàn)變式5的第（3）問之間的關(guān)聯(lián)，其實(shí)它們本質(zhì)上是同一種，即將最初的變式3的條件與結(jié)論一般化后進(jìn)行互換，從逆向的角度再次來探尋這個(gè)問題的本質(zhì)性的規(guī)律。這樣的變式旨在提供學(xué)生對(duì)某一問題的多角度思考，培養(yǎng)逆向思維習(xí)慣和能力。由于教師和學(xué)生共同經(jīng)歷了變式5的探索過程，由思維的連貫性，變式6就更易被理解和接受，教師可稍加指引，由學(xué)生自行完成證明，也可以作為課后作業(yè)進(jìn)行延伸。

由此，我們發(fā)現(xiàn)，要有效地做好“精講精練”并不是一件簡(jiǎn)單地事，相反，它對(duì)教師提出了更高地要求。教師必須對(duì)教材以及教法深入淺出地進(jìn)行研究。在“變式教學(xué)”中教師必須合理選擇合適的教學(xué)內(nèi)容并在前期備課時(shí)充分地自行進(jìn)行摸索和研究，即哪些教學(xué)內(nèi)容可以進(jìn)行拓展變式，可有哪些變式的形式，又有哪些變化具有典型性，對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提高有著顯著的積極作用，而哪些變式意義不大，甚而在課堂中使用的效果不佳。這些問題都值得教師在日常教學(xué)中進(jìn)行思考并總結(jié)。筆者就自己在“變式教學(xué)”過程中積累的一些經(jīng)驗(yàn)談一下感悟：

（一）把握好選擇題目的難易度

一般來說，總是從課本教材里尋找原題，明確題目背后所呈現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)和原理。例如上述案例中的變式的原題來自上海教育出版社——九年義務(wù)教育課本《數(shù)學(xué)》八年級(jí)第一學(xué)期第十九章《角平分線》這一課的例題1。而在變式過程中要體現(xiàn)“循序漸進(jìn)”“有章可循”，也就是變化的難度要逐級(jí)上升，切不可“一步登天”。因?yàn)橐幌伦与y度太高反而會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，失去解題興趣，反而降低了課堂學(xué)習(xí)效率。

（二）把握好課堂中變式的數(shù)量

“變式”教學(xué)的目的是為了避免學(xué)生“就事論事”，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律和本質(zhì)的能力，最終是讓學(xué)生懂得如何學(xué)習(xí)，獲得有效學(xué)習(xí)的方法，提高教學(xué)效率。那么教師在課堂上進(jìn)行變式教學(xué)時(shí)就應(yīng)當(dāng)“有的放矢”，側(cè)重點(diǎn)放在那些有意義的變化上，而不是“多多益善”。有些重點(diǎn)探討和講解，而有些共性的變化則可以一帶代而過，點(diǎn)到為止。比如本案例中原例題是研究三角形兩個(gè)內(nèi)角的平分線問題，變式1則變化為研究三角形兩個(gè)外角平分線產(chǎn)生的問題，可以詳細(xì)講解。在找到兩者之間的差異和共性之后，對(duì)于變式2即研究三角形一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線產(chǎn)生的問題的一些相同的解法即可蜻蜓點(diǎn)水，點(diǎn)到為止。切不可反復(fù)重復(fù)，造成題海，反而會(huì)引起學(xué)生的反感。對(duì)于有些變式問題，如果有價(jià)值，課內(nèi)時(shí)間不夠，那么也可延伸到課外，提供一定素材或問題給學(xué)生課后繼續(xù)研究。

（三）構(gòu)造教師和學(xué)生“變式”共同體

有效的課堂必須喚起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲以及提高學(xué)生積極的參與度。為了避免“高投入，低產(chǎn)出”，教師應(yīng)當(dāng)做好“引導(dǎo)者”的角色，“引”學(xué)生進(jìn)入探索模式。而學(xué)生也可以參與到“變式”設(shè)計(jì)中來，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)對(duì)問題進(jìn)行變式思考，對(duì)學(xué)生提出的變式充分給與肯定，對(duì)有價(jià)值的變化進(jìn)行研究探討。學(xué)生對(duì)自身產(chǎn)生的“變式”更有興趣，有更強(qiáng)的參與度，從而提高學(xué)習(xí)效率。例如本案例中變式5的第（2）小問，嘗試讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)問題并解決，進(jìn)而啟發(fā)出第（3）小問的規(guī)律。教師也可以提示性地幫助學(xué)生意識(shí)到“如何變式”，即上述幾種變式的模式，并讓學(xué)生嘗試“變式”。

（四）“變式教學(xué)”也是一個(gè)“系統(tǒng)工程”

在日常課堂教學(xué)中開展“變式教學(xué)”不僅能讓老師提高教學(xué)效率，也讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何深入地發(fā)現(xiàn)問題解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性，深入性，發(fā)散性，以及逆向思維。但這種效果絕不可能是“一蹴而就”的，不是一節(jié)課兩節(jié)課就能解決的，它需要課堂師生的長(zhǎng)期的共同努力，它是一項(xiàng)“系統(tǒng)工程”。教師在前期需要示范引領(lǐng)，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到變式的幾種形式，思考變式的可行性，變式前后的關(guān)聯(lián)性。在后期，需要給學(xué)生充分的“模擬”的空間和時(shí)間，也可嘗試課后作業(yè)的形式展開。有意識(shí)地開展從不變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變 的規(guī)律，從變的本質(zhì)中探尋變的規(guī)律。除了解決“變”更要學(xué)會(huì)如何去“變”，只有這樣變式教學(xué)才更深入和有效。

高效的課堂離不開教師高效地教，但更重要的是促使學(xué)生高效地學(xué)。所以，在教學(xué)中采用“變式教學(xué)”方式，可化單純的教授為主動(dòng)積極探索，為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，有效地提高課堂的學(xué)習(xí)效率提供了途徑。孟子曰：賢者以其昭昭使人昭昭。教師作為課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，參與者，更應(yīng)該在教學(xué)實(shí)踐中不斷完善教學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)與學(xué)生的共同成長(zhǎng)。